数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用PAGEPAGE22数学期望的计算方法及其应用到学习该内容的目的。关键词：离散型随机变量 连续型随机变量数学期望 计算方法ABSTRACT ：第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为

[1]XXx1xPp…………x2n1pp2 nE(X)=E(X)=i1xp(x)ii注意：这里要求级数ni1

绝对收敛，若级数xp(x)i ini12

xp(xi

不收敛，则随机变量Ｘ的数学期望不存在)1某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按102516元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，20﹪，10﹪，又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为X8X8510-6P0.60.20.10.110×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5E(X)公式法（分布，超几何分布等典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。（1）

二点分布：

~1 0 X p 1p

EX p（2）

二项分布： ， ，则X~B(n,p) 0p1 E(X) np（3）

X~G(p)

,则有

E(X)1p（4） 泊松分布： ，有X~P() E(X)（5）

超几何分布：

X~h(n,N,M

,有E(X)nM题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题N题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2例2例2一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,23甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.解设参赛者甲正确完成的题数为,则X X服从超几何分布,其中N6,M4,n解设参赛者甲正确完成的题数为,则X X服从超几何分布,其中∴E∴E(X)nMN3 264设参赛者乙正确完成的题数为,则Y2 , 2性质法

Y~) E(Y)np3 3 3利用数学期望的性质求期望，主要性质有：E(c)c E(aX)aE(X) E(aXb)aE(X)b其中为随机变量， 为常数。X a,b,c例3某工程队完成某项工程的时间(单位：月)X是一个随机变量，它的分布列为X10X10111213P0.40.30.20.1YX,元。试求工程队的平均利润。解（1）根据题意，我们可求平均月数为：EX100.4110.3120.2130.111月（2）由（1）知EX)11，则可得E(Y)E(50(13X))E(65050X)65050E(X)6505011100利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质i1

p1两边关于参数进行求导，从而解i出数学期望。例5 设随机变量 ，求 。X~G(p) E(X)解因为k

X~G(p)

P(Xk)p)k

其中0p1则k1

1（p)k（对（1 ）式两边关于

求导得k

1p

k

p(k1)(1p)

k20k

1pk1k1

kp1p)k2k1

p1pk201pk

p1pk

11

k

kp1pk

11

k

p1pk10根据数学期望的定义知：EXk1

kp1pk1 且知k

p)k11

1 EX1 0从而解得EX1p

p 1p 1P利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它,Y。在,Y为二维离EXYy xxYyi ii或Xx yyj j

Xxj例6 设二维离散随机变量,Y的联合分布列为YX0123000.010.010.0110.010.020.020.0320.030.040.050.043YX0123000.010.010.0110.010.020.020.0320.030.040.050.0430.050.050.050.0640.070.060.050.0650.090.080.060.05解要求EXY2，首先得求PXY2PX0Y2

0.01 10.010.030.050.050.050.06 25同理可得

PX1Y2325

2Y2525PX3Y25254Y2525

PX5Y2625EXY2

xPXx

Y20

325

35

4

556 78i ii0

25 25 25 25 25 25用同样的方法，我们可得X02利用重期望公式法重期望是在条件期望的基础之下产生的，Yyyy的不同取值，条件期望Y的取值也在变化，因此我们可以把Y看作一个随机变量。重期望的公式是Y此公式的前提是EXY变量，则重期望公式可改写成为 EX

EXYj

PYyj j例7 口袋中有编码

的n

个球，从中任取11若取得i号球(i2)，则得i分，且将此球放回，重新摸球。如此下去，试求得到的平均总分数。解记X为得到的总分数，Y球的号码，则12n1n又因为Y1，而当i2时，Yii 以EXni1

EXYiPYi

12nn由此解得EX2第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量的数学期望的定义和含义px代替分布列pxi

，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。4定义法4设连续随机变量X有密度函数pxxpxdx 有限（收敛，则称 EXxpxdx 为X的数学期望。若xpxdx 无限（不收敛，则说X的数学期望不存在。例8 设随机变量服从均匀分布，求它的数学X期望。解由于X~Ub，则它的密度函数为 1pxba0

axb其他则根据定义它的数学期望为EXxpxdxbx a

1badxab2

b2a21x2ba 2ab1x2ba 2a例9 密度函数为px 1

x的分布称为柯西分布。

1x2其数学期望不存在，这是因为积分限。特殊积分法

1 dx 无x 1x2x连续型随机变量 的数学期望为XEXX的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方0一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。例10 设随机变量X~N,2，证明EX．证 在EX

z,dz

dx即dxdz可得EX

1 22

x222 dx2 1 2

z22dz 1

z

z2 22

2dz

e 2dz 由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，22利用特征函数

，故得EX．特征函数的定义：设是一个随机变量，称X

,eitX

t

的特征函数，设连续随机变量X有密度函数px，则X的特征函数为eitxt根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：E

Xk

k0求出数ik学期望，即EX0．i例11 设随机变量X~N

,2

EX．解因为随机变量为

X~

,2

X

的特征函数

2t2expit 2

2texpi 2t

i2t2 2 则0i由特征函数的性质得EXii i函数的性质求出正态分布的特征函数。逐项微分法px中含有参数的连续型随机变量分布，也是对pxdx1对参数求导数来解出数学期望。例12 设随机变量服从指数分布即X~Exp，求EX解 因pxex，x0

X~Exp，则X 的密度函数x 0则由pxdx1，EXxpxdx 得 exdx1 EXexdx0对

exdx

两边关于参数

求导得0

0exxexdx0exdxxexdx00 01 e x0 EX 0从而解得EX1条件数学期望公式样适用，其计算公式为EXYyxpxydx13设二维随机变量,Y的联合密度函数为px,yxy,0,

0x,y1其他试在0yYpx121xydx12yy22yyYy

x,y

1xpy 1Y y

y12 20y时，EXYy1xpxydxy 1 11y2y1 y

xx2dx2 21 x2 x311 12

3yy2y 2 21 1 y2 y31 1623y2y 2 2y2y1 y2 3利用重期望公式在Y是一个连续随机变量时，重期望公式Y可改写成为EXY． Y例14 设电力公司每月可以供应某工厂的电力X服从130单位104kW实际需要的电力Y服从1,20单位104kW上的均匀分30每 电可以创造 万元的利润，若工厂得不30104kW10解决，由其他途径得到的电力每 获利 万10104kW元，失球该厂每个月的平均利润。解从题意知，每月供应电力X~U实际需要电力Y~UZ万元，则按题意可得, 当YXZ30

XX

当YX在X

给定时，仅是Z

10x20时，的条件期望为ZEZXxx30ypydy2010y20xpydy10 Y x Yx30y1dy2010y20x1dy3 103 x21001202x22x20x2 25040xx2当20x30

的条件期望为EZXx2030yp10 Y

ydy203010

dy4501101然后用X的分布对条件期望EZXx再作一次平均，即得EZEZXx20EZXxp10

xdx30EZXxp20

xdx1 20

1 3020 2010

5040xx700

dx

20

450dx25300

6 225433所以该厂每月的平均利润为433万元．第三节 随机变量数学期望的计算技巧利用数学期望的性质，化整为零主要是利用数学期望的性质题简单化。

Eni1

Xnii1

EXi

来时问例15设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每nX在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求EX解直接写出X的分布列较为困难，其原因在于：若第i种颜色的球被取到过，则此种颜色的球又可被取到过一次、二次ni概率容易写出为第i1

1n为此令

m1,第i种颜色的球在次摸球中至少被摸到一次；X i 0,i

in这些相当于是计数器，分别记录下第X i

种颜色的球是否被取到过，而

是取到过的不同颜色总X数，所以X

X ．由

01

1n可得,ii1

i mEX

PX

11

011

1ni i i

m所以 EX

m

1

1ni m例16 设X~Bn,p，求EX解由题意知，

PXk

Ckpkn

nk

, 0p1，方法一：根据数学期望的定义有EXnknk1

kCkpk1pnknkCkpk1pnknnpnk1

Ck1pk11pnkn1npn1p1pn1i0np方法二：令Xi

ik1表示贝努力试验中的出现的次数，则相互独立而且同分布，均服从1 0 p 1-p EXi

p,而Xn Xii1EXn EXnpii1利用二重积分的极坐标变换求解这种方法只是用于二维连续型随机变量数学期望的求解。17设随机变量X,Y相互独立，且均服从N分布，求Z

的数学期望。X2YX2Y2Z

的密度函数为X2YX2Y2

1 x2y2e

, -x,y2可得E

X2Y2 x2x2y2

1e2

x2y22

dxdy,令xrcosyrsin,

则可得

1 r2

r2上式 re2rddr

re 2dr0 0 0re2 rre2

r20e2dr 0e2dr 22 22

02r22e2dr2 2巧用特殊求和公式例18 对一批产品进行检验,如果检查到第n件仍未发现不合格品就认为这批产品合格,如尚未超过第n件时已检查到不合格品即停止继续检查,且认为这批产品为不合格.设产品数量很大,可以认为每次检查查到不合格品的概率都是,问平均每批要检查多少件？p解设表示每批所需检验的产品数，那的分X X布列是kqkp, k,n1 q1nqn1pqnqn1, n1

n1 EX

k

kqkpnqn1

p

k

qknqn1qqnp1

nqn1q

1nqn11q

qqnp

q2

nqn11qn 11pn p p注：这里主要用到的求和公式是nk1

qk

1 ．1q6ab；当随机变量服2x称轴，故它的数学期望取值为．6例19若X 1,

X2,

正的独立随机变量，服