2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考试题-数学

2021届江苏省南京市六校联合体高三上学期11月联考试题高三数学单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1.已知i是虚数单位，则复数eq\f(4i,1＋i)在复平面内对应的点在（▲）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A＝{x|y＝eq\f(1,eq\r(x＋1))}，B＝{x|eq\f(1,x)＜1}，则A∩B＝（▲）A.{x|x＞1}B.{x|－1＜x＜0或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|－1＜x＜1}3.已知命题p：xR,ax2＋ax＋1＞0，命题q：函数y＝－(a＋1)x是减函数,则命题p成立是q成立的（▲）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4.已知非零向量a,b，若|a|＝eq\r(3)|b|，a⊥(a－2b)，则a与b的夹角是（▲）A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)5.2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，….共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（▲）A．己亥年 B．戊戌年 C．庚戌年 D．辛丑年6.已知直三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在球O上，且AB＝4,AA1＝6,∠ACB＝30º,则此直三棱柱的外接球O的表面积是（▲）A.25πB.50πC.100πD.eq\f(500π,3)7.已知a＞0，b＞0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,2b)的最小值为（▲）A．2 B．4 C．eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)8.已知a＞0，函数f(x)＝(a＋1)x2－x＋sinx＋cosx＋a－2，x∈R．记函数f(x)的值域为M，函数f(f(x))的值域为N，若Meq\o(\s\up1(),⊆)N，则a的最大值是（▲）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若,则下列关系式中一定成立的是（▲）A.B．ea＜eb（e≈2.718）C．（θ是第一象限角）D．ln(a2＋1)＜ln(b2＋1)10.已知双曲线C1：的实轴长是2，右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是(▲)A．双曲线C1的离心率为2eq\r(3)B．抛物线C2的准线方程是x＝－2C．双曲线C1的渐近线方程为y＝±eq\r(3)xD.|AF|＋|BF|＝11.若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－2,数列{bn}满足bn=,则下列选项正确的为（▲）A.数列{an}是等差数列B．an＝2nC．数列{an2}的前n项和为eq\f(22n+1－2,3)D．数列{eq\f(1,bn·bn+1)}的前n项和为Tn，则Tn＜112.函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜0)的部分图象如图所示，已知函数f(x)在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（▲）A．函数|f(x)|的最小正周期为2B．点（，0）为函数f(x)的一个对称中心C．函数f(x)的图象向左平移eq\f(3,2)个单位后得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象第12题图D．函数f(x)在区间[m，0]第12题图三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，当x(0,1)时，函数f(x)＝3x，则＝▲.14.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为▲.15.已知边长是4的菱形ABCD，∠A＝60º,点P是菱形ABCD内部一点，若eq\o(\s\up8(),PA)＋3eq\o(\s\up8(),PB)＋2eq\o(\s\up8(),PC)＝0,则△PBC与菱形ABCD的面积的比值是▲.16.已知对任意的x＞0，不等式xeeq\s\up4(x)－lnx－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为▲.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且bcosAcosC＝asinBsinC＋b.请在①b＝eq\r(19)，②c＝2，③2sinA＝3sinC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.问题：已知_______________，计算△ABC的面积.18.（本题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，＝7，＝48，数列{bn}满足.（1）证明：数列{bn－2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式；（2）若cn＝an(bn－2)，求数列{cn}的前n项和Tn.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2,，AD＝CD＝1，BC＝PC,E是PB的中点.（1）求证:PB⊥平面EAC（2）求二面角P—AC—E的大小.第1第19题图20.（本题满分12分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ＝64，δ2＝169，试估计初试成绩不低于90分的人数；已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望.附：若随机变量X服从正态分布N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜X＜μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜X＜μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜X＜μ＋3δ)＝0.9974．21.（本题满分12分）已知椭圆C：离心率为，点(,)在椭圆C上，P点坐标（0，），直线l:y＝－x＋m交椭圆C于A、B两点，且|PA|＝|PB|.（1）求椭圆C的方程；（2）求△PAB的面积.22.（本题满分12分）已知函数f(x)＝ax－xlnx，g(x)＝．a、b∈R，（1）讨论f(x)的单调性；（2）已知函数f(x)的极大值为1，①若b＝2，设1＜n＜m，证明：f(m)＜g(n)；②设t(x)＝f(x)－g(x)，判断函数t(x)零点个数，并说明理由.高三数学参考答案1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.D8.A 9.BC10.BC11.BD12.BCD13.－eq\f(19,9)14.eq\f(1,2)15.eq\f(1,12)16.a≤117.,,………………1分因为.所以，即，………………3分因为，所以，即，………………4分因为.所以.………………5分若选①，②，………………7分即，………………8分所以的面积.………………10分若选②，③由,得又………………8分所以的面积.………………10分若选①，③由,得，………………6分………………7分即，………………8分所以的面积.………………10分18.解（1），所以数列是公比等比数列；………………2分，即;………………4分由解得，所以.………………6分（2）由（1）知，所以，①，②①-②得………………10分所以………………12分19.【解】方法一：（1）平面，平面，得.………………1分又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，………………3分又因为，所以平面，又平面，所以,………………5分因为，是的中点，所以,因为,又平面,直线平面.………………7分由（1）知平面，所以是二面角的平面角，………………9分因为是等腰直角三角形，且是的中点，所以所以二面角的大小是.………………12分方法二：（1）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

则，，.………………2分又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，所以，所以,………………4分因为是的中点，所以,所以,,,所以,,因为,又平面,直线平面.………………7分(2)平面，平面，得.因为，所以，又,所以直线平面,所以是平面一个法向量，………………9分由（1）可知是平面一个法向量，,,所以,………………11分所以二面角的大小是.………………12分20.（1）∵学生笔试成绩X服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ＝64，δ2＝169，μ＋2δ＝64＋2×13＝90………………1分∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2δ)＝eq\f(1,2)（1－0.9544）＝0.0228………………3分∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000＝114人………………4分（2）Y的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y＝0)＝（1－eq\f(3,4)）×（1－eq\f(2,3)）2＝eq\f(1,36)P(Y＝3)＝eq\f(3,4)×（1－eq\f(2,3)）2＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)P(Y＝5)＝（1－eq\f(3,4)）×C×eq\f(2,3)×（1－eq\f(2,3)）＝eq\f(1,9)P(Y＝8)＝eq\f(3,4)×C×eq\f(2,3)×（1－eq\f(2,3)）＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)P(Y＝10)＝（1－eq\f(3,4)）×（eq\f(2,3)）2＝eq\f(1,9)P(Y＝13)＝eq\f(3,4)×（eq\f(2,3)）2＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)Y的分布为故的分布列为：Y03581013eq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)一个概率1分………………10分E(Y)＝0×eq\f(1,36)＋3×eq\f(1,12)＋5×eq\f(1,9)＋8×eq\f(1,3)＋10×eq\f(1,9)＋13×eq\f(1,3)＝eq\f(321,36)＝eq\f(107,12)…………12分21.解:（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为．………3分（2）设，，中点为，由得，，得，，………………5分所以，因为，所以,所以，得,………………6分所以，，………………8分此时，点到直线：的距离，………………10分所以的面积.………………12分22．解：（1）f(x)的定义域为（0，＋∞） 因为f′(x)＝a－(lnx＋1)＝a－1－lnx，所以f(x)的单调增区间为(0，eeq\s\up4(a－1))，单调减区间为(eeq\s\up4(a－1)，＋∞)．……2分（2）由（1）可知，f(x)的极大值为f(eeq\s\up4(a－1))＝aeeq\s\up4(a－1)－eeq\s\up4(a－1)lneeq\s\up4(a－1)＝eeq\s\up4(a－1)因为函数f(x)的极大值为1，所以eeq\s\up4(a－1)＝1，所以a＝1，………………3分①f(x)＝x－xlnx，f'(x)＝1－lnx－1＝－lnx，当x＞1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，因为1＜n＜m，所以f(n)＞f(m)，……5分因为b＝2，所以g(x)＝eq\s\do1(\f(2x,1＋x2))所以g(n)－f(n)＝eq\s\do1(\f(2n,n2＋1))－（n－nlnn）＝n(lnn－eq\F(n2－1,n2＋1))设φ(n)＝lnn－eq\F(n2－1,n2＋1)，n＞1，则φ'(n)＝eq\s\do1(\f((n2－1)2,n(n2＋1)2))＞0，