【泰勒公式求解二元函数极限方法运用（论文）】

泰勒公式求解二元函数极限方法运用目录TOC\o"1-2"\h\u24125泰勒公式求解二元函数极限方法运用 1288121.问题的由来 1144472问题解决 2233622.1一元函数的泰勒展开 2241952.2二元函数的泰勒展开 2163882.3问题的具体解决 336802.4利用二元泰勒展式求二元函数极限 3278063.问题延伸 7205143.1泰勒展开式与不等式结合 8236293.2泰勒展开式用于估算数值 9162144.结语 1215499参考文献 13摘要：利用二元函数的泰勒公式求解二元函数的极限，并用若干例题说明了该方法的运用．关键词：二元泰勒展式；函数极限；应用1.问题的由来学校的数学组和物理组被临时安排在了同一个办公室，我们时常会讨论一些学科交叉上的问题．在刚刚结束的全国中学生物理竞赛复赛试题中，有一道计算题的解答过程让一些物理教师难以看懂，题干背景大致如下:图1通电直导线图1是四根均通有恒定电流I的长直导线1，2，3，4，且均垂直于xOy平面，它们的位置坐标分别为(－a，a)，(a，a)，(a，－a)，(－a，－a)，电流方向如图1所示．求电流在坐标原点附近产生的总磁场表达式，保留至线性项。试题给出的答案如下:在原点O附近任意选取一点(x，y)，四根导线的电流在点(x，y)产生的磁场B1，B2，B3，B4(这里只给出B1的表达式，B2，B3，B4略)为（μ0为常数，为单位向量)。对于原点O附近的任一点(x，y)，有x≤a，y≤a，保留至的一次项，B1可以近似为问题:表达式①是如何过渡到表达式②的?2问题解决上式的近似实际上是运用了数学的泰勒展开公式，而且还是二元函数的泰勒展开，保留了低阶项，舍去了高阶项的结果．其运算量较为复杂，对于部分数学教师而言，还是存在一定难度的，更不用说物理教师了．这主要是因为教师大学毕业后，在日常的教学和习题讲解中，很少涉及泰勒展开式这方面的内容，导致部分高等数学知识遗忘较快，教师对此知识逐渐变得陌生起来．2.1一元函数的泰勒展开若函数f(x)在x=x0处可连续求导，则可利用(x－x0)的n次多项式去逼近函数f(x).故而有如下展开公式:其中f'(x0)(x－x0)为一阶项，也称为线性项，为高阶项，在大多数近似中，可以舍去。2.2二元函数的泰勒展开若函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内连续且存在连续偏导数，则(x0+h，y0+k)为此邻域内任意一点，其函数值可以表示为:记号表示，为一阶项；记号表示，为二阶项目；记号表示高阶项，一般可以舍去。2.3问题的具体解决上文中，近似为为简化过程，只计算其中分量，即过渡到，具体过程如下:令，将其在(0，0)附近展开，保留到线性项即可．运用二元函数展开公式，有f(x，y)=f(0，0)+(x－0)fx(0，0)+(y－0)fy(0，0)，代入数据并整理可得其中的分量，运算同上2.4利用二元泰勒展式求二元函数极限利用上述二兀函数的黍勒展式求解了一些具体二兀函数的极限，以此来说明此外提出的算法是有效的可行的．从上面的若干例题可以看出，应用一些二元函数泰勒公式求解某些二元函数的极限简单易行。2.4.1证明与高阶导数有关的命题当问题涉及函数的二阶或二阶以上导数时，可使用泰勒公式将各阶导数有机地联系起来，再根据题意对泰勒展开式进行处理，从而达到解决问题的目的．使用该法的关键是写出函数在某一点的泰勒公式。例2设函数f(x)在(一∞，+∞)上有3阶导数，并且f(x)和f'''(x)在(一∞，+∞)上有界，证明：f’(X)和f’’(X)(x)在(一∞，+∞)上也有界。2.4.2求高阶偏导数将f(x，y)在点Po(Xo，Yo)的泰勒公式写出，则可求出f(x，y)在点Po(Xo，Yo)处的高阶偏导数。2.4.3求解与高阶偏导数有关的命题3.问题延伸泰勒展开式作为高等数学的内容，中学教学一般不会涉及，然而在当前高考数学命题模式下，命题者经常会站在更高的视角来命制试题，使得部分试题显露出高等数学思想的同时，又能保证其可以用高中所学知识来解决．作为高中教师，就要去领会命题者的意图，在条件允许的情况下，带领学生学习相对容易应用的部分高等数学知识，以开拓学生视野，拓宽解题思路，增强解题能力．下文例析了可以利用泰勒公式进行求解的部分高考试题，主要以一元函数的泰勒展开式为核心．3.1泰勒展开式与不等式结合感悟：函数与不等式结合的压轴题，有时借助泰勒展开公式，可避开繁琐的推理演算过程，加快解题速度和降低思维难度．需要注意的是，运用泰勒展开式一定要注意展开的条件，即函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义且可连续求导，假若该题的定义域范围是x∈(1，2)，那么函数在x0=1处便不能进行泰勒展开．此外，对于一些常见的函数在x=0附近的展开形式，要加强记忆，提升解题灵感，如下:3.2泰勒展开式用于估算数值感悟：运用泰勒展开逼近某一无理数时，一般而言，逼近的精度越高，则需要展开的项数就越多，而在同等项数的情况下，若邻域宽度越小，则逼近精度会越高。感悟：求极限是高考常考的内容之一，高中阶段的极限主要以两类为主:一是数列极限；二是函数极限。这些极限的类型主要有“∞－∞””和“∞·0”型等，常用处理方法多为“代入法”“通分法”“零因式约去法”“无穷大约去法”等，但对于一些较为复杂的极限问题，以上方法一时难以解决，便可利用高等数学的方法，如“洛必达法则”或者“泰勒展开式”等．需要说明的是，一般高考中所出现的极限问题，几乎不需要借用高等数学的知识，常规方法即可求解。4.结语本文通过对一道物理竞赛题的二元泰勒展开式为背景，例谈了运用泰勒展开公式在高考试题的一些应用．诚然，泰勒展开式的具体应用远不止如此，但在当前很多省份的高考命题回归全国卷的背景下，教师在复习阶段，要加强对全国卷的真题研究，从多视角分析试题的命制背景和解题