计算方法课件

第五章

非线性方程的数值解法2/47本章内容§5.1引言§5.2二分法§5.3迭代法§5.4牛顿—雷扶生法§5.5正割法§5.6迭代法的收敛阶和Aitken加速方法（*）小结作业与实验3/47本章要求1.理解方程有根的判别定理；2.掌握二分法基本原理，掌握二分法的算法流程;3.掌握理解单点迭代的基本思想，掌握迭代的收敛条件；4.掌握Newton迭代的建立及几何意义，了解Newton迭代的收敛性；5.掌握Newton下上法，掌握正割法，了解抛物线法。4/47§5.1引言本节内容一.非线性方程定义二.方程求根特点返回章节目录5/47§5.1引言在科学研究中，常常会遇到非线性方程或非线性方程组的问题。例如解方程或一般的，我们记非线性方程为6/47§5.1引言一.非线性方程定义方程f(x)=0，当f(x)是一次多项式时，称f(x)=0为线性方程；否则称之为非线性方程。7/47§5.1引言（1）求解f(x)=0，解x*称为方程的根，即f(x)的零点。（2）f(x)为n次多项式就是n

次代数方程(n>=5，不能用解析式表示解)，f(x)为超越函数时，就是超越方程。（3）若f(x)=(x-x*)m

g(x)，g(x)0，m为正整数，则称x*为f(x)=0的m重根，或为f(x)的m重零点。m=1时，称x*为f(x)=0的单根。8/47

§5.1引言9/47

线性的（一次解）

单个方程多项式（n个解）代数方程非线性超越的（解的数目不定）线性（一组解）方程组非线性（多组解）

f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求实际应用中只需求得满足一定精度的近似根即可（找近似有效简单方法）。§5.1引言10/47§5.1引言二.方程求根特点1.根的存在性方程有没有根，有几个根？定理1（代数基本定理）：在复数范围内，n次代数方程至少有一个根。

f

(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+a0=0

其中：n—正整数，x—复变量，

a0—an为实、复常数。定理2：n次代数方程有n个根。11/47§5.1引言2.根的分布（有根区间）求根的隔离区间，定一个[a,b]，使[a,b]内有且只有一个x*使f(x*)=0定理3：设函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且f(a)*f(b)<0，则在[a,b]内f(x)=0有且仅有一个实根。通常有两种做法来确定隔离区间：（1）作y=f(x)的草图，看f(x)在x轴的交点位置来定区间[a,b]（2）逐步搜索，在连续区间[a,b]内，选取适当的x1，x2(a,b)，若f(x1)*f(x2)<0，则[x1,x2]内有根。12/47例1：求xex-2=0的有根区间解：变形ex=2/x。则分别做f(x)=ex,g(x)=2/x的草图,f(x)与g(x)的交点的横坐标即是根的大致位置[0.5，1]内有唯一实根。1230123§5.1引言13/47例2：求f(x)=x3-3x2+4x-3=0的有根区间。解：三次多项式，作图复杂

f’(x)=3x2-6x+4=3(x-1)2+1

在(-∞，+∞)内f’(x)>0，即f(x)为一单调递增函数。那么f(x)=0在（-∞，+∞）内最多只有一个实根。又

f(0)=03-3*02+4*0-3=-3<0

f(1)=13-3*12+4*1-3=-1<0

f(2)=03-3*22+4*2-3=1>0

f(0)*f(2)<0，故在[0，2]内有唯一实根。§5.1引言14/473.根的精确化已知根的近似值后，将其精确化，满足精度要求。如例2中若取根x*=0.5*（0+2）=1，不精确但若将[0，2]进一步缩小，则f（1.5）<0，故[1.5，2]内有根，取x*=1/2（1.5+2）=1.75，这样精度就提高了。§5.1引言15/47§5.2

二分法本节内容一.原理二.过程三.方法四.二分法收敛性五.二分法优缺点六.二分法的N－S图返回章节目录16/4疑7二分层法（Bi贯se返ct剥io俘n章Me兵th舰od）又谱叫对侦分法湖，是北一种方直接皆法，羊直观纹、简郊单。一.原理设f(x)=史0在[a,b]内连杯续，焦严格计单调绳，且f(a)掀*f(b)<往0，则f(x)=茫0在[a,b]内必有一根。二.过程将区煮间对雷分，咱判别f(x)的符羊号，秒逐步摧缩小遵有根滋区间纺。§5.2二分烤法17/4伯7§5.2二分词法三.方法取xmi谣d=0眼.5盟*(a+b)若f(xmi娃d)夕<(预先享给定种的精敲度)，则xmi尤d即为根。否则煤，若f(a)*f(xmi牢d)<眉0，则骆取a1=a，b1=xmi淹d若f(a)*f(xmi什d)>暂0，则肚取a1=xmi者d，b1=b此时姐有根济区间直缩小拳为[a1,b1]，区嫌间长愉度为b1-a1=0铅.5胞*(b-a)再对[a1,b1]进行惹上述糊过程猫，直到佳满足。18/4忌7§5.2二分渡法abx1x2ab中止肢条件或不能在保证x的精水度x*2xx*19/4删7§5.2二分匹法四.二分该法收红敛性20/4驴7§5.2二分坡法四.二分移法收算敛性21/4帮7注：用二须分法竖求根盗，最手好先酷给出f(x)草图屯以确醉定根军的大鸭概位征置。燥或用弯搜索侵程序页，将[a,b]分为洞若干讲小区异间，望对每免一个旋满足f(ak)支*f(bk)腐<痛0的区宰间调饭用二赔分法帐程序潜，可挠找出垄区间[a,b]内的恋多个垫根，乐且不蚀必要昂求f(a)迎*f(b)洁<协0。§5.2二分售法22/4需7§5.2二分粥法23/4汽7§5.2二分肚法24/4凯7§5.2二分往法25/4疯7§5.2二分村法例3：用二分尼法求f(x酬)=x6-x-1搅=0于[1坚,2窄]内的舟一个惑实根额，且钻要求每精确桨到小明数后泼第3位（粪即要缎求|x*-xk|<喉1/食2*酬10-3）。解：由ε=0杜.5霞*1填0-3，由k>[台ln衬(b-a)-纲lnε]/架ln番2可确蚁定所微需分钓半次哲数k=1滴1。计亭算结监果见普表5－1。即结鸟果是x11=1醋.1艰34朗27丙726/4锄7§5.2二分降法五.二分殃法优军缺点优点锤：计侧算简羽单，粪方法洪可靠涂，只溜要求f(x)连续岭，在肾两个仪点上占异号隐。缺点闭：不耳能求槽偶数读重根,也不辩能求竟复根,收敛捧速度疾不算姐太快(与以1/丛2为比闲值的芒等比并级数发相同)。因此情，一沉般在粱求方宝程近根似根怀时，蔑不单亿独使撕用，投常用痕来为其筹它方穗法提超供好馆的初袖值。对于遗方程萄求根沸，最度常用车方法倡是迭代钢法。27/4抹7§5.2二分游法定义仗函数f(x)=…读入聪数据a，b，ep越sx=(a+阳b)/2，k=1|x-a|<疤=ep侵sor刷|f(x)|挪<=ep笑s输出x，f(x)f(x)*f(b)<哭0YNa=xb=xx=(a+b)/白2，k=k+1结束NY六.二分曲法的N－S图28/4蓄7§5.3迭代辫法本节圆内容一.迭代锈格式湿的构括造二.迭代制过程勺的几半何表献示三.迭代云法的艳收敛胁性四.整体票收敛朋性五.局部蜂收敛冬性六.迭代抽法N-谈S图返回添章节悼目录解x=g(x)的简悼单迭汇代法29/4很7f(x)衔=冈0x=g(x)等价变换f(x)的根g殿(x毙)的不母动点§5.3迭代备法迭代管法/*Fi帖xe避d-作Po修in蝴t滤It胸er煤at阻io拉n筛*/30/4愿7§5.3迭代较法一.迭代挡格式毙的构他造31/4敲7§5.3迭代屿法二.迭代饶过程帽的几穴何表束示O讽x*x2x1x0xyy=绿xy=艺g(牧x)P0P1P2P*Q1Q232/4盖7§5.3迭代睛法例1：用孝迭代晋法求著方程f(x)=x2-2x-3深=0的根姥（x1=3，x2=膊-1）解：(1后)方程崭改写纷成x=(妨2x+3渔)1/遣2建立知迭代兔公式xk+企1=(赚2xk+3杂)1/市2(k=0够,1翅,2独…)，取x0=4，x1=3车.3尘16，x2=钞3.锐10傲4，x3=3害.0稳34，x4=晋3.握01移1，x5=史3.柱00我4当k∞，xk3，收敛；(2蜻)方程注改写冈成x=1颈/2吴*(x2-3附)建立午迭代赵公式xk=羡1/询2个*(xk2-3吗)损(k=0核,1扬,2舰…)，取x0=4，x1=6扎.5，x2=1干9.逢62蕉5，x3=换19盼1.菌0当k∞，xk录∞，发散。33/4裁7§5.3迭代窑法例2：求押方程f(x)=x3-x-1胡=0在x0=1伏.5附近挥的根x*。解：(1殃)方程储改写哈成x=(x+1捧)1/爪3，收挣敛；(2惧)方程丸改写惰成x=(x3-1接)，发乖散。34/4披7§5.3迭代烫法例3：对f(x)=x3+4x2-1处0=携0（此墓方程稿在[1弓,2驰]中有鞋唯一栗根）新用不陪同方舰法化谢成等浆价方凡程。解：归可化铅成很虹多不走同等灾价方琴程，慕例如35/4滨7§5.3迭代亲法取初浩始近魔似值x0=1棚.5，迭岂代结果迭代夸过程(a)、(b)不适苗定，(c)、(d)、(e)都收业敛，劈燕但收鼻敛速寒度相芳差很驾大。36/4售7§5.3迭代后法三.迭代风法的色收敛由性g(x)如何浆构造基本排问题{xk}的收姜敛性(收敛确否？特如何呼加速?)误差臭估计从几卖何上南考察谁迭代愚法的腾收敛膛性，姿见下槐页（另屯见教楚材P1昆8）37/4挣7§5.3迭代钞法0<g’(x*)<1-1<g’(x*)<0g’(x*)>1g’(x*)<-1xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p138/4葵7§5.3迭代读法具体捉的迭盟代收婚敛定算理,以及速如何探加速携收敛,待续贫。39/4但7§5.3迭代毁法四.整体饮收敛值性40/4亿7§5.3迭代居法证明：①②③依此虎类推41/4吵7§5.3迭代私法④⑤⑥可用来控制收敛精度；即判断迭代是否中止L越小收敛越快见上页42/4损7§5.3迭代塘法五.局部剃收敛粗性43/4顿7§5.3迭代伤法证明宫：44/4贩7§5.3迭代棍法45/4在7§5.3迭代换法六.迭代览法N-接S图定义迭代函数g(x)=…读入数据x0,epsx=g(x0),k=1|x-x0|<=eps输出k,xx0=xx=g(x0)结束定义函数f(x)=…k=k+1YN46/4屡7§5.4牛顿跨－雷嗓扶生遵法本节然内容一.迭代暮格式取的构女造二.Ne滥wt辞on迭代宵法的园几何塑意义三.Ne什wt鄙on迭代漫法收剖敛定方理四.牛顿屡迭代企法N-协S图五.简化族牛顿额法返回币章节悟目录解f(x)=头0的Ne浩wt津on迭代毅法47/4熔7§5.4牛顿隐－雷兵扶生蒸法牛顿术－雷湾扶生摘法（Ne罚wt嚷on梅-裙R槐ap拥hs吨on碎M悄et冻ho糕d）一般肌迭代温法的渗特例既，且昼迭代头函数砖有固婆定的夏形式分。一.迭代谁格式角的构漠造1.原理构造g(x)的一根条重猛要途苦径：尽用近贫似方运程代等替原蒙方程分求根询。牛顿瞒法是伍将非妻线形隶方程短线性稍化。48/4圈7——臭Ta鞭yl景or展开芳线性冻化（醒重要碑思想通）§5.4牛顿皆－雷拐扶生梳法2.方法49/4遭7§5.4牛顿绩－雷山扶生主法二.状Ne督wt忙on迭代型法的面几何此意义实际韵上牛瞧顿迭冶代公懂式是盲曲线炉在xk点上驼的切踢线与x轴交混点的乱横坐火标，晴即用竹切线残与x轴交周点的拘坐标虽近似垄代替月曲线值与x轴的捷交点现坐标第，故健也称切线猎法。50/4衣7产生妹的序起列单涝调有吓界,保证丸收敛.§5.4牛顿哲－雷柏扶生补法1.收敛陡的充蔬分条烫件设fC2[a,b]，若(1馋)f(a)f(b)友<区0；(2怀)在整宅个[a,b]上f”不变啄号且f’(x)桌挠0；(3嘱)选取x0倍[a,b]使得f(x0)f”(x0)裤>粪0；则牛忽顿法游产生双的序煌列{xk}收敛泉到f(x)在[a,b]的唯伙一根误。有根根唯放一三.赛Ne墨wt溪on迭代学法收录敛定妻理51/4哥7§5.4牛顿跪－雷茄扶生两法52/4家7§5.4牛顿炎－雷预扶生末法53/4让7§5.4牛顿涛－雷完扶生曾法由Ta俭yl钻or展开票：只要f’(x*)0，则令可得结论。在单驴根/*乡丰si缩慧mp涛le堵r毒oo读t周*/附近染收敛汪快此时揉可直胖接使臣用定理(见教并材)54/4软7§5.4牛顿尘－雷造扶生往法3.x0的选啊取对体牛顿率法收衬敛性房诚的影既响即：闯牛顿隶法的念收敛悼性依借赖于x0的选梳取。取x0使f(x0)f”愧(x0)>宗0，则撇收敛捷速度天增大义。常用二充分法蚀获取死初值x0，再见进行楼迭代孤求解。迭代申过程堡中若f’(x0)≈历0或迭嚷代次镰数超晚过某首个上界M,仍达馒不到甜要求葱的精姻度,则迭菜代计高算失素败。x*x0x0x055/4锤7改进兴与推齿广重根/*圈m拔ul招ti棉pl怖e坑ro仗ot呜*陆/：加旁速收隆敛法正割蒜法/*浊S痒ec熄an仓t祖Me注th购od旨*装/下山册法/*购D塌es宇ce估nt挡M朗et鹅ho蒜d抵*/：牛轿顿法莲局部暮微调§5.4牛顿掀－雷径扶生锐法56/4箱7例1：§5.4牛顿而－雷观扶生帐法57/4浸7§5.4牛顿判－雷夕扶生索法58/4剑7例2：§5.4牛顿呀－雷纱扶生肯法59/4团7§5.4牛顿占－雷诊扶生丛法例4：用配牛顿馒法求x-s功inx=0足.5的根轻，精钢确到0.尽00绵01解：f(x)=x-s携inx-0居.5∵f(1贿)=翅-0偿.3江4<属0，f(2歇)=躲0.骨59券1>室0∴[疏1,需2]间有互一个哄根。f’(x)=功1-谁co役sx枕,f”(x)=羡si甜nx∴xk+老1=xk-f(xk)/f’(xk)=xk-(xk-s陶inxk-0咱.5)/禽(1科-c右osxk)f’(餐2)哀>0，f”(纷2)什=s味in劈燕2>端0即f(2线)*f”(堂2)虏>0，故斤选择x0=2x1=x0-(x0-s皱inx0-5硬)/叮(1叫-c泄osx0)=肠1.泥58碎29x2=1待.5痒00勇9，x3=1您.4永97脸3，x4=1聪.4光97额3x4-x3=0聋<0煌.0拥00陕1故取x=x4为近很似值轮。60/4喂7§5.4牛顿蓝－雷岗扶生传法四.牛顿酸迭代果法N-慈S图定义撒导数郑函数f1滴(x凡)=弹….读入浑数据x0居,e吗psx=颤x瞒0-榆f(殃x0菜)/占f1器(x踪蝶0)临,谢k=川1|x稻-x德0|熊>=巡寿ep嗽s输出k,xx0仓=xx=匪x蝇0-咱f(衡x0源)/极f1宿(x蒸0)结束定义箩函数f(余x)放=…辟.k=肾k+挑161/4恋7§5.4牛顿占－雷坑扶生浙法牛顿班法需检计算f’(xk)，若锄用一虎个给程定常周数值c代f’(x)，则xk+材1=xk-f(xk)/c要使文该式患收敛培，则g(x)早=x-f(x)/cg’(x)曲=刺1-f’(x)/cg’(x)=1减-f’(x)/c<阴1即0<f’(x)/c<2取c与f’(x)同号候，且f’(x)/c<2即可沿，这健是切塞线方觉程的固思定斜杏率。五.简化柔牛顿逢法62/4京7例6：在气例4中，x*在1.中57附近昼。f’(僵1.循5)乳=1煤-c点os前1.可5≈0.马9取c=饮0.烦9f’(蜂1.亭5)察/c间<2xk+冷1=xk-(xk-s愤inxk-0洪.5危)/假0.帝9取x0=2经x1……x5=1击.4讯97顾20魄9,x6=1改.4特97搜30迭代功了6次。收敛产速度可降低证，但拐计算沟量减喜小了渡。例4：用牛婶顿法幸求x-接si挣nx习=0其.5的根宇，精富确到0.帜00齿01§5.4牛顿磨－雷详扶生益法63/4昆7§5.4牛顿却－雷柔扶生牙法六.牛顿昌下山彼法64/4问7§5.4牛顿控－雷鸟扶生狮法65/4拐7§5.4牛顿称－雷剃扶生熟法66/4史7§5.4牛顿玩－雷卡扶生质法举例:求在1.5附近的根.解:若取店初值1.弊5,满足蔬收敛缠条件.但若纵取计算久得与可曲能值顽的差系距加下大,即使冻能收亏敛速秤度也驾会很何慢.此时创用牛脚顿下棍山法,设下坐山因拐子为t,则计称算结慈果如摸下表:此时,计算舱方法:67/4痒7§5.4牛顿包－雷快扶生池法

如表鸽所示愁，用暗牛顿添下山遮法，厌第1次就豆落入将了局宏部收秧敛的绿领域歼，到塑第4次时弦近似讯值的黑精度贝已经堆相当舅高了鞭。68/4遍7§5.5正割居法本节沾内容一.引入抱意义二.正割挡法基便本思常想三.正割联法几郑何意购义四.正割把法算同法实胸现返回碧章节看目录弦截事法69/4时7§5.5正割姓法一.引入畜意义牛顿智迭代惊法虽兽然具鲁有收调敛速改度快恒的优郊点，还但每贝迭代倦一次蚊都要基计算骡导数,当眼比较闪复杂饲时,不仅嫂每次灯计算旅带见来很打多不蜘便，煌而且芬还可盘能十隙分麻阶烦，锹如果哨用不赖计算宾导数价的迭颗代方茶法，要往往恳只有紧线性讲收敛喂的速蛇度。葬本节霜介绍懒的弦加截法抹便是宁一种抄不必局进行盗导数弦运算蹄的求包根方谢法。乳弦截磁法在朝迭代买过程舟中不梯仅用赠到前羽一步下处的负函数意值，颂而且渣还使粉用船处帅的函沉数值膨来构悔造迭采代函瘦数，体这样旦做能赛提高棕迭代璃的收倘敛速桨度。70/4诊7§5.5正割疏法二.正割如法基编本思悄想71/4软7§5.5正割惠法三.正割垦法几淘何意瞎义72/4愤7§5.5正割率法例：用正调割法殃解方头程的谊根由正盾割法达到每精度10-8正割馅法迭帽代5次x0触=0婚.5叮;李x1但=0团.4真;x2词=斤0常.3姻43唐09龙62闭34养3x3之=俱0羽.3铺47线38维97斩27闲4x4馒=挣0之.3绪47杠29泽65泼09陆3x5午=己0龙.3推47怨29仙63薪55版3x6仁=己0腊.3界47折29飘63崖55控373/4戏7§5.5正割研法例：慈用线正割菜法求雹方程居在污初衣始值邻券近的扯一个坛根。烤要求解：识取,裕,令利用接正割靠迭代骡公式计算裹过程系略，取近疲似根则可炸满足尾精度抬要求料。74/4乖7§5.5正割牙法四.正割熊法算摔法实撇现75/4妻7§5.军6迭代纱法的钥收敛惰阶和Ai具tk类en加速咽方法本节测内容一.迭代么过程波的收跟敛速棉度二.常见饮迭代柴过程革的收仅敛阶三.埃特片金(Ai挠tk跑en)加速库法四.斯蒂馒芬森(St撒