高数全微分图文

全微分的定义可微的条件小结思考题作业totaldifferentiation第三节全微分第八章多元函数微分法及其应用1函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时全微分2先来介绍全增量的概念为了引进全微分的定义,全增量.域内有定义,函数取得的增量全增量.全微分一、全微分的定义3全微分的定义处的全微分.全微分可表示为可微分,在点则称函数称为函数记作即函数若在某平面区域D内处处可微时,则称可微函数.这函数在D内的而不依赖于4可微与偏导数存在有何关系呢？?微分系数注全微分有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质:全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的线性函数;高阶无穷小.51.可微分的必要条件由下面的定理来回答：(可微必可导).定理1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微分为全微分二、可微的条件

6证总成立,同理可得上式仍成立,此时的某个邻域如果函数可微分,全微分可微分,7都不能保证函数在该点连续.多元函数在某点可微是否保证事实上,显然,答:由全微分的定义有可得多元函数可微必连续

连续的定义?不连续的函数上一节指出,多元函数在某点各个偏导数即使都存在,函数在该点连续如果函数可微分,则函数在该点连续.一定是不可微的.全微分8多元函数的各偏导数存在全微分存在．如，下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在微分存在．?回忆:一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得)由定理1知全微分9则说明它不能随着而趋于0,因此,如果考虑点沿直线趋近于全微分10说明

各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.这也是一元函数推广到多元函数出现的又函数是可微分的.多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.一个原则区别.现再假定函数的则可证明全微分各个偏导数连续,112.可微分的充分条件

证在该点的某一邻域内必存在的意思.定理2(今后常这样理解).用拉氏定理(微分充分条件)假定偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数全微分偏导数12全微分13同理全微分14在原点(0,0)可微.并非必要条件.如事实上,注定理2的条件(即两个偏导数在点连续)可微的充分全微分仅是函数在点条件,同样,15全微分在原只点(0讽,0发)可微.于是,16即函美数f(x,头y)在原鸣点(0挪,0潜)可微.但是,事实悼上,偏导雷数在边原点(0毒,0氧)不连侧续.全微分所以,特别塌是不存屑在.即fx(x,压y)在原亡点(0会,0富)不连购续.极限fy(x,y)在原点(0,0)也不连续.同理可证,函数拉在一断点可唐微,此题杏说明:在这导点偏途导数丸不一束定连联续.17记全恭微分牙为通常读把二窄元函桃数的粉全微抗分等正于它灾的两数个偏仇微分超之和叠加态原理递也适疼用于盆二元于以上鹿函数硬的情剪况.一元梢函数花的许躺多微险分性忽质,(一阶)全微况分形微式的信不变翅性.同样符有:习惯昏上,称为康二元绘函数贴的微若分符筝合叠加催原理．这里蜻仍适汤用.全微分如三冠元函逆数则18解全微分计算诱函数在点的全旷微分.所以例19解全微分例20答案练习全微分21全微分解例试比踏较的值.22全微分解例计算的近门似值.利用场函数在点处的马可微倘性,可得23全微分20许02年考淘研数孕学一,驾3分考虑芹二元帮函数f(x,y)的下亭面4条性写质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连臂续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的拐两个位偏导捎数连与续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可治微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的扔两个效偏导刚数存串在.若用“”表示指可由美性质P推出犬性质Q,则有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.单项占选先择题24上海专交大赔考题(9拔5级)连续.D全微分结论不正伞确的是(语)穴.都存在,25上海犬交大脂考题(9缴8级)D全微分26上海钻交大留考题(9肌3级)上海蜻交大史考题(9瓜6级)全微分填空不题27上海势交大肯考题(9衡7级)(非)事实宵上,全微分是非宁题28全微殖分的洒定义全微锹分的磁计算多元著函数者极限红、连炼续、吐偏导渠、可株微的庆关系(注意末：与撤一元扑函数掀有很忧大的倘区别)全微分可微罩分的徒必要否条件丝式、可微阅分的细充分拿条件三、彼小结29对一元印函数的极摔限、且连续威、可角导、钢可微笔间的可关系难：可微已可导欺连续谋有极稳限对多元辛函数的极藏限、六连续柔、可哄导、挂可微孟的关裙系：偏导符连续址可抵微踢连续谣有庆极限有偏积导全微分30全微分问全微福分公筋式恒成也立吗?答不一柱定.考虑晃函数思考首题131全微分某城掀市的筐大气谣污染虏指数P取决嘱于两痰个因部素,即空数气中阴固体知废物钞的数淡量x和空休气中遍有害剧气体碌的数悲量y逐.它们搬之间宝的关稼系可从表示桶成(1多)计算和并说避明它牛们的挣实际意义.(2狐)该城蜜市空吓气污牢染的很情况兄怎样?(3惜)城市录空气僵污染范的状况苦是否器有所恐改善.思考励题232作业习题8-哀3岔(2文4页)1.唤(3链)舱(4梅)运2.变3稠.33(A)偏导活