计算机算法设计与第第章

第5章回溯法1学习要点理解回溯法的深度优先搜索策略。掌握用回溯法解题的算法框架（1）递归回溯（2）迭代回溯（3）子集树算法框架（4）排列树算法框架2通过应用范例学习回溯法的设计策略。（1）装载问题；（2）批处理作业调度；（3）符号三角形问题（4）n后问题；（5）0-1背包问题；（6）最大团问题；（7）图的m着色问题（8）旅行售货员问题（9）圆排列问题（10）电路板排列问题（11）连续邮资问题3有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法4问题的解空间问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间5生成问题状态的基本方法扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法6回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。7递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。voidbacktrack(intt){

if(t>n)output(x);

elsefor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);}}8迭代回溯采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;

while(t>0){

if(f(n,t)<=g(n,t))for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);

if(constraint(t)&&bound(t)){

if(solution(t))output(x);

elset++;}}

elset--;}}9子集树与排列树遍历子集树需O(2n)计算时间遍历排列树需要O(n!)计算时间voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=0;i<=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtrack(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=t;i<=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}10装载问题有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题。用回溯法设计解装载问题的O(2n)计算时间算法。在某些情况下该算法优于动态规划算法。11装载问题解空间：子集树可行性约束函数(选择当前元素)：上界函数(不选择当前元素)：当前载重量cw+剩余集装箱的重量r当前最优载重量bestwvoidbacktrack(inti){//搜索第i层结点

if(i>n)//到达叶结点更新最优解bestx,bestw;return;r-=w[i];

if(cw+w[i]<=c){//搜索左子树

x[i]=1;cw+=w[i];

backtrack(i+1);cw-=w[i];}

if(cw+r>bestw){x[i]=0;//搜索右子树

backtrack(i+1);}r+=w[i];}12批处理作业调度给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。tji机器1机器2作业121作业231作业323这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。13批处理作业调度解空间：排列树voidFlowshop::Backtrack(inti){if(i>n){for(intj=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestf=f;}elsefor(intj=i;j<=n;j++){f1+=M[x[j]][1];f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2];f+=f2[i];if(f<bestf){Swap(x[i],x[j]);Backtrack(i+1);Swap(x[i],x[j]);}f1-=M[x[j]][1];f-=f2[i];}}classFlowshop{friendFlow(int**,int,int[]);private:voidBacktrack(inti);int**M,//各作业所需的处理时间*x,//当前作业调度*bestx,//当前最优作业调度*f2,//机器2完成处理时间

f1,//机器1完成处理时间

f,//完成时间和

bestf,//当前最优值

n;//作业数};14符号三角形问题++-+-+++----+-+++--++--+---+下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。15符号钥三角穴形问完题解向量：用n元组x[筝1:年n]表示胁符号张三角仗形的韵第一铁行。可行持性约牵束函属数：导当前淋符号本三角雨形所商包含惰的“+”个数必与“-”个数雾均不奇超过n*协(n全+1殖)/车4无解漂的判连断：n*奖(n纱+1昏)/冻2为奇沈数vo目idTr眠ia劲ng乎le为::Ba您ck军tr涛ac档k(i纷ntt){if就(寸(c声ou惰nt宋>ha冤lf唇)|师|(御t*(泛t-盟1)锣/2翻-c拘ou耻nt蒙>h关al作f)节)哲re逆tu驴rn表;if烦(宪t>放n)徒s腐um晓++子;el死sefo监r桑(in洁ti=细0;斥i<钳2;糠i+丛+)贞{p[基1]相[t弱]=椒i;co醉un设t+辟=i座;fo蹄r询(in想tj=哨2;柏j<司=t;鹿j++岗)爽{p[熟j]薪[t上-j禾+1性]=眯p[较j-炒1]字[t韵-j带+1胡]^差p[予j-扒1]孕[t想-j袜+2愈];co容un奶t+封=p粪[j座][桃t-化j+底1]脑;}Ba姻ck妨tr腰ac急k(刷t+坝1)宽;fo曲r纯(in巷tj=今2;延j<销=t;乔j++档)co誓un州t-泻=p乓[j鲜][铁t-务j+筋1]涉;co妇un刚t-背=i猜;}}+软+嗽-合+腊-邪+染++爱-庸-酒-劝-赞+-桐+台+陷+荐--让+疏+灯--加+奶--焰-+复杂卸度分敏析计算民可行正性约杂束需互要O别(n男)时椒间，吩在最个坏情伸况下豪有O(继2n)个滥结点伶需要萄计算克可行棵性约衡束，馅故解茫符号殃三角苹形问狗题的玩回溯牢算法策所需塔的计毁算时笑间为念O养(n牵2n)。16n后问其题在n×缠n格的飘棋盘窝上放柱置彼尺此不鸣受攻慎击的n个皇塘后。馒按照咱国际币象棋带的规宫则，纺皇后净可以伶攻击托与之坛处在泽同一隆行或循同一偏列或延同一怨斜线属上的忍棋子剑。n后问肿题等废价于者在n×弯n格的谣棋盘野上放吩置n个皇煮后，菜任何2个皇祥后不辣放在诞同一希行或振同一乐列或纯同一陡斜线限上。1234567812345678QQQQQQQQ17解向牛量：(x1,判x2,吐…纸,xn)显约我束：xi=1痒,2乏,寇…窃,n隐约们束：1)不同页列：xixj2)不处稠于同榆一正砍、反问对角雪线：|i-床j||xi-xj|n后问台题bo测olQu抚ee陶n:额:Pl奶ac趴e(i国ntk){fo云r绳(in趴tj=义1;易j<k;絮j++肌)if沉(币(ab后s(稿k-折j)=啊=ab搏s(道x[薄j]吓-x寇[k正])模)|粮|(胀x[兵j]=凝=x[见k])层)字re括tu想rn危f并al波se龄;re季tu少rn相t舞ru效e;}vo得idQu领ee罚n:杏:Ba的ck跳tr规ac北k(i族ntt){if躲(顺t>把n)促s膨um型++禾;el走sefo辣r宰(in愿ti=霞1;乏i<组=n;躲i++窗)盲{x[假t]=呀i;if埋(Pl风ac刘e(沙t))沾B筝ac谅kt而ra圣ck窑(t绣+1某);}}180-惰1背呈包问黎题解空部间：皇子集宏树可行览性约珍束函勤数：上界调函数漫：te桐mp莲la窄te种<c罚la唐ssTy催pe安w,锯cl移as塔sTy乓pe本p>Ty脑pe辞pKn菜ap慈<Ty握pe慢w,Ty饼pe披p>:庆:Bo谣un炕d(i嘱nti){/单/计算骑上界Ty止pe钞wcl殿ef掉t劲=栋c撒-cw;可/煎/剩余清容量Ty滩pe城pb予=落cp迟;//以物畅品单商位重捞量价挡值递堂减序观装入堆物品wh压il云e夏(i欠<朗=梳n您&&w[衡i]菠<=将c紧le圆ft秧)亿{cl泛ef遗t勾-=w[犹i];b源+=p[触i];i+奇+;}//装满仍背包if皮(塔i耀<=绒n侮)仔b冷+=p[稿i]甘/w庄[i]凝*报cl框ef罢t;re梁tu饱rn懒b扇;}19最大猴团问营题给定哪无向绿图G=洒(V，E)。如恒果UV，且鱼对任系意u，vU有(u，v)E，则态称U是G的完全灵子图。G的完章全子美图U是G的团芳当且随仅当U不包粗含在G的更饥大的昨完全问子图更中。G的最大肺团是指G中所葛含顶染点数哄最多晒的团惹。如果UV且对喊任意u，vU有(u，v)E，则馅称U是G的空子毫图。G的空察子图U是G的独立耻集当且袭仅当U不包塌含在G的更毫大的宪空子掏图中璃。G的最大要独立持集是G中所撞含顶阶点数屋最多幅的独习立集群。对于到任一晶无向多图G=寒(V，E)其补图G=(悟V1，E1脖)定义旱为：V1续=V，且(u，v)E1当且春仅当(u，v)E。U是G的最隐大团亿当且惠仅当U是G的最吉大独渠立集匀。124531245320最大章团问吊题解空叫间：悬子集估树可行剩性约扫束函妹数：神顶点i到已歼选入污的顶槽点集蹦中每优一个络顶点贞都有沃边相贪连。上界剂函数鹅：有踢足够菊多的犯可选碧择顶鬼点使堪得算伴法有蔑可能消在右绝子树汽中找作到更姑大的旋团。vo宇idCl梳iq选ue瓜::Ba轻ck怜tr达ac重k(i隙nti){/谜/计算艘最大治团if渣(驰i洞>泡n)献{捞//到达剪叶结旦点fo终r虽(in千tj花=民1;妹j否<松=摄n;泽j贝++才)be蜡st辨x[志j]忠=x[塑j];be都st悉n=cn;匪re帖tu毛rn既;}//检查雕顶点i与当摩前团衬的连五接in圣tOK盆=铜1圾;fo污r盏(in丝式tj丝式=毛1;匀j饺<蜻i纤;梨j+末+)if载(x[敌j]尝&&a[冻i]皮[j]浙==象0套)凳{//柿i与j不相丝式连OK倍=初0张;坛b驱re量ak谦;}if及(出OK槐)亭{/餐/进入拘左子链树x[决i]浊=泡1;cn++乎;Ba威ck耕tr忠ac润k(匪i+胀1)信;x[故i]职=叼0;cn--犬;}if便(cn+近n仿-粱i罩>be毛st晴n)普{/员/进入颠右子怒树x[托i]绍=境0;Ba刃ck威tr抵ac颗k(誓i+尽1)穿;}}复杂打度分素析最大泄团问边题的魂回溯线算法ba卫ck芽tr父ac痕k所需色的计怎算时皮间显魔然为O(妇n2n)。1245321进一曲步改抛进选择跟合适避的搜训索顺歼序，可家以使叨得上饭界函评数更捷有效辱的发厘挥作意用。北例如千在搜暴索之宣前可蛮以将阵顶点例按度黑从小客到大航排序生。这狂在某轨种意谨义上桂相当盒于给滥回溯雾法加饲入了碑启发取性。定义Si={已vi,vi+群1,.府..颠,vn}，依鉴次求悼出Sn,Sn-天1,.肚..犬,S1的解顺。从过而得屯到一桨个更精瞎确的每上界膨函数，若cn库+Si<=帆ma缺x则剪液枝。钢同时厕注意父到：架从Si+集1到Si，如恶果找堵到一率个更眠大的幸团，声那么vi必然放属于倡找到汁的团孔，此甘时有Si=Si+伙1+1，否勿则Si=Si+此1。因此破只要ma穿x的值缴被更恭新过匙，就拳可以陪确定毛已经朴找到叠最大喘值，辈不必个再往弊下搜震索了爷。22图的m着色圣问题给定趴无向怨连通漠图G和m种不点同的切颜色表。用大这些收颜色疾为图G的各遣顶点阳着色梁，每痒个顶弦点着失一种答颜色奴。是奋否有凶一种蹲着色派法使G中每滑条边盏的2个顶赞点着迅不同压颜色船。这阀个问臭题是鸣图的m可着酸色判饼定问铁题。循若一哄个图乱最少劳需要m种颜萍色才凯能使殊图中巧每条谦边连继接的2个顶刊点着元不同桑颜色潜，则沃称这忆个数m为该牵图的闹色数础。求透一个雅图的斜色数m的问霸题称卖为图亿的m可着苹色优偶化问剪题。23解向拿量：(x1,乏x2,静…严,xn)表示及顶点i所着币颜色x[摔i]可行软性约困束函铺数：迹顶点i与已镜着色竭的相岩邻顶巧点颜亲色不弦重复固。图的协m着祖色问绕题vo释idCo宁lo皆r:筛:Ba铺ck答tr叙ac孤k(i代ntt){if玻(屡t>牺n)丙{su敬m+商+;fo婆r筹(in黄ti=另1;稿i轰<=杜n;侄i些++晋)co裹ut<<x[会i]山<<探'薯'疼;co锯ut<<en疏dl;}el严sefo耳r师(in滤ti=嚼1;珍i<胁=m;眉i++江)鸦{x[青t]=联i;if耻(Ok料(t))略B颠ac勒kt缠ra岗ck朱(t蚀+1搭);}}bo踢olCo轨lo害r:注:Ok(i落ntk){/修/检查眯颜色抖可用舍性fo便r倘(in桨tj=腹1;侨j<谅=n;哨j++妖)if姨(增(a[仓k]滥[j]=夹=1华)&食&(跳x[部j]卷==x[拉k])称)傻re凉tu君rn辰f待al胡se拜;re五tu袖rn精t庆ru梦e;}复杂度分析图m可着色问题的解空间树中内结点个数是对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需耗时O(mn)。因此，回溯法总的时间耗费是24旅行掌售货芽员问伟题解空凝间：舅排列裁树te遍mp片la今te出<c串la哪ss养T增yp弟e>vo土id率T辉ra象ve沃li租ng体<T怜yp融e>错::Ba怖ck飞tr农ac过k(i板nti){if旨(趋i额==砖n丢)暖{if缘瑞(研a[上x[括n-包1]欧][爸x[步n]厅]聚!=No抚Ed虎ge&&唯a维[x逆[n罗]]锅[1香]锅!=No胶Ed掘ge&&(c苦c既+筹a[凉x[旬n-皇1]抵][筛x[胶n]秩]某+绑a[特x[祥n]捏][娃1]蜂<be捕st允c||be析st网c==No鸟Ed挽ge))武{fo霜r让(in俯tj只=灯1;浓j悟<脏=害n;愤j煌++失)be胀st棵x[友j]怠=x[涨j];be饺st虚c=慈cc今+庆a雀[x副[n共-1慈]]允[x声[n革]]逆+蚀a情[x悔[n搭]]比[1粒];灯}}el心se穷{fo愉r朵(in绢tj凯=胆i;宿j临<铅=觉n;蛾j骡++烂)//是否陷可进镰入x[独j]子树?if备(长a[浑x[霞i-乌1]河][栏x[肺j]圈]签!=No云Ed伤ge&&(c分c难+脚a[挨x[忧i-箱1]照][狮x[撑i]需]久<be炼st混c||be宴st望c==No继Ed们ge))棍{//搜索背子树Sw劝ap爬(x醉[i],x[勤j])压;cc鹿+咐=圾a[僚x[篇i-省1]触][望x[井i]除];Ba糊ck凝tr锯ac差k(宾i+尘1)骡;cc谊-废=宗a[钩x[碑i-室1]功][盈x[挡i]杜];Sw纲ap钞(x议[i],x[称j])污;}}}复杂壮度分基析算法ba眉ck俊tr喂ac酱k在最行坏情颈况下帽可能虏需要杏更新拍当前错最优裹解O(松(n你-1翼)!庸)次，裹每次烤更新be晚st跟x需计锄算时董间O(浩n)，从达而整扮个算漆法的脆计算乳时间洋复杂萄性为O(诊n!)。25圆排奔列问企题给定n个大约小不检等的付圆c1芝,c否2,宗…,cn，现绝要将壁这n个圆吹排进揪一个糕矩形龟框中趟，且桶要求婆各圆眼与矩扎形框格的底块边相杏切。哈圆排闲列问芹题要伤求从n个圆净的所缠有排虾列中扩找出有有最商小长姑度的懒圆排占列。床例如码，当n=疮3，且盛所给扯的3个圆暗的半晓径分灾别为1，1，2时，枯这3个圆饺的最曲小长与度的泥圆排锐列如骂图所介示。曲其最蔑小长坑度为26圆排觉列问饿题fl超oa誉tCi符rc职le踩::Ce术nt测er(i圆ntt){/耗/计算凉当前溪所选追择圆配的圆贿心横岛坐标fl宪oa痒t赞te鸡mp瓣=0织;fo挽r冬(in穷tj=今1;丹j<t;毅j++非)丸{fl葵oa甩tva禁lu木ex=x照[j只]+妖2.滨0*sq跑rt烘(r管[t]*r[未j])于;if迫(va端lu露ex>t并em梁p)胀t绍em席p=va境lu承ex;}re跑tu然rn煮t专em颠p;}vo纹idCi菜rc状le枯::Co宜mp楚ut保e(v曾oi寨d){/某/计算烘当前丛圆排掌列的第长度fl攀oa哪t甘lo庙w=径0,hi菌gh会=0渡;fo后r五(in秤ti=侄1;价i<炮=n;另i++索)额{if落(x[济i]代-r耻[i]<仔lo腰w)若l址ow辛=x[爷i]冶-r莫[i];if佩(x[阻i]仅+r午[i]>司hi酱gh汗)禾hi者gh痕=x[冤i]骂+r垂[i];}if始(模hi背gh侦-l昼ow务<m杨in器)搂mi吗n=怪hi现gh愿-l因ow当;}vo害idCi养rc富le竹::Ba睡ck恳tr赵ac蜘k(i沾ntt){if摊(距t>白n)喷C栏om滨pu勺te拜()深;el击sefo父r嫁(in羞tj页=趋t;未j法<庭=可n;慌j广++安)锁{Sw态ap革(r仅[t],r[外j])辟;fl坊oa鸽tce扒nt肝er陆x=Ce崭nt计er初(t);if叛(门ce韵nt矩er蝴x+悔r[笑t]载+r麦[1满]<验mi铁n)关{萍//下界原约束x[昌t]=ce写nt乳er饥x;Ba拜ck莲tr马ac德k(晓t+乔1)当;}Sw话ap信(r勿[t],r[轿j])疗;}}复杂虹度分廉析由于舌算法ba迟ck北tr外ac洒k在最扮坏情蹄况下仁可能币需要伪计算O(彼n!)次当躁前圆贡排列栏长度疯，每闲次计岁算需O(挥n)计算造时间浇，从抗而整骆个算迎法的虏计算恒时间月复杂密性为O(争(n袜+1呼)!像)上述蕉算法蓄尚有播许多雕改进幅的余踢地。雾例如固，象1,翼2,屿…,像n-扎1,蛇n和n,掏n-胁1,盆…涂,2花,1这种薄互为蝇镜像肝的排舅列具洽有相有同的酷圆排挑列长董度，子只计吃算一爪个就滑够了循，可尿减少寇约一砌半的妥计算形量。君另一峡方面重，如案果所饲给的n个圆镜中有k个圆轻有相镰同的镜半径艘，则职这k个圆妈产生壳的k!个完塘全相细同的挤圆排桂列，挽只计拆算一蛮个就豪够了由。27连续骄邮资基问题假设超国家鹅发行颠了n种不革同面宜值的零邮票呼，并窄且规芬定每抖张信耍封上荒最多狗只允姑许贴m张邮泛票。骗连续走邮资省问题瘦要求咐对于杀给定诵的n和m的值巨，给惩出邮打票面圾值的昆最佳裕设计肾，在1张信扛封上竟可贴才出从作邮资1开始盈，增近量为1的最所大连撕续邮肺资区肾间。例如叨，当n=侵5和m=仁4时，让面值摊为(1显,3跨,1按1,驰15咐,3键2)的5种邮辨票可纲以贴贸出邮闪资的拔最大创连续早邮资役区间音是1到70。28连续猪邮资粥问题解向失量：叮用n元组x[猴1:舞n]表示n种不茫同的冷邮票毁面值恶，并换约定舍它们色从小异到大狼排列饺。x[剂1]吸=1是唯产一的岭选择呀。可行惯性约害束函太数：谋已选口定x[将1:灭i-姥1]，最留大连虫续邮废资区吩间是[1尝:r涨]，接景下来x[倾i]的可乏取值属范围劈燕是[x首[i拥-1躬]