2019春九年级数学下册27相似小结学案人教版

小结学习目标.解相似图形及比例线段的概念,能用其进行计.握平行线分线段成比例定理及推,会用平行线判定三角形相..解并掌握相似三角形的判定和性,能进行相关证明和计算.解图形的位,能利用位似将一个图形放大或缩.利用图形的相似解决一些简单实际.学习过程第一层学习回顾思考.似三角形有哪些性质位似图形呢答.角形的相似与三角形的全等有什么?何判断两个三角形相?答.例说明三角形相似的一些应用.答.何利用位似将一个图形放大或缩?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同并出一些它们的实际应用的例子?提示:答第二层学习典例剖析.例线段【例1】已知

=则b+d≠0)值是

.【思路点拨】由已知可知:3,3d=c,得到(b+d≠0)的值解析:.似三角形的判定与性质【例2】如图所,在ABC中D,分为AC的中点,,相交于点G,若=1,eq\o\ac(△,S)GDE求eq\o\ac(△,S)ABC【思路点拨】先求eq\o\ac(△,与)GDE似的GAB面积由似比为1∶2,得=再根据eq\o\ac(△,S)△eq\o\ac(△,,)分与△GDE高可得面积的面积的2,从而可以得到四边形的面积只求出△DEC面积即可得出所.解【例3图所四边形中AC平分DAB,∠ADC=∠90°,E为的点连接CE.(1)求证AC=AB·;(2)求证CE∥;1

(3)连接DE,交AC于点若4,AB=求的值【思路点拨(1)由AC平分DAB∠ADC=∠90°,得ADC△ACB,从而得·AD.(2)由E为角三角斜边AB的中点得,则DAC=ECA,得到CE∥(3)△AFD∽△CFE由相似三角形的对应边成比,求得的值.解【例4】如图所,已知在ABC中是边的中线以AB为直径的交于D,过作⊥于点M,交AB的长线于点,过点B作⊥于G.(1)求证△∽DMA;(2)求证直MN是的线【思路点拨根垂直定义得出BGD=90°,圆周角定理角内角和定理角质及等角的余角相等得出DBG=ADM,再根据两角应相等的两个三角形相似即可证明△BGD∽DMA;(2)接由三角形中位线的性质得出OD∥,根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥,由行公理推论得到O∥BG,再由⊥,可得OD⊥然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是☉O的线证明:.似三角形的应用【例5】一天晚,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯的度如所,当李明走到点处,张龙测得李明直立身高AM与影子长AE正好等接着李明沿AC方继续向前走走点B处时李直立时身BN=AM)的影子恰好是线段AB并测得125m.已知李明直立时的身高为1.m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1m)【思路点拨据AM,⊥EC,⊥得到∥∥,从而eq\o\ac(△,到)ABN∽ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即解.似图形的画法与性质【例6】如图所,已知坐标原,B,两的坐标分别为3,1),(2,1).(1)以O点为位中心在轴的左侧将△OBC放大为原来的(即新图与原图的相似比为2),画图;(2)分别写出BC两点对应点B',C'坐标(3)如果△OBC内一点M的标(,y写M的应点的坐2

【思路点拨延BO,CO别到,C',使OB',的度分别是OB,的2倍顺次连接三点即.(2)从角坐标系中,读出,C'的坐标(3)观察坐标之间的关系可得M'的坐标为(2,-y).解评价作业.(6分下四条线段中,不是成比例段的()A.3,6,c=d=4B.,b=8,c=5,d=15C.1,b=,c=,d=D.,1,,d=.(6分△ABC∽A'B'C',∠A=4°,B=00°,则∠等于()A.4°B.00°C.°D.°.(6分如所,∥∥,直线a,b与ll分别相交于点A,,和D,,F若,4,则的长是)A.B.

0C.6D.10.(6分如所,在ABCD中,ECD上点连接AEBD且交于点,eq\o\ac(△,S)DEF=425,则DE∶等于)eq\o\ac(△,S)A.25B.23C.3∶5D.3∶.(6分如所,在△中,∠A=°,平∠交AC于若2,的长是)A.B.C.D.

--1+1.(8分如所,∠1∠添加一个条件∽△:.(8分如所,在△中∠ACB=CD⊥,足是,BC=

.,1,则CD=

,AD=.3

.(8分为测量一棵树AB的高,测量者在点一高2m的杆,测量者从处可以看到杆顶C与顶A在同条直线,果测得20m,FD=4m,18m,则树的高度为m.(10分如图所示,点,在段上eq\o\ac(△,,)是等边三角(1)当ACCD满怎样的关系eq\o\ac(△,,)ACP∽?(2)当△ACP△时求∠APB的度.分如所示,在边长为小正方形网格纸中eq\o\ac(△,,)的顶点O均格点上且是角坐标系的原,点A在x轴上.(1)以O为似中心将△放大使放大后eq\o\ac(△,的)OA与△对线段的比为∶1,画出eq\o\ac(△,OA)eq\o\ac(△,)(所画eq\o\ac(△,)与△在点两侧;(2)求出线段AB所在直线的函数关系..分如所示,直线PM切☉点M直线交☉于A,B两点弦AC∥,连接,BC.求证(1)△ABC△POM;(2)2=OPBC.4

.分如,王爷爷家院里有一块三角形田地ABCAB=AC=5米6米现算把它开垦出一个矩形区域种植韭菜△区域种植芹菜eq\o\ac(△,,)和BNF域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不)其中点分别在AC,上点E,F在,已韭菜每平方米收益元芹每平方米收益60元青菜每平方米收益40元设5米王爷的蔬菜总收益为元(1)当矩形恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形MNFE的面积.(2)若种植韭菜的收益等于另两蔬菜收益之和的2倍,这时值(3)求王爷爷的蔬菜总收益为关x的函数表达式及最大值参考答案学习过程第一层学习回顾思考.:相似三角形的性质:相三形的对应边成比,(2)似三角形的对应角相等(3)相似三角形的对应线段(应高应中线应角平分)的比等于相似比(4)相似三角形的周长比等于相似,相似三角形的面积比等于相似比的平位似图形的性质(1)位似图形的应点和位似中心在同一条直线,它们到位似中心的距离之比等于相似比位图中的对应线段平行或在同一条直线.:三角形的相似包括三角形的全三角形的全等是相似比为1的三角形的相似.判断两个三角形相似的常用方法:(1)利用平行线判定三角形相似:行于三角形一边的直线截其他两(或边的延长线,所构成的三角形与原三角形相符合这一特征的图形有两:“A型和X”.(2)判定定理1:三边成比例的两个三角形相(3)判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相(4)判定定理3:两角分别相等的两个三角形相(5)直角三角形相似的判定:斜和直角边对应成比例的两个直角三角形相5

-9-9.:应用相似三角形可以测量不易直接得到的距,如测河宽、测旗杆高.:应用位似作图的一般步骤:①确定位似中心:画位似图形时,似中心可能在图形的内,也可能在图形的外,还可能在图形的边.②连接关键点与位似中:找出键(多边形常取顶),连接位似中心和关键.③画出对应点根相似比,确原图形关键点的对应顺次连接所得的对应,得到新的图形④写出作图的结论平移轴称旋和位似之间异同:图形经过平移旋、轴对称,图形的位置虽然改变了但图形的大小和形状没有改,两个图形是全等的而图形经过位似变换,图形是相似.第二层学习典例剖析.例线段【例1】解析由

=3,得3b=a,3d=c,∴3答案:3.似三角形的判定与性质【例2】解D,E分是,AC中,∴DE∥,DE=,eq\o\ac(△,∴)AGB△DGE,

△

4∵1,∴=4.eq\o\ac(△,S)GDEeq\o\ac(△,∵)AGE的边上的高与GDE的边上的高相,△

=2,∴=2,eq\o\ac(△,S)AGE同理可得S=2,eq\o\ac(△,=)GBD∴S42+219.ABDE∵DE∥,eq\o\ac(△,∴)∽,设=x,则,解x=12,即=12.eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)【例3】解(1)AC平分∠,∴∠DAC=∠CAB.∵∠ADC=∠90°,eq\o\ac(△,∴)∽ACB,∴AD∶AC=AC,∴AC·(2)E为的点∴,∴∠∠∵∠DAC=∠,∴∠DAC=∠∴∥AD.(3)由(2)知CE∥ADeq\o\ac(△,∴)AFD△6

44∴AD∶CE=AFCF.∵,∴×6∵AD=4,∴

,∴

.4【例4】证明(1)⊥于点,BG⊥于,∴∠BGD=∠90°∵以AB为径的O交于点D,∴AD⊥,∠90°,∴∠ADM+∠90°∵∠DBG+∠90°,∠∠∴∠DBG=∠ADM.eq\o\ac(△,∴)BGD△(2)如图所示,连接∵,,∴是ABC的中位,∴∥AC.∵MN⊥,⊥,∴AC∥,∥∵BG⊥,⊥,∴直线MN是☉O的切线..似三角形的应用【例5】解设路灯高为xm,∵AM⊥,⊥,BN⊥ECEA=MA∴MA∥∥,,eq\o\ac(△,∴)ABN△ACD,

,即

,-解得x=12561∴路灯高CD约为61.似图形的画法与性质【例6】解(1)图所示(2)(6,2),(4,-2).(3)的应点M'的坐标为-x,-2).评价作业.2.D3.C4.B5.C∠∠E答案不唯一75.3.:(1)当=ACDB时eq\o\ac(△,,)ACP∽PDB.PCD是等边三角形∠PCD=∠PDC=0°,∴∠ACP=∠PDB=0°,

·,由PC=PD=CD可·PD=AC·DB,即,eq\o\ac(△,∴)ACP∽△7

44(2)当△ACP△时∠,由题知∠PDC=∠∠0°,∴∠∠BPD=0°,∴∠∠∠∠0°,即∠APB的数为0°..解:(1)如所示的eq\o\ac(△,)B就是OAB放大的图(2)由(1)可得点A的坐分别(4,0),(2,4),故此直线的解析式为y=kx+b(≠0),

04,解得-4,-

,

故线段A所直线的函数关系为y=8.证明(1)∵直线切点,∠PMO=90°弦是∠90°,∠∠∥,∠CAB=∠,eq\o\ac(△,∴)∽△POM.(2)eq\o\ac(△,∵)ABC△,∴.又AB=2OA,∴.解:(1)作⊥于H,交MN于点D.∵,A