九年级上册第二十一章一元二次方程

一二方复1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的式方程叫做一元二次方程.一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.其一般形式是ax+bx+c=0(a0),这个问题中注意三:①会判断一个方程是不是一元二次方;②能准确的将一个一元二次方程整理成一般形式,并确的指出二次项系数,一项系数和常数项这点是重要的譬用式法解一元二次方,若a,b,c不确定,就不能准确的解方程另,根的判断式b-4ac,元二次方程根与系数之间的关系都是用a,b,c表的③要注意a≠0这条件2.任关于x的元二次方程都可整理成

bx0(

的形式这形式叫做一元二次方程的一般形式的征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式程右边是零，其中叫二次项，叫做二次项系数bx叫做一次项，叫一次项系数c叫做常数项。注意b、可以任何实数，但a绝不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母括号、移项并同类项，整理后的方程最好按降幂排列二项系数化为数注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项担可缺少一次项和常数项，即b、均可以为零。3一二次方程的.使元次方程左右两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。4.一二次方程的解法一元二次方程的解法（）接平法方

x

的为xa

，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成

的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。直接法适用于ax+c=0(a＞0，＜型的一元二次方程．用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方是一个非负数，或完全平方式，就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解方要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。（）式解：先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零一个因式为零或第二个因式为零样过降次将一元二次方程转化为一元一次方程因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式如果一个一元二次方程的一边是零一边易于分解成两个一次因式时可用因式分解法求解这只要使每个一次式等于零别解两个一元一次方程得到两个根就是一元二次方程的解。因分法一二方的骤:•1.方程右为;•2.将方程边式解;根“至少一因为”,转化两一一方.•4.分别解个元次程它的就原程根.用式解的件方程边于解,而边等零;理依是“如两因的等零那么少一因等零.”（）方：用配方法解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的步骤．解：∵≠，边同除以a，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

bacbac(a≠0)的求根公式．应用公式的前提，即b-4ac≥．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．应用求根公式解一元二次方程的关键在于将方程化为一般形式ax+bx+c=0(a≠；(2)将各项的系数a，，代入根公式．通过配方将一元二次方程化成

的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配法是一种重要的数学思想，它以aa)2

为依据。其基本步骤是：①首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二项数为1②把常数项移到等式的右边；③程边时上次系一的方④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；⑤利用直接开平方法解此方程（）式：用公式

22a

ac

可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为

2

bx0(0)

的形式，当

b

时，方程的解为

x

b2

b

，当

b

<0时，元二次方程无解。用式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为

ax

2

bx0(0)

的形式，准确确定a、b、的。任何一个一元二次方程

用配方法将其变形为因此对于被开方数

来说只需研究（）即

为如下几种情况的方程的根。时，方程有两个不相等的实数根。

（）（）①定义“”示。

时，方程有两个相等的实数根，即时，方程没有实数根。叫做一元二次方程

。的根的判别式通常用符号②一元二次方程

元次方程的根的情况与判别eq\o\ac(△,式)的关系：当当当

时，有两个不相等的实数根；时，有两个相等的实数根；时，没有实数根。反之亦然。熟记求根公式时要注意以下三点：

（）公式中字母意义在使用求根公式1把方程化为一般形式做到、、之没有公因数二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。2）把一元二次方程的各项系数、

、代公式时，注意它们的符号。3）当

时，才能求出方程的两根。配方法、公式法、因式分解法联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘一为0，•使各一次因式等于0．

1配方的目的是使代数式或方程的变成全方式，其根据是乘法公式a2±2ab+b2=（a±b）2.用配方法解方程的关键是配成全平方式，特别要注意配方时方程两边必须同时加上（减去）同一个数或代数式。一二方的法方法

适合方程类型

注意事项直接开平方法（x+a）=bb0有解，时无解。配方法X+px+q=0

二次项系数若不为1，必须先系数化为1再进行配方。公式法Ax+bx+c=0(a0)b-4ac0时，程有解；b-4ac<0时方程无解。先化为一般形式再用公式因式分解法

方程的一边为0边分解成两个一次因式的积。

方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。5．关于一元二次方程的应用列方程解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题后过数学问题的解决，获得实际问题的答案。列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为审、设、列、解、答。①审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量等量关系的句子②设用表示知数把其他也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来③列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程④解：解一元二次方程，注意要检验所得的解是否满足题意⑤答：写出答案。6.一二次方程的根与系数的关（韦达定理如果

的两个根是

x,2

则

x

bc,xa

．一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。设∴

是方程

的两个根。

∴结论1．如果如果把方程

的两个根是，么。变形为。我们就可把它写成

的形式，其中

。从而得出：结论2．如果方程

的两个根是，么

。二次三项式二次三项式二次三项式

能分解因式不能分解分解成完全平方式设方程∴

的两个根为，么，

在分解二次三项式两个根，后写成

的因式时，可先用公式求出方程

的熟掌二一方与次数间区和系区别）二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；（二一次方程有一个等式示两个未知数的关系一次函数既可以是一个等式表示两个变量之间的关系，又可以是列表或图象来表示两