2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)

一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义义之后便可引导学生推导数量积的运算律通过概辨析题加深学生对于平面向量数量积的认.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义面向量数量积的5个要性质面向量数量积的运算律.二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、教学重点难点重点：、平面向量数量积的含义与物理意义、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班没有实验班学已有的知识和实验水平有差距些生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影。2．学案导学：见后面的学案。3．新授课教学基本环节：预习查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案2．教师的教学准备：多媒体课制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：课八、教学过程一)习查总疑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（）景入展目。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（）作究精点探究一：数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3（）图所示，一物体在力F的用下产位移，那么力F所的功：W=|F||S|cos。

F（）个公式的有什么特点？请完成下列填空：①（）是量，②（力）是量，③（位移）是量，④是。（）能用文字语言表述“功的计算公式”?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（）数量积的定义：

α

已知两个非零向量

a

与

，它们的夹角为

，我们把数量︱

a

︱·︱

b︱cos

叫做a

与

的数量积（或内积作：

a

·

，即：

a

·

=︱

a

︱·︱

︱c

（）义说明：①记法“

a

·

”中间的“·”不可以省略，不可以用“

”代替。②“定向量与任何向量数量积为零。（）出问题：量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量

a

与

的模有关，还和它们的夹角有关。（）生讨论，并完成下表：

的范围

0°<90°

=90°0°<≤180°a·b的号例1：知｜a｜３，｜＝６，当①a∥，a，与的夹角是60°时，分别求

a

·

解：①当

a

∥

时，若

a

与

同向，则它们的夹角θ＝０°，∴a·b＝｜｜·｜cos0°＝3×6×118若

与反向，则它们的夹角θ＝180°

∴·b＝｜a｜｜cos180°＝3×6×-1）＝－18②当

a

⊥

时，它们的夹角＝90°，∴a·b＝；③当

a

与

的夹角是60°时，有

·

＝｜

｜

｜cos60°＝3×6×＝评述：

两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°因此，当a∥b时有0°180°两种可.变：于两个非零向量a、，使a+|最小时的值并求此时b与+t的夹角。探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│b│││叫做向量

在

a

方向上（

a

在

方向上）的投影，记做：=︱││︱cos

2.提出问题5：数量积的几何意是什么？期望学生回答：数量积·等于a长度︱a︱在a方向上的投影︱

︱os

的乘积。3.研究量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较︱·b︱︱︱︱︱大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质数量的运算律设和b都是非零向量，则（出题7：我们学过了数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

1、

⊥

·

=0预测：学生可能会提出以下猜想：2、当与b同时，︱①a··

·

︱︱

︱︱

︱；当

与

反向时，︱a·b︱-︱︱b︱特别，a·=︱︱

a

a3、︱

·

︱≤︱

︱×︱

︱

一、数积的概念二数量积的性质四、应用与提高2、概念强调一、数积的概念二数量积的性质四、应用与提高2、概念强调（1记法例2：②（

a

·

）

c

=

a

·

c

③（

a

+

c

a

·

c

·

c（析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。关于猜想②的正确性同们来讨论测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量

共线的向量，而右边则是与向量

a

共线的向量，显然在向量

c

与向量

a

不共线的情况下猜测②是不正确的。（晰数量积的运算律：已知向量a、、c和实数λ，则：例2师共同完成）已知︱︱=6︱

︱=4,

a

与

的夹角为60°求（

.

+2

.

-6

.

=36-3×××0.5-6××=-72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式）a+b)=2+2a·+b2（）

a

+

)·

a

-

)=

a

—

（）思结当检。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正实录）（）导案布预。我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义么下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用设计意图布下节课的预习作并对本节课巩固提高教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计十教反

平面向量数量积的物理背景及其含义本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主及学生学习过程中最后进行当堂检测课进行延拓展以达到提高课堂效率的目的我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格次将数量积的几何意义提前样使学生从代数和（定三数量积的运算律几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面3、何意义使学生尝试计算数量积一方面使学生理解数量积的物理意义时为数量积的性质埋下伏笔量的性质和运算律数量积概念的延伸材中这两方面的内容都是以探究的形式出现为让学生很好的完这两个探究活动始终按照先创设一定的情景让学生

去发现结论教师明晰后再由生或师生共同完成证明如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到量的算律则是通过和实数乘法相类比得到样仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：平面向数量积（内积）的定义：两个向的数量积与向量同实数积有很大区别影”的概念作图向量的量积的几何意义：．两个向量的数量积的性质：设、b为个非零量，是b同的位向量.e

=

e=

a=设

a

、

为两个非零向量，是

a

与同向的单位向.e当

a

与

同向时

=

当

a

与

反向时a

=

特别的

a

a

=

或

a

≤a||b|三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点

疑惑内容课内探究学案一、学习目标1说平面向量的数量积及其几意义；2.学会用平面向量数量积的重要质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以理有关长度、角度和垂直的问题；

学习重难点面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3（）图所示，一物体在力F的用下产位移，那么力F所的功：W=（）个公式的有什么特点？请完成下列填空：α①（）是量，②（力）是量，③（位移）是量，④是。（）能用文字语言表述“功的计算公式”?2、明晰数量积的定义（）量积的定义：

F

已知两个非零向量

a

与

，它们的夹角为

，我们把数量︱

a

︱·︱

︱cos

叫做a

与

的数量积（或内积作：

a

·

，即：

a

·

=︱

a

︱·︱

︱c

（）义说明：①记法“a·”间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“定向量与任何向量数量积为零。（）出问题4：向量的数量运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（）生讨论，并完成下表：

的范围

0°

<90°

=90°0°<

≤180°a

·

的符号例1：知｜

a

｜＝３，｜

｜＝６，当①

a

∥

，②

a

⊥

，③

a

与

的夹角

3︱ab︱≤︱a︱×︱o3︱ab︱≤︱a︱×︱o是60°时，分别求a·.解：变式：

对于两个非零向量、，求使|t最小时的t值并求此时b与+的角.探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│

│（│

│）叫做向量在a方上（b方上）的投影，记做：=︱│

│︱c

2.提出问题5：数量积的几何意是什么？3.研究量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较︱

a

·

︱与︱

a

︱×︱

︱的大小，你有什么结论？（

a

2、明晰：数量积的性质设和b都是非零向量，则3.数量积的运算律这运算律对向量是否也用？（晰数量积的运算律：2当a与b同向时，a·b︱a︱︱；当a与向时，已知向量a、b、c和实数λ，则：︱a︱-a︱︱，特别地，a·=2或a︱=a例2师共同完成）已知︱a︱=6︱b︱=4,与b的夹角为60°求（1ab=·（2λ=λ（·b)=λb+2b-3思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（3+c·+·变式）

a

+

)=

a+2

a

·

+

（）

+

)·

-

)=

—

（三）反思总结(四)当堂测.知

|=5

|=4

与

的夹角，求

已知|a，||=4，a与的角为求()·(a-3)

.知

a

|=3

|=4

a

与

不共线，k何值时，向量

a

+k

与

a

-k

互相垂直.已知｜a｜＝３，｜b｜６，当①∥，a⊥b，与b的角是时，分别求

a

已知|

a

|=1|

，(1)

a

∥

，求

a

；若

a

、

的夹角为６，求

a

+

；若-a直，求a与b的角设n是个单位向量，其夹角为６０°，求向量

a

m+与

=2-3的角课后练习与提高已知|a，，且-)垂，则a与b夹角是（）.30°C.135°D.５°已知