2019-2020年苏教版数学必修一讲义第3章3.3 幂函数及答案

23xα2312019-2020苏教版数学必修一讲义：第3章+3.3幂数及答案23xα231

幂函数学习目标1.了解幂函数的概念会画出幂函数＝yx

y＝x

，

核心素养通过学习本节内容提11y＝，y＝x的图象．(重点)2．能根据函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)3．会用几常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)

升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.1．幂函的概念一般地，我们把形如y＝的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数．2．幂函的图象和性质y＝x＝x

y＝x

1y＝x

y＝x－定义域

RRR

[0＋∞)

－∞，0)(0＋∞)值域

R[0＋∞)R[0＋∞)

－∞，0)(0＋∞)奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数单调性定点

在(－∞，0]在－∞＋上在(－∞＋在[0，＋)∞)上减，在[0∞)单调上单调递递增＋∞)上单递增增调递增，(0,0)，(0,0)，，(0,0)

在(－单调递减，在(0，)上单调递减1．思考析(正确的打“√”，错误的打“×”-18

xαααα23，22019-2020苏教版数学必修一讲义：第3章+3.3幂数及答案xαααα23，2幂函数的图象不经过第四象限．幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．

()()指数函数＝a的定义域为R与底数a关幂函数＝x的定义域为R，与指数也无关．[案]√

×

×

()[示]

由幂函数的一般式＝(α为常数)图象可知，当>0，>0即图象不经过第四象限．y不经过(点，故错误．1y2定义域为[＋∞，与指数有关，故错误．2．若y＝mx＋(2n4)是幂函数，则m＝3

[题意所以

mn3．已知幂数f()＝的图象经过点(2,8)，则f(－＝－8

[82

α，所以α，所以f(x)x3f(－＝(3－【例1】

已知y＝

幂函数的概念1＋2－2)xm－＋2－是幂函数，求，的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[]

－2，由题意≠，2n30

，解得∴m－，＝

32

为所求．

-28

ααα222xα2α＝＝22，∴＝－10222334350.42019-2020苏教版数学必修一讲义ααα222xα2α＝＝22，∴＝－10222334350.41．幂函＝要满足三个特征幂前系数为1；底数只能是自变量，指数是常数；项数只有一项．2求幂函数解析式时常用待定系数法即设解析式为()＝x根据条件求出α.1．下列函是幂函数的有_填序号)①y＝x；②＝2x；③＝x

2

21；④y＝x＋；⑤y＝－；⑥y＝3.③⑥

[据幂函数的定义，只③⑥符合题意．]2．已知幂数f()＝的图象经过＝110

[题知2

12－122∴f(x＝x

－

12

，∴f＝100

1－12＝＝.]100

比较大小【例2】

比较下列各组数中两个数的大小：11(1)；(2)与；(3)0.25

－

14

1与6.25；(4)0.2与0.3.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．-38

132234<－－35(3)0.254424244132234<－－35(3)0.254424244[]

2019-2020苏教版数学必修一讲义：第3章+3.3幂数及答案1∵y2[，∞)上的增函数，且>，1∴∵y是(∞，上的减函数，且－

23

，3∴>.11－＝＝，116.25＝2.1∵y＝x是[0＋)的增函数，且，111－∴2，即<6.25.由幂函数的单调性，知0.6又y减函数，∴0.4>0.3，从而0.20.6.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下各组中两个数的大小：-48

1.51.5－－3232019-2020苏教版数学必修一讲义：第3章+3.3幂数及答案1.51.5－－323(1)3

－

52

，3.1

－

52

；a，(a＋1)a＞0)；55－，(－0.89)[]

－因为函数＝x

552(0＋∞)是减函数，所以＞3.12函数＝1.5在(，＋∞)内是增函数，又＞0a1a所以a1.55

.函数＝在R上为增函数，5所以－＞(－0.89)3.幂函数的图象与性质[究问题]21．幂函数＝的图象应该怎么做？[示]

2①因为0<<1yx在第一象限内是单调递增的(上应在y上方，在(，＋∞)上应在yx的下方．②函数的定义域为R，且为偶函数，故将轴右侧的图象关于轴对称到2轴左侧，即得到y3图象略)2．上述过程能否归纳出作幂函数yx的图象的步骤？[示]

①先看α按α<0,0<<1>1分类(α＝α两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在轴-58

39*－32019-2020苏教版数学必修一讲义：第3章+3.3幂数及答案39*－3左侧的图象．3作出＝

－

11－－3图象(图，并说明若x>y3xy与0大小关系有多少种？[示]

－yx

13第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，1－－从图象可以看出，若>y3则有以下情况①0<x<y②<<0③x>0>y.【例3】

已知幂函数y＝x－(m∈)的图象关于轴对称，且在(0，＋∞)m－－上单调递减，求满足(a＋1)－2a3的取值范围．思路点拨：题中条件→出不等式组→出m→用幂函数的单调性→底数分类讨论→[]

∵函数在(0∞)上递减，∴3m，解得<3.又∈N*∴＝1,2.又函数图象关于对称，∴－为偶数，故＝∴有a

－

13<(3－2a)

－

13.1∵y＝x在－∞，0)＋∞)均递减，2∴a1>32a>0或0>a－，或＋2a解得a

或<1.-68

32α2019-2020苏教版数学必修一讲义：第3章+3.3幂数及答案32α所以的取值范围为(－∞，－1)∪1本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．2求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步第一步利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数的取值范围．14.已知x2>x，则的取值范围是______．－∞，0)∪，＋∞)或x>1.]

1[出函数yx2和yx3图象(如图所示)，易得x<01．幂函数＝的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数象在第一象限内随指数变化而变化的规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂数的性质所有幂函数在(0＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为，即f(1)＝1.如果α>0，幂函数在[＋∞上有意义，且是增函数．如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．-78

333α141333335在R为减函数∴33<b∵()＝x在(0333352019-2020苏教版数学必333α141333335在R为减函数∴33<b∵()＝x在(0333351．下列所出的函数中，是幂函数的是)A．＝－

3

B．＝－C．y＝2x

D．y＝－1.A[函数是形如yx的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]2．已知幂数＝的图象过点(22)，则f(4)的值是_．2

[点(，代入幂函数可得f(2)2

α＝2解得＝，即幂函数为f()21