2.17-1 抽象函数的单调性与奇偶性的讲义

刘芳科老抽象函单调性与奇性特殊模型正比例函数f(x)=kx(k≠0)

抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=x

n

f(xy)=f(x)f(y)[或

f(

xf(x))yf(y)

]指数函数f(x)=a

x

(a>0且a≠1)

f(x+y)=f(x)f(y)[

或fxy)

f()f(y对数函数f(x)=logx(a>0且a≠1)a

f(xy)=f(x)+f(y)[

或f(

xy

)f()f(y)]正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotx

fx)f(xy)

fx)f(y)f(xf(y)fxf(y)f(xfy)1.已知f()(()f(),对一切实数、y成立，且f,求(x偶函数。证明：令=0,已知等式变为f(y)f()(0)f()……①在①中令y=0则2=2(0)∵f0∴f∴(y)f()f(y)∴f(f()∴f()为偶函数。2.奇函数f(x)在定义域（-1，）内递减，求满足(1)f)的实的取值范围。解：由f(1)

2

)得f

2

)，∵f(x)为奇函数，∴(1)f

2

又∵f()在（-1，1）内递减，∴

0mm

3.如果f()=ax

(a>0)对任意t)f),比较、(2)、(4)大小解：对任有f)f2∴x=2为抛物线=

的对称轴又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，(x)增函数∴f(3)<(4),∴f(2)<f(1)<(4)

刘芳科老师4.已知函数f（）对任意实数x，，均有（＋）＝f（）＋（y），且当x＞时，f（）＞0，f（－1）＝－2，求（）在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数（x）是究它的单调性。

的抽象函数，因此求函数（x）的值域，关键在于研解：设

，∵当

，∴，∵

，∴，即

，∴f（）为增函数。在条件中，令y－，则，再令x＝＝0，则f（0）＝2（0），∴f（）＝0，故f（－）＝f（），（）为奇函数，∴f（）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2（－1）＝－4，∴f（）的值域为［－4，2］。5.已知函数（）对任意，满足条件f（）＋（）＝2+（x＋），且当x＞时，（x）＞2，f（）＝5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（）是y＝＋2的抽象函数，且f（）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设

，∵当即∴

，∴，则，，∴f（）为单调增函数。∵，又∵（3）＝5，（1）＝3。，∴，即，解得不等式的解为－1<a<3。6.设函数f（）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在

，使得，对任何x和y，

成立。求：（1）f（）；（2）对任意值x，判断f（）值的正负。分析：由题设可猜测f）是指数函数

的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（）＞0。解：（1）令y＝代入

，则

，∴。若（x）0，则对任意0，∴f（）＝1。

，有

，这与题设矛盾，∴（）≠（2）令y＝≠0，则（x）＞0，故对任意，（x）＞0恒成立。

，又由（1）知f（）≠0，∴f（x）＞0，即f7.是否存在函数f），使下列三个条件：①f（）＞0，x∈N；②③f（）＝4。同时成立？若存在，求出f（）的解析式，如不存在，说明理由。

；分析：由题设可猜想存在纳法证明如下：

，又由（2）＝4可得a2．故猜测存在函数

，用数学归

刘芳科老师（1）＝1时，∵结论正确。（2）假设

时有

，又∵∈N，（）＞∴，x＝＋1时，

，∴x＝k＋时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时

。8.设f（）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足（1）f（）；（2）若f（）＋f（－8）≤2，求x的取值范围。

，求：分析：由题设可猜测f）是对数函数解：（1）∵

的抽象函数，f1）＝0，（9）＝2。，∴f（）＝0。（2）即

，从而有f（）＋f－8）≤f（），，∵f（）是（0，＋∞）上的增函数，故，解之得：8＜x≤。9.设函数y＝（的反函数是y＝（x如果（）（＋（b），那么（＋b）（ag（b）是否正确，试说明理由。分析:由题设条件可猜测y＝（x）是对数函数的抽象函数，又∵＝f（）的反函数是y＝（x），∴y＝（x）必为指数函数抽象函数，于是猜想g（＋b）＝（a）·（b）正确。解：设f（）＝m，（）＝n，由于g（）是（）的反函数，∴g（）＝，g（）＝b，从而，∴（m）·（）＝（＋n），a、b分别代替上式中的m、即得g（＋）＝（a）·（b）。10.己知函数f）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（）＝－1（a＞，a定义域中的一个数）；③当0＜x＜a，（）＜0。试问：（1）f（）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a上,（）的单调性如何？说明理由。分析:由题设知f（）是y=-cotx的抽象函数，从而由及题设条件猜想：（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（里把a看成

进行猜想）。解：（1）∵f（）的定义域关于原点对称，且

是定义域中的数时有

刘芳科老师，∴

在定义域中。∵，∴f（）是奇函数。（2）设0＜x＜x＜2a，则0＜x＜2，∵在（0，2a）上（x）＜0，1221∴（x）（x，（x－x）均小于零，进而知1221＜f（，∴在（0，2a）上f（）是增函数。2

中的，于是（x1又＜x＜a，则0＜－2＜2，

，∵f（）＝－1，∴

，∴f（a）＝0，设2a，于是（x）0，即在（2，4a）（x）0。设2＜x＜1x＜40＜x－x＜2a而知x大于零x0，2211221∴，即（x）＜（x），即（x）在（2a，a）上也是增函数。综上所述（x）在（04a）上是增函数。1211.已知函数（x）对任意实x、都有f（）＝（）·（y），且（－1）＝1（27）＝9，当时，。（1）判断f（）的奇偶性；（2）判断f（）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f）是幂函数

的抽象函数，从而可猜想f（）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。解：（1）令y＝－1，则（－x）＝f（）·（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－）＝f（），（）为偶函数。（2）设

，∴

，，∵

时，

，∴

，∴f（）＜（x，故（x）在0，＋∞）上是增函数。12（3）∵f（27）＝9，又

，∴

，∴

，∵

，∴

，∵

，∴

，又，故

。

刘芳科老师12.设f(x)定义于实数集上，当求证：在R上为增函数。

时，

，且对于任意实数x、y，有

，证明：在若，令所以，即有当时，而所以又当时，

中取，则；当

时，

，得，与

矛盾所以对任意设所以所以13.已知函数

，恒有，则在R上为增函数。对任意不等于零的实数

都有试判断函数f(x)的奇偶性。解：取

得：

，所以又取再取因为

得：则为非零函数，所以

，所以，即为偶函数。14.定义在R上的函数f(x)满足对任意实数m有判断f(x)的单调性；

且当0<f(x)<1。解：在

中，令

，得

，因为

，所以。在

中，令

因为当

时，所以当

时

而

所以又当x=0时，

，所以，综上可知，对于任意

，均有

。设

，则所以

所以

在R上为减函数。15.设函数f(x)对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x<x,则f(x)=f(x-x+x)=f(x-x)+f(x)<f(x).（∵x∴122211211121f(x-x)<0）21

1212xx21111221211212111211121211212xx2111122121121211121112121121所以f(x)是R上的减函数,故在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.16.设f(x)定义于实数集上，当时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)f(x)在R上为增函数。

求证：证明：设R上x<x，则f(x)>1，1221f(x)=f(x-x+x)=f(x-x)f(x注意此处不能直接得大于f(x)，因为f(x的正负还没确定)。221121111取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若0令x>0,y=0则f(x)=0与x>0时矛盾以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0f(-x)>1,∴由

f()fx)f)得f()

1f()

0

，故f(x)>0，从而f(x)>f(x).即f(x)在R上是增函数。2117.已知偶函()的定义域≠0的一切实数义域内的任xx有x()fx)，12且当f()0,f，（1）f()在(0,+∞)上是增函数；（2）解不等式f2解：（1）设，则xxxf(x)f()f(x)f(x)f(()f(x)f()xx∵x∴，∴(2)0，即))，∴()(x)x∴f(x)(0,是增函数（2）f(2)，f((f(()是偶∴不fx2可为f(|

1f函数(0,是增函数，∴|22

解得：

{

10xx}218.已知函数f()的定义域为R，且对m、∈R,恒有(m+)=(m)+f()－1,且f(－)=0,当>－时，2f(x)>0.求证：f()是单调递增函数；证明：设x＜x,则xx>－,由题意f(x－)>0,2∵f(x－f((xxx(xf(x－xf(x)－－f(x)=(xx)－1=(x－x)+(－)2－1=f［xx)－］>0,∴f(x)是单调递增函数219.定义在R+上的函数f(x)满足①对任意实数m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数都成立;(2)证明f(x)是R

+

上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.

mn刘芳科老师mn又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,以f(xy)=f(x)+f(y)(2)证,,x12(1)f(x)f(x)(故f(x)<f(x),即f(x)是R+上的增函数12

xx

)(2

)(m(2)(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(4)，解得3<x≤4.20.已知函数(xxR，对任意不等于零的实数、x都有f()fx)f(x)试判断函22数fx）的奇偶性。解：取x得：(f，所以f(1)又取xx：ff(，所以f(2再取xx(f((即)()因为()为非零函数，所以f(x)偶函数。21.已知函f(x)的定义域关于原点对称且满求证：f(x)是奇函数。

f()f()f()(x)

a证明：设t=x-y,则f((y

f()(xfy)f(xt)，所以f(x)为奇函数。f()f(y)f()x22.定义在R上的单调函数(x)满足f(3)=log3且对任意x，∈R都有(+y)=()+f(y)．(1)求证f()为奇函数；(2)若f(·3

x

)+f(3

x

-9

x

-2)＜0对任意xR成立，求实数k的取值范围．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)----①y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)即f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意∈R成立，∴f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)又f(x)R上是单调函数，所以f(x)在上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3

x

)＜-f(3

x

-9

x

-2)=f(-3

x

+9

x

+2)，k·3

x

＜-3

x

+9

x

+2，3

2x

-(1+k)·3

x

+2＞0对任意x∈R成立．分离系数由k·3

x

＜-3

x

+9

x

+2k

22而u33要使对

x

不等式

k

23

恒成立，只需k<

22

11刘芳科老师11上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解．23.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;解:(1)、