同济大学大一-高等数学期末试题-(精确答案)

ln2cos1'ln2cos1'--》A卷卷分钟：适用专业；知阅卷用红色墨水笔书写小得写在每小题分表示，不得分则在小题大题得分登在应的分数框；考试课程应集体阅卷流水作业。程名：数学A（性质：期考A卷）题）一得分评人

二

三

四

核人总分

一单选题（共分，每小题分）．函数(y)在,y00Af(x)在续

两个导

f,x0

，(x)y00Bf(x)

都在，则在可

()C．limf(x)及limfx,y)存在0x．z，则等（

lim(,)(x,)

f(,y

存在A.

y

lnlnylnlnyx

B

lnln

lnx

ln

lnxlny

dy

.

y

lnlnlnxlnxdyxy．

是圆面

x2y2

及面

z

所围的区，则

(xy)

2

drrcos

d(rr

)00

d

f(rrsin

)dz

D

rdr

f(rr

z)dz

0

0．若

a(xn

n

在

处收，此数在2处（nA条件敛B．绝对收敛C发散D敛性不能确．曲线

y2y

在（，1，2）的一个切线方向向量为（（-1，3）），0）0-1）二、填空题（共分每小题分）．

xxyz

则x

--e22e22--．交I

ln

f(

的积次序后，I．0则在点M(2处梯度为设2n4.已知e，则x!的极小点是5.函数yy

三解答题（分，小分）（小题满分）设arctan

yx

,求

,

.2.（本小满分分）求椭球面2

的平行平

2yz

的切平面方程并求切处的法线程3.（小分分求数x

在点处量l

ij

方向的。4.本满分将f(x)

展开成

x

的幂级数，并收敛域。小满分分）求由方

2

所定的隐函数zx,y)的极值。----题分分）算重积分

)dD由曲线yy

及

围成D（小题满分分利用格林公式计算yxL

，中圆周（按时方向）8.（本小满分分计算柱面及面xy所围成且在一卦限内区域.

.四、综合题（共分，每小题分）题分设数

,

都收，证级

()

收敛

--2(te2(te--小满分分设函数(y)在内有一阶连续偏导数，且，证曲线积分f(x,y)L

与路径无关．若对任意的t恒有(,y)dy

(1,t)

2xydxxy)

求(x,)的表式．(0,0)(0,0)准一单选题（15分每题D4BA二填空题（15分每题）1.-12.I(x,y)dxijk三、答题共54分每题分）;(3分．解：2x

(xn!

y=x2.解切

+x2y,y,00

(分则切平面的法向量

nx,3y)000

2x3yz满足02

切点：

或(

(3分，平面：xzor

(4分，程分为：

2

z2

或者x2

yz

(6分3.解

(2,4)

(1,(分3

()解

f()

13x)

=

13x1)3

,(2分)因

n

(

nx

11

，(1

,以

1)

n

(

n

x)3

n

=

n

1(()(x)3

n

,中x3

，x

.分)当x时，为发当时，级为3nn(分)

n

13

1散,故=xn

(

n

1()3

n

(x)

n

，(,6)

，--2(xy)2rdr3ππ2rd22(xy)2rdr3ππ2rd24x1zy解：由4(y)y

,得到与

--,(2分再入2y

得到7z2即

。由此知隐函数y)的点为(0,与)。分)7由，

4，可知在点(0,与)7

有H。分)在，，因此为小值，极值为；(分15在)7

4点，，此)为大点，大值为，7分)1576.解记D:D:y

y

，则DDD.（2分）故

(

y

d

(x

)d

(x

)d

(4分7.

DDD3122解：所围区域：ya2

1（分）034由格林公式，可得xyyx

yx

=

(

2

)

)xy

=

D

(

22)ddy

=

0

r

r

π

分8.

0π解：如图，选取柱面坐标系计方,此时，20

所以

xyxy

10

π20

10

rcossin

(分

z

1π12r4==()04四、合题共16分每题分）

分

O

1

y．证明：因为vnn

分）

x故在，时，)2unnn

，此收分）xy)．证明：因为

，故曲线积分f,)dyL--

与路径无分）(t,1)t(t,1)tt)tt--，而因此设,)g()2((2