《自动控制原理简明教程》第九章 状态空间描述法

第九章状态空间描述法

9.1线性系统的状态空间描述

9.2状态方程求解9.3可控性与可观测性9.4状态反馈与状态观测器End9.1线性系统的状态空间描述法

1．控制系统的两种基本描述方法：

输入—输出描述法——经典控制理论状态空间描述法——现代控制理论

2．经典控制理论的特点：

(1)优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。

(2)缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。

3.现代控制理论

(1)适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。

(2)可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。

(3)应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制……9.29.39.4一、问题的提出

1.先看一个例子：

例9.1

试建立图示电路的数学模型。RL

Ci(t)ur(t)

uc(t)二.状态和状态空间

2.

状态与状态变量的定义在已知ur(t)的情况下，只要知道uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。如上例中,为系统的状态，为状态变量。3.状态向量

4.状态空间:

定义:所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量空间称为状态空间。

把描述系统状态的个状态变量看作向量

的分量，则向量称为维状态向量，记作﹕

5.状态方程:

状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程(见上例);系统输出量y(t)与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。

三.状态变量的选取

1.状态变量的选取是非唯一的。

2.选取方法

（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。

（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc、质量m

的速度v

等。

例9.2

图示弹簧——质量——阻尼器系统，外作用力u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。

k

mu(t)y(t)f例9.3

已知系统微分方程组为

其中，ur

为输入，uc

为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。

四.状态空间表达式

1.单输入单输出线性定常连续系统

2.

一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）

3.

线性定常系统状态空间表达式∫（t域）（w域）uxy

B∫

C

D

Ab)结构图系统

A输入

u输出

y状态

X

a)结构关系图DBC五.线性定常系统状态空间表达式的建立

1.方法:机理分析法、实验法

2.线性定常单变量系统(单输入—单输出系统)

(1)由微分方程建立

①在输入量中不含有导数项时：写成向量---矩阵形式(或系统动态结构图):可得

列写系统的状态空间表达式。解：选

例9.4

已知系统微分方程为

①可控规范型实现(2)由传递函数建立——即实现

B）bn≠0以三阶为例令

则

求拉氏反变换可得

得系统的状态空间表达式

表示为矩阵形式：

例9.5

已知系统的传递函数为

试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。例9.6

已知系统的传递函数为

试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。

例9.7

已知系统的传递函数为

试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。

与能控规范型关系：

A*=AT，B*=CT，C*=BT

②能观测规范型实现③对角线规范实现

结构图的对角线规范型实现，并画出系统状态图

。

例9.8

求

+x1y(t)u(t)∫λ1c1x2∫λ2c2xn∫λncn++④约当规范型实现----特征方程有重根时

xnx4x11x12x13y(t)u(t)+++++∫λ1∫λ4∫λn∫λ1∫λ1

c11

c12c13c4

cn(3)状态空间表达式的线性变换①思路：②变换前后系数矩阵关系：

代入原状态方程，有

例：设系统的状态空间表达式为：取变换矩阵则

3化为为对角标准形（对角规范化）已知线性定常系统的状态方程当系统矩阵的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵，通过线性变换，有的特征值所对应的特征解且变换为对角线规范型。

例9.9

试将状态方程：解：Ⅰ.求特征值：

Ⅱ.求特征向量和变换矩阵P

λ=-1对应的p1

(2)开环与闭环传递矩阵单入—单出系统y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)-y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)多入—多出系统-3．线性定常多输入—多输出系统

(1)传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系

(4)传递矩阵的实现1)单输入—多输出时的实现(3)传递矩阵的对角化可控规范型

例9.10

试求下列单输入—双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。

解：2)多输入—单输出时的实现解题思路：

①求对应的单入多出系统GT(s)的实现；

②利用对偶关系求G(s)的实现。

例9.11

线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。

解：9.2状态方程求解线性定常连续系统1.齐次状态方程的解（1）

幂级数法设解为：

9.39.49.1⑵拉氏变换法由两边取拉氏变换，得

SX(s)-X(0)=AX(s)(SI﹣A)X(s)=X(0)

X(s)=(SI﹣A)-1.X(0)两边取拉氏反变换

x(t)=L-1[X(s)]=L-1[(SI-A)-1

X(0)]=L-1[(SI-A)-1]X(0)比较前式，有eAt=L-1[(SI-A)-1]△状态转移矩阵的运算性质

ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+(1/k！)Aktk+…⑴ф(0)=I─初始状态

(2)⑶ф(t1±t2)=ф(t1)ф(±t2)=ф(±t2)ф(t1)-----线性关系

⑷

ф-1(t)=ф(-t)，ф-1(-t)=ф(t)-----可逆性

⑸

x(t)=ф(t-t0)x(t0)∵x(t0)=ф(t0)x(0),

则

x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)]=ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)（6）ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A

——可分阶段转移⑺[ф(t)]k=ф(kt)⑻

e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt

(AB=BA)

e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt

(AB≠BA)⑼

引入非奇异变换后，⑽

两种常见的状态转移矩阵

例9.12

设有一控制系统，其状态方程为

在t0=0时，状态变量的初值为[x1(0)x2(0)x3(0)],试求该方程的解。

试求A及ф(t)。

例9.13

设系统状态方程为解方程组得，

ф11(t)=2e-t–e-2t,ф12(t)=2e-t－2e-2tф21(t)=-e-t+e-2t,ф22(t)=-e-t+2e-2t

例9.14

设系统运动方程为式中a、b、c均为实数，试求：

⑴求系统状态空间表达式。

⑵求系统状态转移矩阵。

2.非齐次状态方程的解⑴直接法（积分法）

(2)拉氏变换法

sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)

x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则x(t)=￡-1[(sI-A)-1x(0)]+￡-1[(sI-A)-1Bu(s)](由eAt=￡-1[(sI-A)-1]可得)

例9.15

在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。例9.16

设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行分析。解：由图32/s1-

电动伺服阀放大器油缸位移传感器u(s)y(s)一、可控与可观测的概念、意义9.3可控性与可观测性9.29.49.1

设线性定常连续系统的状态空间表达式为：

如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔[to,tf]内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf)，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。二、定义1.

可控性定义三、可控性与可观测性判据

系统在稳定输入u(t)作用下，对任意初始时刻to，若能在有限时间间隔[to,tf]之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值和输入u(t)，唯一地确定系统在to时刻的状态x(to)，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。2.

可观测性定义可控规范型：

úúúúûùêêêêëé=

úúúúúúûùêêêêêêëé----=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1.

可控性判据线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：必须满秩。即（n为系统维数）判据一：试判别其状态的可控性。解：

例9.17

设系统状态方程为：设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：中，阵不包含元素全为零的行。判据二:

例9.18

已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控性。解：

例9.19

试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。

例9.20

试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。中，与每个约当小块的最后一行相对应的阵中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）

约当规范型

判据三：

判据一:

线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵:2.

可观测性判据必须满秩，即rankQo=n（n为系统维数）可观测规范型：例9.21

已知系统的A,C阵如下，试判断其可观性。例9.22

试判别如下系统的可观测性。解：解：的矩阵中不包含元素全为零的列。设线性定常连续系统具有不相等的特征值,则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型:例9.23

试判别以下系统的状态可观测性.判据二:中,与每个约当块首行相对应的矩阵中的那些列,其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立)。

约当规范型判据三:

例9.24

试判别下列系统的状态可观测性。

1）可控可观测的充要条件：

由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。

2）可控的充要条件：

(SI-A)-1b不存在零极点对消。

3）可观测的充要条件：

c(SI-A)-1不存在零极点对消。

四、能控能观性与传递函数的关系例9.25

判断以下系统的状态可控性与可观测性。1.

单输入单输出系统2.

多输入多输出系统1）可控的充要条件：

(SI-A)-1B

的n行线性无关。2）可观测的充要条件：

C(SI-A)-1的n列线性无关。

例9.26

用两种方法验证：系统（1）的状态可控性；系统（2）的状态可观测性。例9.27五、对偶原理设系统S1(A1,B1,C1)与系统S2(A2,B2,C2)互为对偶系统，则:若系统S1(A1,B1,C1)可控，则系统S2(A2,B2,C2