【教学】必要条件和充分条件 省赛获奖

必要条件和充分条件第2课时复习引入一个命题中，其中p是条件，q是结论如果pq（条件结论），就称“p是q的充分条件”；如果qp（结论条件），就称“p是q的必要条件”．新知探究问题1

根据下面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．（1）在勾股定理中，“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件．（2）在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件．综上：“三角形是直角三角形”是“三角形的两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件；新知探究一般地，如果pq，且qp．记作p⇔q．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．

就称“p是q的充要条件”，这时可以记作p⇔q，即p与q等价．那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，

新知探究追问：能否列举一个充要条件的实例？“实数｜x｜＜1”是“实数－1＜x＜1”的充要条件，即｜x｜＜1⇔－1＜x＜1．新知探究问题2

数学上的判定定理、性质定理与充分条件、必要条件有关，那么数学定义与充分条件、必要条件有关吗？试以某一定义为例说明！充要条件与数学中的定义有关．例如，三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等．新知探究问题3

结合实例，说明为什么有些数学对象有多种定义．因为有些数学对象充要条件不唯一，所以可以有多种定义．如平行四边形，可定义为“两组对边分别平行的四边形”，也可以定义为“两组对边分别相等的四边形”，还可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”及“对角线互相平分的四边形”等．这同时还告诉我们，在理解数学概念时，可以用自己较为熟悉的充要条件去替换定义，从而加深自己对数学对象的理解和认识．新知探究问题4

x＞3是x＞2的_________________条件，x＞2是x＞3的_________________条件，x＞2是x＜3的____________________条件．一般地，如果pq且p⇏q，则称p是q的充分不必要条件，相应地，我们称q是p的必要不充分条件．如果p⇏q且qp，则称p是q的必要不充分条件，如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件．充分不必要必要不充分既不充分也不必要新知探究问题5

一个命题的条件有哪些分类？并举例说明．一个命题的条件分为：“充分不必要条件”“既不充分也不必要条件”四种．如：“三角形是直角三角形”是“一边的中线等于该边长的一半”的充要条件；“x＞2”是“x＞0”的充分不必要条件．“必要不充分条件”“充要条件”初步应用例在下列各题中，试判断p是q的什么条件．（1）因为命题“若AB则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则AB，也为真命题，所以p是q的充要条件；（2）因为“a＝b”

“｜a｜＝｜b｜”但是“｜a｜＝｜b｜”不能推出“a＝b”，例如，“｜1｜＝｜－1｜”，而“1不等于－1”，（1）p：AB，q：A∩B＝A；（3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．（2）p：a＝b，q：｜a｜＝｜b｜；所以p是q的充分条件，但不是必要条件；初步应用例在下列各题中，试判断p是q的什么条件．（3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．（1）p：AB，q：A∩B＝A；（3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．（2）p：a＝b，q：｜a｜＝｜b｜；初步应用1a＞2是a＋

＞3的（）解得0＜a＜1或a＞2，即不等式的解集为｛a｜0＜a＜1或a＞2｝，

CB．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A．充要条件C．充分不必要条件解析：由不等式

，即

初步应用2设α：m－1≤x≤2m，β：2≤x≤4，m∈R，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m的取值范围．解答：由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，｛x｜m－1≤x≤2m｝{x|2≤x≤4}，

因此，实数m的取值范围是[2，3]．归纳小结问题6

本节课我们学习了命题的四种条件，充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的含义分别是什么？推出关系充分性、必要性

pq且q⇏p

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件p⇏q且q⇏p

作业布置作业：课本P22页A组1，P23页B组1．1目标检测AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件设a∈R，则“2＜a＜3”是“a2－5a－6＜0”的（）解析：由a2－5a－6＜0可得（a－6）（a＋1）＜0，即－1＜a＜6，则2＜a＜3是－1＜a＜6的充分不必要条件，故选：A．2目标检测BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件已知x∈R，则“x＜2”是“

＞1”的（）

解析：当x＝－1时，“x＜2”成立，但

＜0，

故“

＜1”，故“x＜2”不是“

＞1”的充分条件，

“

＞1”等价于

＜0⇔0＜x＜2，即

＞1能推出x＜2，

∴“x＜2”是“

＞1”的必要条件，

故“x＜2”是“

＞1”的必要不充分条件．

3目标检测B设p：

≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A．0＜a＜

B．0≤a≤

C．0≤a＜

D．0＜a≤

解析：∵p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，且p是q的充分不必要条件，

∴

[a，a＋1]，

解得：0≤a≤．

则

，且两不等式中的等号不同时成立．

4目标检测BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件已知a，b∈R，则“a＋b＞6”是“a＞3且b＞3”的（）解析：∵a，b∈R，若a＋b＞6，则a，b的大小无法确定，不能得出a＞3且b＞3，故充分性不成立，若a＞3且b＞3，则a＋b＞6，故必要性成立，∴“a＋b＞6”是“a＞3且b＞3”的必要而不充分条件．5目标检测（1）求A∩B；（2）若C＝｛x｜a－4≤x≤a＋4｝，且“x∈C”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，求a的取值范围．已知全集为R，集合A＝｛x｜2≤x≤6｝，B＝｛x｜3x－7≥8