高考数学二轮复习名师知识点总结导数及其应用

(完好版)高考数学二轮复习名师知识点总结：导数及其应用(完好版)高考数学二轮复习名师知识点总结：导数及其应用(完好版)高考数学二轮复习名师知识点总结：导数及其应用知识点总结与练习导数及其应用高考主要观察1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．观察导数的有关计算，特别是简单的函数求导．3．利用导数研究函数的单一性，会求函数的单一区间．4．由函数单一性和导数的关系，求参数的范围．5．利用导数求函数的极值．6．利用导数求函数闭区间上的最值．7．利用导数解决某些实质问题．8．观察定积分的观点，定积分的几何意义，微积分基本定理．9．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动行程．【复习指导】复习时，应充分利用详细实质情形，理解导数的意义及几何意义，应能灵巧运用导数公式及导数运算法例进行某些函数求导.；复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，领会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，要点解决利用导数来研究函数的单一性及求函数的单；复习主要掌握定积分的观点和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的均匀变化率函数y＝f(x)从x1到x2fx2－fx1y的均匀变化率为2.若x＝x2－x1，y＝f(x2)－f(x1)，则均匀变化率可表示为.1xx－x2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0x→0yx→0fx0＋x－fx0为函数y＝f(x)在x＝x00处的刹时变化率limxx处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x0x→0y0)＝lix.，即f′(xm(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．fx＋x－fx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.3．函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limx4．基本初等函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；－若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝1；xlna1若f(x)＝lnx，则f′(x)＝x.-1-/18知识点总结与练习5．导数四则运算法例(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fx′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．(3)gx[gx]26．复合函数的求导法例复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.注意：一个差别曲线y＝f(x)“在”点P(x0000，y)处的切线与“过”点P(x，y)的切线的差别：曲线y＝f(x)在点P(x00P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为0，y)处的切线是指k＝f′(x)，是独一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x00P点，点P能够是切点，也能够不是切点，并且这样的直线可能有多条．，y)的切线，是指切线经过7．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率,切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．8．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的刹时速度．9．函数的单一性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)随意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0?函数f(x)在(a，b)上单一递加；f′(x)≤0?函数f(x)在(a，b)上单一递减．10．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①假如在x0邻近的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②假如在x0邻近的左边f′(x)＜0，右边f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值，假如左右双侧符号同样，那么这个根不是极值点．11．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单一递加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单一递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤以下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．-2-/18知识点总结与练习12．定积分(1)定积分的定义及有关观点假如函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<xi－1<xi<＜xn＝b，将区间[a，b]平分红n个小区间，在每个小区间[xi－1i]上任取一点nnb－aiiini＝1i＝1这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx.a在bf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，af(x)dx叫做被积式．(2)定积分的性质bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k为常数)．aa②b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx.aaa③bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(此中a<c<b)．aac13．微积分基本定理假如f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫a牛顿—莱布尼兹公式．14．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的观点是从曲边梯形面积引入的，可是定积分其实不必定就是曲边梯形的面积．这要联合详细图形来定：设暗影部分面积为S.①S＝bf(x)dx；a②S＝－bf(x)dx；a③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；ac④S＝b－b＝b－f(x)dxg(x)dx[f(x)g(x)]dx.aaa(2)匀变速运动的行程公式作变速直线运动的物体所经过的行程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝bv(t)dt.a-3-/18知识点总结与练习双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)分析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案Csinx1π2．(2011湖·南)曲线y＝sinx＋cosx－2在点M4，0处的切线的斜率为( )．1122A．－2B.2C．－2D.2分析本小题观察导数的运算、导数的几何意义，观察运算求解能力．cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx1π1y′＝sinx＋cosx2＝，把x＝4代入得导数值为2.1＋sin2x答案B3．(2011江·西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()．A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)分析令f′(x)＝2x－2－42x－2x＋1＝x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.应选C.x答案C答案2－24．(2011福·建)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )．A．2B．3C．6D．9分析f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤a＋b262＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．2＝2答案D5．已知函数14x3＋2x2，则f(x)()．f(x)＝x4－43A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值C．有极小值，无极大值D．无极小值，无极大值分析f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2f′(x)，f(x)随x变化状况以下x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)043所以有极小值无极大值．答案C-4-/18知识点总结与练习x2＋aa＝________.在x＝1处取极值，则6．若函数f(x)＝x＋1分析∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0，2xx＋1－x2＋a又f′(x)＝，x＋122×1×1＋1－1＋a∴f′(1)＝＝0，1＋12即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3.答案3双基自测1．(2011·福建)1(ex＋2x)dx等于()．0A．1B．e－1C．eD．e＋1分析1(ex＋2x)dx0ex＋x210(e＋1)－1＝e.答案Cππ)．2．(2011湖·南)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的关闭图形的面积为(3313A.2B．1C.2D.3分析ππππS＝∫－cosxdx＝2∫0cosxdx＝2sinx|0＝3.3333答案D3．(2011·山东)由曲线y＝x2，y＝x3围成的关闭图形面积为( )．1117A.12B.4C.3D.12分析y＝x2，(0,0)，(1,1)，所以所求图形面由得交点坐标为y＝x3，积为S＝1(x2－x3)dx＝1x3－1x401＝1.03412答案A4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成以下图的暗影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在暗影部分的概率是( )．-5-/18知识点总结与练习分析暗影部分的面积S＝πsinxdx＝－cosxπ00＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P＝暗影部分的面积21矩形面积＝＝.故应选A.2ππ答案A12π3A.πB.πC.4D.π定积分的计算【例1】计算以下积分\\当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．-6-/18知识点总结与练习考向二导数的运算【例2】?求以下各函数的导数：x＋x5＋sinx(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝sinx2x；(4)y＝1＋1；(1)y＝x2；21－2cos41＋x1－x[审题视点]先把式子化为最简式再进行求导．1＋x5＋sinxxx，解(1)∵y＝22＝x－3＋x3＋sin2x2xy′＝x－3′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－3x－5＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.222(2)法一y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.法二y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)3x2＋12x＋11.xx＝－1111(3)∵y＝sin－cos2sinx，∴y′＝－sinx′＝－(sinx)′＝－cosx.22222(4)y＝1＋1＝1＋x＋1－x＝2，∴y′＝2′＝－21－x′＝21－x1＋x1－x1＋x1－x1－x1－x21－x2.(5)由y＝xcosx－5sinx为奇函数1－＋＝1－12dx＝2x－11＝4.(xcosx5sinx2)dx－1(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法例是正确求导的基础．-7-/18知识点总结与练习(2)必需时对于某些求导问题可先化简函数分析式再求导．【训练2】求以下函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(x＋1)2(x－1)．sinx解(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．－sin2x－cos2x＝－1(2)y′＝sin2xsin2x.x1＝ex1＋lnx.(3)y′＝elnx＋e·x(4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝3x2＋2x－1.考向三求复合函数的导数【例3】?求以下复合函数的导数．(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π；(4)y＝ln(2x＋5)．3[审题视点]正确分解函数的复合层次，逐层求导．解(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5，由y＝u5与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)设u＝3－x，则y＝3－x.由y＝u1与u＝3－x复合而成．211u－1(－1)＝－11＝－1＝3－xy′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝22u－23－x.2222x－6π(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，3则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π·cos2x＋π＝2sin4x＋2π.33312(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′y′＝2x＋5·(2x＋5)′＝2x＋5.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的要点是正确剖析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地剖析，把复合函数分解成若-8-/18知识点总结与练习干个常有的基本函数,逐渐确立复合过程．【训练3】求以下函数的导数：(1)y＝2＋1；2－xsin2x;(4)y＝ln2x(2)y＝sin2x；(3)y＝e1＋x.解(1)y′＝1·2x＝x，x2＋12x2＋1(2)y′＝(2sin2x)(cos2x)×2＝2sin4x－－－x(2cos2x－sin2x)．(3)y′＝(－ex)sin2x＋ex(cos2x)×2＝e(4)y′＝1·1x·2x＝.1＋x221＋x21＋x2考向四：求曲线上某一点的切线方程1－a【示例】?(2010·山东)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，议论f(x)的单一性．(1)求出在点(2，f(2))处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f′(x)，再对a分类议论．[解答示范](1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2－1，xx∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝x2＋x－2，x∈(0，＋∞)，(1分)x2所以f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.(3分)(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－a－1，所以f′(x)＝1－a＋a－21＝－ax2－x＋1－a2，x∈(0，＋∞)．(4分)xxxx令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单一递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单一递加；(6分)-9-/18知识点总结与练习②当a≠0时，由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1－1.a1时，x12f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单一递减；(7分)a．当a＝2＝x，g(x)≥0恒建立，此时11b．当0＜a＜2时，a－1＞1＞0.x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单一递减；x∈1，1－1时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单一递加；x∈1－1，＋∞时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)aa单一递减；(9分)1c．当a＜0时，因为a－1＜0，x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单一递减；x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单一递加．(11分)综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单一递减，函数f(x)在(1，＋∞)上单一递加；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单一递减；2当0＜a＜1时，函数f(x)在(0,1)上单一递减，2函数f(x)在1，1a－1上单一递加，1函数f(x)在a－1，＋∞上单一递减．(12分)考向五求曲线切线的方程【例1】?已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[审题视点]由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点能否在曲线上，能否为切点．解(1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又f(2)＝－2∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x32－4)20000000则切线方程为22)，又切线过320－4)点，y－(－2)＝(3x0－8x0＋5)(x－(x0，x0－4x0＋5x3222解得x0＝2，或x0＝1，则x0－4x0＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)(x0－1)＝0，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.-10-/18知识点总结与练习第一要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线仍是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y＝f(x)在x＝x00处的切线方程可先求f′(x)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)则y0＝kx0，①322－6x＋2，∴k＝y′|x＝x2y0＝x0－3x0＋2x0，②又y′＝3x0＝3x0－6x0＋2，③232231由①②③得：或x0＝，∴k＝2或k＝－.(3x0－6x0＋2)x0＝x0－3x0＋2x0，即(2x0－3)x0＝0.∴x0＝042考向六函数的单一性与导数【例2】?已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，务实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单一区间．[审题视点]函数单一的充要条件是f′(x)≥0或f′(x)≤0且不恒等于0.解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤312x－x.记t(x)＝3x－1，当x≥1时，t(x)是增函数，32x∴t(x)min＝(1－1)＝0.2∴a≤0.(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.1令f′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝3.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状况以下表：111(3，＋∞)x－∞，－3－3－3，33f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值11，3∴当x∈－∞，－3，[3，＋∞)时，f(x)单一递加，当x∈－3时，f(x)单一递减．-11-/18知识点总结与练习函数在指定区间上单一递加(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只需不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单一区间解f′(x)＞0(或f′(x)＜0)即可．【训练2】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单一增区间；(2)能否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明原因．解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上递加，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.所以f(x)的递加区间是[lna，＋∞)．(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒建立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒建立．又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.当a＝e3时f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单一递减．考向七利用导数解决不等式问题【例3】?设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单一区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.[审题视点]第(2)问结构函数h(x)＝ex－x2＋2ax－1，利用函数的单一性解决．(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表.x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单一递减2(1－ln2＋a)单一递加故f(x)的单一递减区间是(－∞，ln2]，单一递加区间是[ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处获得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a＞ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0.于是对随意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单一递加．-12-/18知识点总结与练习于是当a＞ln2－1时，对随意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，进而对随意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.利用导数证明不等式要考虑结构新的函数，利用新函数的单一性或最值解决不等式的证明问题．比方要证明对?x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只需利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．【训练3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)ex(1)若函数没有零点，务实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.(1)解由已知条件f(x)＝0无解，即x2＋mx＋m＝0无实根，则＝m2－4m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明2x当m＝0时，f(x)＝xe设g(x)＝ex－x－1，∴g′(x)＝ex－1，g(x)，g′(x)随x变化状况以下：x(－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)0由此可知对于x∈R，g(x)≥g(0)即ex－x－1≥0，所以x2(ex－x－1)≥0，整理得x2ex≥x3＋x2，即f(x)≥x3＋x2.考向八函数的极值与导数【例1】设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x),若函数y＝f′(x)的图象对于直线x＝－1对称,且f′(1)＝0.2(1)务实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．1[审题视点]由条件x＝－2为y＝f′(x)图象的对称轴及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符号求其极值．aa2解(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.进而f′(x)＝6x＋62＋b－6，-13-/18知识点总结与练习即y＝f′(x)的图象对于直线x＝－a对称，6进而由题设条件知－a＝－1，解得a＝3.62又因为f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．进而函数f(x)在x1＝－2处获得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处获得极小值f(1)＝－6.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值，假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值．ex【训练1】(2011·安徽)设f(x)＝，此中a为正实数．1＋ax24(1)当a＝3时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单一函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax.①1＋ax22(1)当a＝4时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1.322综合①，可知x－∞，111，333，＋∞222222f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值-14-/18知识点总结与练习所以，x3是极小值点，x1是极大值点．1＝22＝2(2)若f(x)为R上的单一函数，则f′(x)在R上不变号，联合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒建立．所以＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并联合a＞0，知0＜a≤1.考向九函数的最值与导数【例2】?已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．[审题视点]先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．解(1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2a