田间试验与统计方法第七章回归与相关

第七章回归与相关

RegressionandCorrelation060120180施氮量(kgN/ha)2468植物的生长量直线回归和相关第一节回归和相关的概念第二节直线回归第三节直线相关第四节直线回归与相关的内在关系和应用要点引言

这一章研究的对象：由一个变数两个或多个变数，因为在实际生产实践和科学实验中所要研究的变数往往不止一个，例如：研究温度高低和作物发育进度快慢的关系研究每亩穗数、每穗粒数和每亩产量的关系第一节回归和相关的概念1.函数关系与统计关系2.自变数与依变数3.回归分析和相关分析4.两个变数资料的散点图变量间的关系有两类：

一类是变量间存在着完全确定性的关系，可以用精确的数学表达式来表示。

如长方形的面积：S=ab。它们之间的关系是确定性的，只要知道了其中两个变量的值就可以精确地计算出另一个变量的值，这类变量间的关系称为函数关系。

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另一类是变量间不存在完全的确定性关系，不能用精确的数学公式来表示。

如施肥与产量的关系；身高与体重关系等这些变量间都存在着十分密切的关系，但不能由一个或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。像这样一类关系在生物界中是大量存在的，统计学中把这些变量间的关系称为相关关系，把存在相关关系的变量称为相关变量。统计关系下一张

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相关变量间的关系一般分为两种:一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几个变量的影响。施肥影响产量，子代的体高受亲本体高的影响；另一种是平行关系，它们互为因果或共同受到另外因素的影响。如身高和体重之间的关系等都属于平行关系。下一张

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统计学上采用回归分析（regressionanalysis）研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。一元回归分析：研究“一因一果”

直线回归分析和曲线回归分析多元回归分析：研究“多因一果”

多元线性回归分析与多元非线性回归分析下一张

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回归分析的任务：揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形式，建立它们之间的回归方程，利用所建立的回归方程，由自变量（原因）来预测、控制依变量（结果）。

统计学上采用相关分析(correlationanalysis)研究呈平行关系的相关变量之间的关系。简单相关分析（直线相关分析）：两个变量；复相关分析：研究一个变量与多个变量间的线性相关；偏相关分析：多个变量，研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关。

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函数关系有精确的数学表达式（确定性的关系）直线回归分析一元回归分析变量间的关系因果关系曲线回归分析(回归分析）多元回归分析多元线性回归分析统计关系 多元非线性回归分析（非确定性的关系）简单相关分析——直线相关分析平行关系复相关分析（相关分析）多元相关分析偏相关分析第一节直线回归

一、直线回归方程的建立

对于两个相关变量，一个变量用x表示，另一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）

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为了直观地看出x和y间的变化趋势，可作出散点图。例如，图是水稻方面的3幅散点图

x，单株产量(g)水稻单株生物产量与稻谷产量的散点图

x，每m2颖花数(万)

水稻每m2颖花数和结实率的散点图x，最高叶面积指数

水稻最高叶面积指数和亩产量的散点图从散帐点图妨可以婶看出套两个乞变量吐间：（2）关系性质：正播相关之？负证相关范？（3）相关屡程度：相脂关密孙切？触不密凉切？下一属张主鸟页退浆出上一膜张散点脑图直观今地、悦定性橡地表示往了两渴个变大量之恳间的疫关系止。定量？（1）关系类型：直班线型畅？曲缺线型语？如果抬呈因艳果关羽系的原两个织相关帅变量y(依变腰量)与x(自变俭量)间的陵关系孤是直千线关抛系依变合量y的实蔽际观绑测值yi可用因自变板量x的实屯际观岂测值xi表示徒为：(由于熔依变厕量y的实深际观滚测值值总是豆带有杂随机该误差)(i=1,2,…,n)（7－1）其中:x为可厨以观晚测的途一般这变量(也可奇以是洋可以屯观测艺的随机机变铅量);y为可盐以观绑测的秩随机族变量;这就助是直驻线回脖归的数学诱模型。我滋们可槐以根棋据实善际观灾测值宅对α，β以及样方差梢做脊出估注计。i为相烧互独足立，炭且都鸣服从N（0，爹）姜的随券机变戴量。在x、y直角领坐标做平面仙上可蛙以作猴出无害数纲条直柱线，无我们把所丈有直包线中烂最接轿近散浩点图应中全鞋部散丘点的签直线姥用来园表示x与y的直膝线关摸系，这哗条直若线称泻为回归导直线。下一店张主互页退湿出上一挺张设回归直线的方程为:(7-2)其中落，a是α的估篇计值疯，b是β的估错计值烛。确定微直线圾回归迹方程初的方共法有杨最小脆二乘矩法、站高斯狱牛顿可法、驳麦夸矛特法中、牛沈顿法位、梯海度法纠、正挡割法阀等等杰。这里荣重点搬给大缩慧家介眼绍最歪小二爸乘法车。a、b应使擦回归厦估计浴值缸与射实际斥观测普值y的偏等差平客方和半最小，即榜：根据赛微积出分学放中的柳求极谨值的冻方法辉，令Q对a、b的一峡阶偏掩导数绣等于0，即抚：最小整理芳得关岁于a、b的正规然方程乏组：下一顺张主茎页退谁出上一耀张解正虾规方养程组哑，得立：（7-3）（7-4）分子采是自店变量x的离畏均差银与和依押变售量y的墙离求均课差爬的洽乘价积和，简栏称乘积亮和，记凶作分母楼是自膛变量x的离兽均差锻平册方和阳，记灵作SSX。回归系数回归截距b的符专号反样映了x影响y的性唤质，b的绝闪对值徐大小世反映男了x影响y的卡程度;的估计值。叫做回归估计值，是当x在在其研究范围内取某一个值时，y值平均数回归城方程驱的基尿本性恐质：如果同将（7-睡4）式筋代入必（7-许2）式年，得懒到回霜归方骨程的健另一仓种形住式(中心按化形告式)：下一文张主姑页退滴出上一仪张性质1最小；性质2；性质3回归直线通过点。（7-5）【例7.界1】在四狂川白滑鹅的杨生产茫性能哗研究途中，率得到伟如下众一组验关于或雏鹅测重（g）与70日龄似重(g顾)的数房诚据，制试建哗立70日龄椅重(y)与雏符鹅重(x)的直检线回妖归方堆程。表7-朴1四川巡寿白鹅顶雏鹅张重与70日龄袖重测统定结腐果（单疼位：g）下一族张主济页退异出上一轨张1、作凭散点异图以雏拾鹅重棋（x）为横绿坐标卵，70日龄折重（y）为纵华坐标早作散系点图国，见图2、计旋算回末归截闹距a，回归头系数b，建立谷直线虏回归刘方程首先结根据重实际衰观测行值计钱算出锤下踏列全数据炮：下一骆张主烦页退罢出上一瓣张进而温计算惹出b、a：得到四川白鹅的70日龄重y对雏鹅重x的直线回归方程为：根据蚂直线卧回归疲方程廉可作亡出回公归直罚线。(作图继）制作足直线吧回归负图时偏，首柳先以x为横勺坐标汇，以y为纵史坐标驾构建析直角鸣坐标压系；删然后债取x坐标嚼上的槽一个乐小值x1代入摆回归昂方程效得弃，取丽一个供大值x2代入城回归钥方程朴得津，连膏接坐策标点(x1，)和(x2，)即成牛一条善回归磁直线含。从图钉看出竞，并动不是体所有悬的散蹲点都刘恰好狂落在彩回归霸直线愉上，直这说别明用夫去滋估计y是有柳偏差惨的。下一矛张主秒页退锻出上一板张3、直埋线回舱归的厅偏离蚁度估旅计偏差避平方锻和喝的工大小改表示惠了实驻测点巷与回周归直柏线偏极离的膨程度葛，因必而偏陵差平哪方和晌又称亲为离回禾归平间方和。离回苹归均最方为：离回张归标迈准误（7-怒6）离回烂归标护准误Syx的大棍小表谱示了舌回归由直线比与实婆测点执偏差崇的程画度，即惠回归叨估测际值规与特实变际观符测值y偏差代的程轿度，晋于是唇我们把离终回归贸标准抽误Syx用来芬表示己回归稀方程亚的偏笔离度腾。下一狸张主食页退至出上一抓张二、隙直线泻回归诵的显吉著性尾检验上面吼介绍熊的方浩法求蜘得一重个回肿归方意程=a+bx。显然额，这营样的示回归监方程库所反船应的村两个问变量跳间疯的直剪线关猎系是汁不真类实的披。如何杨判断直线侍回归算方程季所反唯应的异两个孟变量驼间的资直线拐关系极的真堆实性冈呢？恨这取叨决于吵变量x与y间是辩否存企在直股线关港系。下一垄张主堡页退的出上一戒张1、直诱线回洒归的味变异面来源图7-屑4的分平解图从图7-刚4看到焰：上式筛两端护平方舱，然圈后对源所有兴的n点求厌和，墓则有下一缩慧张主肆页退朝出上一踏张反映按了y的总错变异惹程度斤，称纺为y的总平滥方和，记芒为SSy；反映脊了由闭于y与x间存树在直躁线关朽系所桨引起梨的y的变乏异程纹度，江称为回归俊平方威和，记钢为SSR；反映吉了除y与x存在谦直线灶关系长以外秀的原胞因，荐包括企随机铺误差钩所引尊起的y的变哗异程践度，涌称为离回围归平里方和或剩榴余平挽方和康，记筝为SS瓶r。（7-另9）这表断明y的总霞平方么和剖猎分为怀回搅归平农方和稼与捉离回拜归平胖方和攀两部颗分。下一口张主肾页退拼出上一稿张y的总山自由散度dfy也划骨分为僻回归驾自由深度dfR与离颈回归亏自由挨度dfr两部御分，巾即回归缠自由上度等猪于自昂变量款的个漂数，蹲即离回滚归自立由度y的蛮总全自菊由度回绒归调均膊方离回痰归均姜方。2、回究归关鉴系显虑著性驱检验—F检验无效蜻假设HO：=0，备择汽假设HA：≠0。在无值效假案设成球立的烧条件新下，圆回归株均方醉与离赤回归练均方努的比仿值服杀从丘和货的F分布（7-萌11）下一炊张主包页退拆出上一孔张对于【例7.滔1】资料宿，有而夕。汁于是益可以异列出壳方差队分析铜表进写行回校归关攻系显党著性伏检验根。表7-锋2四川辰白鹅70日龄拘重与摊雏鹅浊重回钩归关妥系方差标分析下一蓬张主代页退佛出上一危张因为卸，旬表明矩四川放白鹅70日龄盟重与舒雏鹅闭重间评存在继极显功著的紧直线尚关系益。3、回归粥系数的显执著性珍检验—t检验采用柏回归调系数此的显垮著性也检验—t检验棵也可圆检验x与y间是俱否存蜻在直买线关影系。验回归帖系数呼显著悔性检茄验的腐无效杏假设吊和备奇择假扫设为HO：β＝0，HA：β≠聪0。t检验庆的计立算公隔式为策：（7-烦14）（7-卖15）其中潜，Sb为回遵归系槐数标日准误进。对于【例7.菜1】资虏料咬，已趟计算应得故有下一涂张主概页退蚕出上一收张查t值表皂，得因否定HO：β＝0，接受HA：β≠蛾0，即直劝线回氧归系丝式数b=2帅1.置71英22是极宇显著桶的，帐表明控四川指白鹅70日龄飘重追与雏额鹅重肢间存稿在极叉显著支的直才线关鼠系，疤可用婶所建哗立的伯直线炼回归琴方程筝来进秒行鄙预测欢和控典制。注意肤：利用辅直线煮回归上方程截进行咽预测肃或控返制时辛，一吐般旦只仙适般用于吸原来研究双的范爪围，不超能随苹意把雨范围理扩大社。一债般只塑能内怪插，潜不要贼轻易伟外延历。第二寒节液直漂线相挪关进行筹直线柏相关译分析华的基制本任染务在钟于根彼据x、y的实站际观沃测值孟，计抄算表馆示两趴个相看关变叛量x、y间线等性相倘关程弦度和衔性质域的统糖计量——相关叫系数r并进赤行显乏著性东检验。下一述张主邀页退认出上一填张一、堡决定娱系数梁和相序关系天数y与x直线卧回归梁效果桶的好乒坏取笑决于拆回归予平方贩和放与离午回归吴平方嫌和夸的大坟小取决并于回驻归平溪方和驳在总粗平方债和络中所貌占的忽比的各大小筹。这飞个比融例越耕大，y与x的直侧线回渴归效跳果就聪越好伐，反猴之则芹差。我们沫把比瓦值叫徒做x对y的决定触系数（co钻ef解fi洲ci挥en刷t员of谜d灵et胜er糠mi喊na堤ti狮on），记为r2，即下一拴张主坏页退嫌出上一驱张（7-司24）决定臂系数塑的大秋小表资示了驶回归呜方程赖估测匹可靠疤程度墨的高饺低，或者介说表僻示了耳回归愉直线闸拟合李度的旷高低惊。显然察有0≤r2≤1。SPxy/SSx是以x为自筛变量翁、y为依全变量巩时的域回归仗系数by坛x。若把y作为忙自变侄量丘、x作为待依变势量于，则泽回归绑系数bx水y=SPxy/Ssy，决定游系数r2等于y对x的回浴归系漂数与x对y的回元归系骗数的冻乘积侦。决定业系数斩反应队了x为自吩变量讲、y为依究变量庙和y为自字变量侮、x为依仰变量璃时两题个相布关变捕量x与y直线料相关孙的信净息萝，即决定吗系数傻表示藏了社两个惯互为辅因果模关系犹的相铺关变挺量间迫直线腿相关杀的程肤度。但决寒定系寄数介夫于0和1之间巾，不戒能反微应直趁线关澡系的篮性质——是同哭向增泰减或亏是异菊向增鸽减。下一口张主帐页退掀出上一类张求r2的平骗方根仰，且悄取平重方根慎的符锐号与勉乘积右和SPxy的符测号一听致，挪即与bxy、byx的符届号一载致求出允的平遗方根既可坊表示y与x的直患线相点关的撕程度旬，也语可表宣示直券线相树关的葬性质。统计割学上房诚把这吹样计挎算所堪得的且统计构量称肥为x与y的相关脱系数（co驳ef倚fi毕ci稻en垒t测of尾c桐or吓re劫la无ti注on），记为r二、批相关伐系数央的计绸算【例7.淋6】计算10只绵衫羊的奥胸围显（cm）和体馆重(kg)的相薯关系坊数。10只绵惠羊胸浙围和腊体重艰资料下一杂张主央页退该出上一勤张根据俭表所昨列数串据先懒计算售出：代入累公式愿得：即绵套羊胸芦围与东体重胖的相石关系哀数为0.逆84残75。下一六张主飘页退欢出上一贤张三、盆相关尽系数劈燕的显真著性瘦检验上述据根据召实际勺观测患值计躲算得灰来的捎相关待系数r是样喇本相弄关系葛数，更它奔是双遣变量程正态菊总体间中的览总体赚相关蓝系数ρ的估述计值图。样本订相关弊系数r是否统来自ρ≠瘦0的总洋体，梢还须汪对样法本相冠关系伯数r进行舞显著扣性检绵验。此丽时宪无伏效浅假近设、蓄备杏择药假涨设色为HO:ρ中=0，HA:ρ部≠0。与直锹线回全归关餐系显雪著性小检验疲一样甘，可柏采用t检验谨法与F检验毅法对栋相关青系数r的显哄著性予进行息检验脑。t检验岂的计脚算公煌式为缝：t=，df=n-2担(虏8-栽27输)其中预，锅，叫做踢相关样系数慕标准灶误。F检验客的计时算公原式为见：F=，df1=1，df2=n-2(8漏-2桃8)下一狂张主冈页退咏出上一词张可直愤接用夏查表罪法对腔相关亚系数r进行干显著脂性检竟验。具体肥作法是：（1）先截根辩据却自纤由陕度n-2查临处界r值火，得痰，（2）若|r|＜友，P＞0.史05，则相沿关系眯数r不显月著，少在r的右枝上方居标记假“ns”；（3）若百≤|r|＜，0.典01＜P≤0荣.0堂5，则相闹关系硬数r显著印，在r的右鼠上方店标记克“*阳”；（4）若|r|≥，P≤豆0.应01，则相锯关位系垃数r极显瓶著，储在r的右旷上方鸡标记脾“*危*”钳。四、纹相关成系数遗与回沙归系早数的怠关系从相粮关系蜓数计浩算公遮式的汗导出我可以砖看到忘：相关预变量x与y的相司关系纹数r是y对x的回培归系盈数与x对y的相膛关系饥数bxv的几懂何平仅均数下一胖张主漏页退陶出上一辛张表明逮直线菠相关溜分析恐与回爸归分扔析关泥系十壳分密备切。它们艰的研显究对包象都妄是呈词直线百关系房诚的相巾关变锯量。直线停回归棕分析魔将二湖个相沾关变抄量区额分为糕自变情量和穷依变乌量，开侧重鉴于寻且求它积们之观间的梯联系分形式-直线觉回归敲方程；直线到相关橡分析繁不区碑分自贪变量饰和依拢变量结，侧却重于淋揭示悄它们饥之间唐的联痰系程蠢度和僻性质-计算稠出相级关系猫数。两种吹分析凤所进泻行的箩显著哀性检值验都虎是解翁决y与x间是掌否存幅在直施线关筐系。窑因而二者危的检盏验是心等价的。以即相级关系睬数显稠著城，婚回归他系数边亦显朱著；永相劲关系径数不呢显著咱，回科归系蒙数也奋必然唉不显它著。由于匆利用纵查表垫法对统相关殊系数久进行藏检验概十分垄简便魄，因例此在实壤际进万行直么线回横归分准析时冈，可推用相南关系们数显只著性拉检验丸代替剂直线耀回归珠关系旅显著傍性检症验即可秒先计待算出郑相关制系数r并对送其进矩行显港著性枪检验瞎，若山检验眯结果r不显采著，阴则用网不着盘建立隐直线屡回归未方程贫；若r显著帽，再坏计算搏回归疫系数b、回归耀截距a，建立溪直线陈回归观方程硬，此恒时所球建立瞧的直仙线回哑归方矮程代别表的乞直线跑关系诞是真著实的狼，可词利用塘来进朝行预鄙测和茄控制斤。下一滴张主糊页退宪出上一谣张五、较应用巴直线孟回归爽与相足关的厉注意迫事项直线寺回归身分析租与相挥关分问析在根生物拌科学猪研究谷领域秀中已跪得到减了广氏泛的录应用臂，但发在实秒际工宅作中街却很是容易朝被误葵用或执作出煮错误甚的解去释。堂为了护正确哪地应沉用直扭线回混归分喝析和广相关妖分析毒这一饿工具徐，必尽须注凝意以飘下几睡点：1、变批量间穷是否绩存在臂相关直线境回归混分析谅和相闲关分驳析是仆处理钱变量斑间关哀系的伙数学史方法骂，在挎将这馆些方呆法应难用于狗生物池科学均研究旧时要妥考虑盖到生物握本身数的客稼观实化际情牺况譬如暮变量时间是冒否存冬在直逗线相递关?在什吵么条鹊件下旁会发尿生直体线相蔑关?求出脸的直繁线回衬归方香程是塌否有百意义?必须裳由生防物科晋学相塌应的论专业将知识迎来决燃定，尖并且舞还要扩用到挺生物渣科学壳实践荐中去勾检验习。下一牺张主忙页退哨出上一霸张2、其型余变插量尽客量保机持一已致由于忽自然灾界各脑种事转物间惜的相絮互联晒系和屿相互芦制约制，一拦个变哈量的攻变化吧通常炒会受枣到许掩多其湾它变渗量的每影响踩，因惭此，裙在研霸究两绘个变册量间给关系置时，卫要求学其余枪变量丙应尽垂量保守持在顽同一译水平并，否爹则，窗