数学模型市场经济中的蜘蛛网模型图片

数学模型中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系1

市场经济中的蜘蛛网模型

在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产品。过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致物价上涨。原来的饲养户看到有利可图，有重操旧业。这样下一个时期会出重现供大于求，价格下降的2局面。在没有外面干预的情况下，这种现象将如此循环下去。在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的。因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的。商品数量越多价格越低。而下一时期商品的数量由生产者的供求关系决定，商品价格越低生产的数量就越少。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的。在现实世界里这样的震荡出现不同的形式，有的振幅渐小3趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经济崩溃。当然政府会对后者采取干预手段。这一节我们先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，讨论市场经济趋于稳定的条件。用分差方程建模，对结果进行解释，并适当推广。4

蛛网模型

记第k时段商品的数量为xk,k=1,2,…。这里我们把时间离散化为时段，一个时段相当于商品的一个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类则是一个饲养周期。同一时段商品的价格yk取决于数量xk

,设

yk

=f(xk)

(1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。因为商品的数量越多价格越5低，所以在图8-1中用一条下降曲线f表示它，f为需求曲线。

下意识段商品的数量xk+1由上一时段价格yk决定，设

xk+1=h(yk),或yk=g(xk+1)(2)它反映生产者的供应关系，称供应函数。因为价格越高生产产量才越大，所以在图中供应曲线是一条上升曲线。6图中两个曲线相交于P0(x0,y0)点。P0是平衡点，因为一段对某个k有xk

=x0，则由(1)、(2)可知yk

=y0，xk+1=x0,yk+1=y0,…，即商品的数量和价格将永远保持在p0(x0,y0)点。但在实际生活中的种种干扰使得x,y不可能停止在P0点，不妨设x1偏离x0(如图8-1）。我们分析随着k的增加xk,yk的变化。7图8-1需求曲线f和供应曲线g，

p0是稳定的平衡点8

数量x1给定后，价格y1由曲线f上的P1点决定，下一个时段的x2由曲线g上P2点决定，y2又由f上的P3点决定，这样得到一些列的点P1(x1,y1),P2(x2,y1),P3(x2,y2),P4(x3,y2),…，在图8-1上这些点将按箭头所示方向趋向于P0(x0,y0),这表明P0是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。但是，如果需求函数和供应9函数由图8-2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照P1,P2,P3,P4，…的规律变化而远离P0，即P0不是稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。10图8-2P0是不稳定的平衡点11

图8-1和图8-2中折线P1P2P3P4…形似蛛网，于是，这种需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学上称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个阶段商品数量和价格的一些列统计资料x1,y1,x2,y2,…得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力、经营水平12等因素有关。一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，如何判断它们的交点—平衡点P0得稳定性呢？从图8-1和图8-2不难看出，当市场经济偏离P0点不大(|x1–x0|较小)时，P0点得稳定取决于f和g在P0的斜率。记f在P0点斜率的绝对值（因为它是下降的）为Kf，g在P0点的斜率13为Kg，则当

Kf

<Kg

(3)时P0是稳定点的（图8-1），而当

Kf

<Kg

(4)时P0点是不稳定的（图8-2）。由此可见，需求曲线越平，供应线越陡，越有利于经济稳定。在对这种现象作出14解释之前，我们先利用差分方程将蜘蛛网模型的结果用公式表示出来。差分方程形式在P0点附近取函数f和h的线性近似，设（1）、（2）式分别近似为

yk

–y0

=α(xk–x0),α>0

(5)xk+1–x0=β(yk–y0

),

β>0(6)15消去yk,(5屠)户,宿(6贤)可合享并为xk+1=脸(-αβ)kxk+(返1-右(细-αβ)k)x0（k=1源,2，…）(7刚)（7）是一述阶线品性差袭分方悲程，跑对k递推撕不难卖得到xk+1=趟(-αβ)kx1+(斤1踩-木(-(8苗)16由此毯可得泄，当k∞时xkx0,使得P0稳定匆的条肉件是αβ<地1或α<俭1而k∞时，xk∞,即P0点不娇是稳勒定点乐的条叶件是αβ<什1或α<碰1注意侦到(5园)、(6嫩)式中α、β的定列义，女有Kf=α，kg=，所以乖条件17(9挠)、(1拨0)与蛛仇网模热型的(3馆)、(4厨)式是竖一致扩的。模型丝式解释首先工考察α、β得含厨义。摘需求赚函数f的斜暴率α（取掠绝对门值）姑表示脖商品蛇供应步量减愈少1个单蛇位时佩价格栋的上巴涨幅饼度；针供应种函数h的斜写率β表示语价格剥上涨1个单樱位时柴（下蔑一时晕期）棉商品坐供应追的增毫加量芹。所威以α的数院值反住映消酒费者激对商罪品需丹求的乖敏感密度，洁如果贴这18这种扫商品看时生匀活必躁需品刻，消梨费者脖处于尿持币翼待购代状态拦，商姨品量润少缺辆，人税们立肯即蜂嗓拥购祥买，眼那么α会比适较大立；反穷之，坚若这越种商叔品非语必需隐品，位消费高者购枪买心介理稳车定，局或者漫消费悠水平纽奉低下件，则α值小程。β的数技值反拾映生钓产经堵营者旋对商斯品价续格的姥敏感膝度，产如果灶他们声目光蓄短浅望，热勾衷于族追逐巷于一瓦时的左高利拢润，墨价格魂稍有19上涨吓立即水大量投增加建生产装，那医么β值会庸比较布大；行反之蒸，若刮他们睬素质哑较高腔，有笼长远偶的计软划，垮则β较小尾。根据α、β的意运义很稍容易风对商描场经种济稳笔定与笑否的徐条件(9敞)、(1坏0)做出乡丰解释祖。当杀供应饶函数g,即β固定回式，α越小脾，需午求曲河线越菊平，荣表明雪消费助者对捎商品末需求直的敏驻感程拌度越删小（段使(9证)式馒成立），吃越利底于经扰济稳差定。译当需双求函球数f，20即α固定右时，β越小夕，供哄应曲立线越波陡，数表明戴生产党者对判价格目的敏杏感程敏度越柔小(使(9仪)式成鸽立),越利蛮于经纸济稳蹲定。反之筛，当α、β较大骨，表抢明消小费者江对商蒸品的辩需求花和生羡产者偷对商肺品的约价格去都很捧敏感反，则寸会导矩致经帅济不禾稳定耀。从上围述分阅析还财可以筐看到智，当缺市场学经济倚趋向旋不稳斜定时将政府鹿有两精种干促预办侨法。貌一种沾办法修是使α尽量怎小，具极端伶情21情况弃是α=娇0，即需撇求曲煌线水言平，便这时乖不论北供应济曲线勉如何乎（即斥不论β多大尚），纤总是主稳定秒的。馒这相弹当于桥政府齿控制蒙物价玩，无咐论商家品数副量多厚少，绘命令还价格留不得迅改变拒。另外戚一种娱办法村是使β尽量喊小，盘极端怀情况β=哭0，即供牵应曲勾线竖完直，率于是馅不论灰需求庆曲线蒜如何漫变化酸（即余不管α多大），沃也总粪是稳秒定的四。这宝相当抽于控22制市属场上坟商品蕉数量疗，当躁供应虚少于限需求奇时，攻政府亲从外衰地购构买或酬调拨队，投基入市统场；鞠当供羞过于薄求时顾，政话府收肉购过吗剩部穗分，策维持迅商品渡上市词不变我。模型识的推芬广如果去生产斤者的像管理滔水平毅更高滤一些雄，他擦们在欠决定庸商品伤生产巴数量xk+1时，榆不是牺仅根田据前慨一时削期的仓价格yk，而是赚更具研前两速个时尺期的祥价格yk和yk-1。为了喷简单催起见硬不妨欺设取语二者躲的平猛均值(yk+yk-1)缝/2，23于是已供应悠函数(2伪)式表挣示为（11）在P0点附帮近取弱线性东近似触时（6）式表摄示为（12）24β含义承不变念。又棋设需节求函埋数仍伟为（1）、嘴（5）式表知示。侵则由（5）、吧（12）式得尾到（13）（13）是二用阶线宣性差吊分方举程，申为了仗寻求k∞时xk演x0，即P0点稳除定的晃条件逢，不示必解盆方程（13），只去须利嫁用判收断稳煎定25条件—防城鸽特征燥根均文在单煤位圆态内（菌见8.蹄6节(9叛)式）泉。因为制方程（13）的特饿征方敏程容易聋算出墨其特碌征根覆为(1隙4)26当αβ>8时显吓然有从而臣，|λ2|伏>蚊2,λ2在单意位圆刷外。乏下面误设α辩β<宜8