数值课件第章

第5章

解线性方程组的直接方法

本章要点高斯消元法、高斯列主元素消去法。矩阵三角分解法、追赶法。向量和矩阵的范数。3.1引言在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。

第3章解线性方程组的直接法

常见的线性方程组是方程个数和未知量个数相同的n阶线性方程组，一般形式为

简记为

Ax=b，其中

(3.1)

一般b≠0,当系数矩阵A非奇异(即detA≠0)

时，方程组（3.1）有惟一解。

线性方程组的数值解法一般有两类：直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差），如克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。迭代法:(

第六章介绍）就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解)3.2解线性方程组的直接法（高斯消去法）

3.2.1高斯消去法的基本思想先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想例3.1解线性方程组

①②③解:

该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个部分。

（1）消元过程第1步:将方程①乘上(-2)加到方程

②上去,将方程

①乘上加到方程

③上去,这样就消去了第2、3个方程的项,于是就得到等价方程组

④⑤第2步：将方程

④乘上加到方程

⑤上去，这样就消去了第3个方程的项，于是就得到等价方程组

⑥这样，消元过程就是把原方程组化为上三角形方程组，其系数矩阵是上三角矩阵。

（2）回代过程回代过程是将上述三角形方程组自下而上求解，从而求得原方程组的解：

前述的消元过程相当于对原方程组

的增广矩阵进行下列变换(表示增广矩阵的第行）同样可得到与原方程组等价的方程组⑥

由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设法消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素,而将Ax=b化为等价的上三角形方程组,然后再通过回代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出未知变量。这种求解上三角方程组的方法称为回代,通过一个方程乘或除以某个常数,以及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为消元,然后再回代求解。通常把按照先消元,后回代两个步骤求解线性方程组的方法称为高斯（Gauss）消去法。3.2.2高斯消去法算法构造

我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为

(3.3)解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元过程就是对(3.3)的增广矩阵进行初等行变换。将例3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的阶线性方程组并记则高斯消去法的算法构造归纳为：

⑴消元过程,高斯消去法的消元过程由n-1步组成：第1步设,把(3.3)中的第一列中元素消为零,令用乘以第1个方程后加到第个方程上去,消去第2～n个方程的未知数,得到即

其中

第k步

（k=2,3,…,n-1）继续上述消元过程，设第k-1次消元已经完成，得到与原方程组等价的方程组

记为其中设，计算乘数用乘以第k个方后加到第i个到第n个方程中，消去第i个到第n个方程的未知数，得到只要,消元过程就可以进行下去,直到经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与原方程组等价的上三角形方程组,记为

或者写成

即

(3.7)（2）回代过程就是对上三角方程组（3.7）自下而上逐步回代解方程组计算，即

（3）高费斯消笼去法周的计苗算步孕骤：①峰消元隙过程;设局计樱算②回代炕过程(4老)Ga撞us莲s消去勇法计送算量园≈①消元熔计算:忧aij(k钟+1奔)=用aij(k应)-袄mikakj(k址)(i俗,j鱼=k少+1封,k绒+2森,脸…既,构n)第一并步们计算亭乘数mi1,难mi1=ai1/a11(i财=2崭,3订,…寇,n出)需要n-届1次除冰法运炒算,计算aij(2）(i见,j擦=2睡,3销,…绕,n兽)需要(n锤-1铁)2次乘盟法运辞算及(n衬-1涨)2次加土减法愿运算,第k步加减法次数乘法次数除法次数123…n-1(n-1)2(n-2)2(n-3)2…1(n-1)2(n-2)2(n-3)2…1(n-1)(n-2)(n-3)…1合计n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)/2乘除印法次满数：MD夺=n(洲n-露1)系(2唤n-付1)混/6棉+其n(挂n-威1)易/2界=1鼻/3械n真(n2-1胜)加减绸法次朵数：AS赵=n(创n-漏1)钟(2土n-住1)咳/63.甲2.殖3高斯迫消去诵法的触适用盛条件定理3.骄1方程独组系危数矩第阵的惩顺序炊主子乞式全咽不为零该则高物斯消先去法赵能实穗现方酿程组储的求解蚀。证明灵上三胡角形呜方程蚕组是香从原举方程袖组出渔发，炸通过宰逐次叠进行“一行苏乘一砌数加疗到另遇一行”而得张出的泪，该忍变换看不改控变系恭数矩办阵顺牺序主屑子式散的值闲。设方集程组径系数着矩阵期，其聋顺序族主子大式（m暮=1休,2槽,…，n）经变阁换得告到的恢上三亭角形城方程甜组的倾顺序诸主子垂式所以手能实滨现高矮斯消换去法袖求解（m春=1俭,2加,…，n）定义3.蔬1设矩令阵那每菠一行鸦对角英元素猾的绝筒对值杂都大获于同辱行其屑他元鸡素绝耗对值将之和则称A为严斥格对非角占减优矩帐阵。定理3.虹2若方吹程组怕的系雹数矩扬阵A为严逃格对唱角占限优，厉则用获高斯误消去黎法求勒解时锯，委全泪不为零。一般荡线性闭方程型组使个用高翅斯消来去法耽求解怪时，备在消草元过修程中桑可能帽会出销现迅的计情况送，这间时消匀去法慌将无伸法进仿行；晚即使叛，但布它的届绝对懒值很我小时玻，用铜其作魂除数诉，会莲导致纲其他惰元素肢数量响级的剩严重书增长漫和舍我入误缠差的揪扩散徐，将乏严重蕉影响特计算爪结果姨的精资度。苗实际讨计算片时必饭须避冈免这宋类情映况的嘉发生端。主合元素私消去拉法就衡可弥验补这党一缺戏陷。基本疤思想达：每双次消恨元之钓前在妨系数惜矩阵量中按多一定滥的范以围选新取绝涨对值隙最大击的元惹素作绑为主皇元素贝，以妥便减哨少舍柜入误喝差的客影响涌。交换撇原则席：通补过方彻程或米变量闷次序锡的交返换，舅使在是对角阳线位于置上揪获得封绝对掏值尽鸭可能立大的荡系数可作为akk(k州)，称秒这样判的akk(k柔)为主元从素，并汁称使嗽用主段元素号的消膨元法为主例元素肥法根据粒主元斯素选捎取范施围分纹为：怎列主尿元素朝法、仪行主梢元素哈法、脂全主新元素争法列主浴元素骗法：缓在待雄消元践的所冶在列菜中选板择主维元，博经方稀程的介变换湿，置家主元翻素于黄对角蛙线位重置后染进行个消元瓦的方出法。全主撤元素室：在全序体待讯选系印数中蚊选取串主元嘉，则候得全主眨元素抖法。记笔顾记3.甚2.煌4高斯衣主元勤素消狭去法主元础素法殿的意颗义例3.康2用高表斯消廊去法师求下肯列方才程组机的解解：劫确定酱乘数辛，屠再计缩慧算系及数假设签计算闷在4位浮更点十闻进值读的计鹊算机吗上求知解,则有这时病方程渔组的小实际讯形式筐是由此色回代荣解出,但这奇个解精不满队足原陶方程酒组,解是普错误流的。铁这是董因为将所用茧的除铃数太促小使卡得上驼式在毯消元善过程虹中“吃掉”了下眼式，毁解决分这个衰问题丝式的方氏法之用一就割是采抄用列碍选主回元高役斯消云元法说。即层按列侍选绝匪对值滤大的膀系数胁作为预主元氧素，纸则将穿方程迅组中猾的两钱个方堤程相山交换槽，原痛方程鞭组变完为得到西消元振后的壤方程碎组这时因而腾方程此组的柔实际俭形式纸是由此耐回代户解出,这个天结果屑是正不确的可见纸用高剖斯消退去法口解方挽程组紫时,小主塑元可胖能导弊致计灾算失瞒败,因为港用绝雅对值们很小低的数随作除载数,乘数驴很大,引起纪约化让中间话结果家数量派级严肺重增锐长,再舍肾入就痕使得志计算庙结果垒不可传靠了,故避搅免采脚用绝睡对值隶很小符的主昨元素往。以怠便减即少计罚算过拿程中纯舍入纳误差跑对计伙算解怜的影苗响。每一桐步选夕绝对青值最圣大的聪元素完为主宽元素梁，保藏证丘。Stepk:①选取②乏I跪fikkth尾en交换都第k行与端第ik行;Ifjkkth蜜en交换艳第k列与狸第jk列;③消元全主克元素向法不是荣按列重选主戏元素街，而询是在丽全体必待选辱系数趁中选趋取，求则得全主枝元素狱法。例3.扬3用全主志元素精法解帐下列制线组

10x1-19x2-2x3=3(1)-20x1+40x2+x3=4(2)x1+4x2+5x3=5(3)解：退选择探所有旅系数粒中绝缘瑞对值隐最大抚的40作为主元骡素，摔交换票第一沟、二淋行和窝交换佛第一短、二事列使侍该主刘元素仍位于另对角倾线的跑第一宾个位称置上鸦，得40x2-20x1+

x3=4(4)-19x2+10x1-2x3=3(5)

4x2+x1+5x3=5(6)记笔训记计算m21=-衔19缴/4捐0=0厘.4讲75，m31=4懒/4盛0=0产.1(5随)-穷m21(4临),拢(渡6)际-玻m31(4森)消去x2得0.5x1–1.525x3=4.9(7)3x1+4.9

x3=4.6(8)选4.宏9为主扰元素

4.9x3+3x1=4.6(9)1.525x3+0.5x1=4.9(10)计算m32=-滤1.摸52俭5/份4.路9=-吸0.暴31引12挨2，(1乓0)遍-估m32(9锹)消去x2得1.节43婚36闯6x1=6思.瓦33址16搞1捐(赏11激)记笔铲记保留热有主醒元素已的方帮程40x2-20x1+

x3=4(4)

4.9x3+3x1=4.6(9)

1.43366x1=6.33161(11)进行怒回代x1=4.41634

x3=-1.76511x2=2.352303.叙2.鼻4.晚1列主趟元素想法列主汁元素督法就蕉是在姥待消捞元的将所在历列中责选取初主元烟，经溜方程晓的行逝交换铺，置芬主元栗素于苦对角征线位奶置后敬进行冶消元险的方是法。片即乐：在高胜斯消汪元第k步之读前，要做如拥下的源事情何：若交换k行和j行行的筐交换胆，不举改变膏方程类组的捐解，捐同时写又有树效地吗克服泊了高帽斯消眯元的贝缺陷杯。例3.迷4用列主醋元素祸法解乏下列看线性良方程被组

10x1-19x2-2x3=3(1)-20x1+40x2+x3=4(2)x1+4x2+5x3=5(3)解：禁选择-2蕉0作为屡该列望的主元桑素，-20x1+40x2+x3=3(4)

10x1-19x2-2x3=4(5)x1+4x2+5x3=5(6)计算m21=1资0/淋-2寻0=-软0.义5m31=1张/-芬20=-月0.牌05(5田)-请m21(4隙),裹(泊6)邻-父m31(4虫)得x2–1.5x3=5(7)6x2+5.05x3=5.2(8)选6为主恶元素6x2+5.05x3=5.2(9)x2–1.5x3=5(10)计算m32=1叨/6=0若.1待66粘67，(1怒0)窄-舰m32(9举)得-2淹.3犁41睛68盛x3=4妥.1唐33待32助(词11剩)记笔同记保留例有主狗元素阻的方裙程-20x1+40x2+x3=4(4)6x2+5.05x3=5.2(9)-2.34168x3=4.13332(11)进行点回代x3=-1.76511x2=2.35230x1=4.41634记笔血记列选掌主元预素的彻计算英方法晨与高著斯消财去法智完全寸一样,不同置的是仓在每战步消纠元之膝前要镇按列虾选出指主元蜘。例3.款5用矩角阵的凉初等族行变猪换求牙解解巾方程赛组解:用矩联阵的勾初等乱行变铺换求恭解,对增青广矩苹阵(下面闯带下桑划线悦元素朵为主敞元素)所以羊，等糟价的液三角授形方配程组严为：回代修求解汤，得凝：3.顷2.弦5高斯-约当教（Jo隔rd爽an）消撤去法高斯工消去莲法有差消元挺和回兵代两吓个过吴程，复消去马的是后对角尺线下廉方的坡元素滔。当贷对消钥元过赠程稍乡丰加改凉变便轿可使斧方程办组失化蛇为对铲角阵。（3.尺8）这时作求解渗就不卖需要避回代勺了，克这种脏将主雹元素洗化为1，并辟用主留元将请其所回在列茧的冗贿余元床素全纯都消贼为0，即贤消去绕对角灿线上栋方与速下方杰的元篇素，滤这种享方法兴称为高斯-约当凶消去妖法，这时债等号直右端逆即为播方程尽组的惹解。算法横核心紧：每步卫不计什算mik，而纷是先制将当暑前主捕元akk(k)变为1;把akk(k)所在习列的阴上、孤下元狱素全惰消为0;计算萍方法例3.识6用高甲斯-约当(J少or济da丸n)消去耗法求距方程帽组的膨解解屡方浩程组盲相应赤的增耀广矩洽阵列选榜主元故得定理3.懂4设A为非匠奇异鹊矩阵师，方知程组AX榆=纪I的增卸广矩牧阵为C=AI，如短果对C应用眨高斯-约当捞消去散法化弓为IB，则=B。例3.个7用高腾斯-约当态（Jo营rd先an）消码去法求的逆欲矩阵解C=AI=3.浓3矩阵觉三角慕分解货法矩阵至三角拍分解蠢法是储高斯引消去苗法解担线性浪方程讯组的惑一种便变形另解法3.卵3.昂1矩阵窗三角伐分解偶原理应用析高斯危消去富法解n阶线这性方跌程组Ax良=b危,经过n步消四元之叹后,得出傻一个夕等价寺的上哥三角载型方事程组A(n突)x=嘱b(n混),对上搁三角绳形方赞程组越用逐乌步回桐代就惹可以签求出喊解来晴。上诞述过树程可区通过咱矩阵差分解丽来实钞现。将非蔬奇异绒阵A分解珠成一棕个下驻三角样阵L和一普个上直三角笑阵U的乘衬积A=捕LU称为趴对矩阵A的三忘角分婶解，哀又称LU分解其中方程过组Ax孕=b的系轻数矩悔阵A经过葬顺序届消元碗逐步马化为杆上三竭角型A(n松),相当松于用唱一系射列初狱等变丢换左朴乘A的结叹果。肺事实锁上，已第1列消隔元将A(1波)=A化为A(2呢)，若联令：则根块据距蜘阵左类乘有L1A(1责)=A(2芝)第2列消当元将A(2绒)化为A(3笑)，若倒令：经计拔算可痰知L2A(2抚)=A(3劈燕),依此洪类推,一般辟有LkA(k舅)=A(k掌+1贞)mi1=渔a(1育)i1/唤a(1进)11i=窜2,哥3,粱……战n于是饮矩阵散经过哗消元叫化为沟上三馋角阵的过悔程可填表示及为上述锋矩阵键是一姻类初颈等矩棉阵,它们涨都是六单位够下三牢角阵含，且坐其逆博矩阵杰也是带单位染下三剑角阵,只需奖将扮改头为,就得呢到蠢。柄即于是遇有其中L为由辣乘数逮构成释的单思位下趴三角赛阵，U为上慨三角贤阵，狡由此否可见牙，在塑的条言件下呀，高舱斯消促去法歼实质衣上是芦将方笑程组浸的系耐数矩躁阵A分解租为两塑个三引角矩扩阵的沸乘积A=退LU。这泻种把浇非奇戚异矩污阵A分解怨成一勒个下是三角关矩阵L和一承个上却三角否矩阵U的乘军积称关为矩爸阵的芽三角岁分解诵，又油称LU分解烦。显然恋，如征果,由行目列式石的性芹质知链，方德程组传系数取矩阵A的前n-垃1个顺么序主嚷子矩六阵掌非浮奇异洒，即筹顺序掠主子窝式不撇等于残零，姿即其中（A的主陕子阵益）反之,可用绳归纳持法证伏明,如果A的顺冠序主怜子式则于是错得到撞下述炕定理惊：定理3.杰5设宽。浊如果A顺序倾各阶巴主子杂式,,则A可惟盲一地之分解坏成税一个吗单位肾下三只角阵L和一槐个非卖奇异为的上甘三角厚阵U的乘贞积。证：支由于A各阶藏主子缸式不皮为零,则消拒元过愚程能窃进行年到底,前面欧已证择明将挥方程泡组的团系数裙矩阵A用初跨等变汇换的敏方法画分解惨成两睬个三插角矩钓阵的陵乘积A=摸LU的过匠程。现仅踩证明臣分解肉的惟挥一性晨。设A有两菜种LU分解其中雷为单蜜位下稿三角励阵，滤为上偶三角态阵∵A的行屑列式脚均为饰非奇饮异矩观阵,有上式雾两边抗左边段同乘评，稻右边坛同乘独得上式贸左边鸽为单康位下树三角仰阵,右边锯为上沫三角萝阵,故应芽为单悼位阵,即惟一吓性得控证。把A分解唉成一谦个单委位下暗三角济阵L和一像个上躺三角纹阵U的乘垄积称酒为杜利辜特尔锡（Do鸟ol唐it派tl弃e）分解。其中若把A分解房诚成一尿个下苏三角塘阵L和一缸个单当位上摄三角榴阵U的乘题积称衬为（克洛特怖分解Cr昼ou贡t）其中3.残3.席2用三蓝角分锻解法偏解方她程组求解线抬性方锤程组Ax负=b时,先对代非奇著异矩圈阵A进行LU分解利使A=倡LU，那公么方懂程组芒就化岛为LU协x犬=b从而伯使问鲜题转难化为茂求解盯两个欢简单参的的棚三角盟方程效组L河y=始b求解yU赢x=永y求解x这就眠是求卫解线争性方赖程组厦的三厘角分蜻解法残的基其本思级想。叫下面扁只介鬼绍杜士利特常尔（Do逼ol坦it形tl腰e）分每解法巩。设A=因LU为由矩药阵乘阵法规竹则由此毛可得U的第1行元吉素和L的第1列元的素再确销定U的第k行元挽素与L的第k列元净素,对于k=休2,旦3,候…邮,n计算轻：①计算U的第k行元畏素（j=肥k,抬k+惰1,…,n）②计算L的第k列元平素（i=聋k,镜k+牲1,…,n）（j=k,k+1,…,n）

①计算U的第k行元兴素固定k，对j=i,i+1例,梢…,n有（j=k,k+1,…,n）

②计算L的第k列元盲素同理翠，固区定k，对i=k,k+1滴,混…,n有（i=途k,蓝k+葵1,…,n）利用锁上述涛计算汇公式电便可恭逐步统求出U与L的各魔元素求解Ly傅=b乌,即计凝算:求解Ux派=y建,即计溪算：显然,当尺时,解Ax街=b直接仔三角台分解炊法计贯算才什能完首成。柳设A为非糕奇异久矩阵,当喉时计川算将脖中断膜或者赤当犬绝对膝值很欲小时发，按技分解称公式看计算纺可能搭引起夸舍入徐误差习的积极累，谈因此概可采故用与车列主券元消湿去法球类似谎的方司法，伤对矩队阵进酬行行娱交换岭，则够再实辫现矩旬阵的蜡三角挨分解扮。用直笛接三安角分握解法院解Ax舍=b大约秃需要次乘鬼除法拨。三角去分解厅法的恐存放呜元素悄的方祥法：的元梳素存歪放在A的，即uuuuuuUlllLúúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé=332322131211323121111相应标位置毒。优点询：不用篮存储控中间圆量，庄适合债于计玻算机粥计算堵。说明脂：以上叫计算爽方法韵实际趁上是粪消去养法的过变形—紧凑格式捎。例3.拒8用三香角分晴解法咐解方汁程组求解Ly油=b得y=捐[2，2，1]T求解Ux海=y得x=互[止-爸1，0，1乐]T所以笛方程凳组的蜡解为

设，试将A进行三角分解。解：由高朗斯消郑去法祸得到用直飘接三毯角分贼解法蒙解方饺程组虚。解：3.琴4平方恼根法工程蹦实际仪计算叼中,线性谣方程赶组的缠系数般矩阵艘常常幕具有乒对称邮正定姨性，匆其各伪阶顺嘱序主缘瑞子式队及全娱部特资征值轮均大侄于0。矩切阵的逢这一弊特性这使它誓的三中角分熔解也汇有更毯简单湿的形兽式，她从而豪导出卵一些嗓特殊械的解颂法，哲如平牛方根墨法与旬改进光的平裙方根墙法。定理3.蹲6设A是对予称正盘定矩馆阵，烈则存碗在惟递一的污对角切元素尾均为识正数揭的下绕三角炼阵L，使A=尿LLT证：窄因A是正立定矩亲阵,芹A的顺招序主叔子式∆i>0栗,鹅i=障1,税2,…,n因此容存在仪惟一虚的分爱解A=疏LUL是单扭位下册三角谎阵,识U是上盆三角叼阵,将U再分这解其中D为对龟角阵,肚U0为单软位上煤三角买阵，次于是A姓=西L抢U您=俯L怖D叶U0又A柿=塑AT=态U0TD山LT由分努解惟窗一性,即得U0T=LA=饰L剃D绞LT记又因雁为de派t(锐Ak)＞0,友(k笑=1混,2情,…慎,n少),故于是雹对角蓄阵D还可蓄分解其中蒜为榨下三泽角阵,令L=低L1，定境理得圣证。将A=票LLT展开功，写徒成按矩坦阵乘治法展针开，裂可逐阿行求量出分艳解矩棵阵L的元孤素，只计算残公式锹是对猫于i=患1,部2,…,nj=显i+1,轿i+2,…浑,n这一豪方法够称为平方务根法,又称乔累狱斯基(C坟ho野le泰sk令y)分解,它所梯需要许的乘拳除次巡寿数约汁为眨数量疼级,比LU分解碎节省滚近一股般的术工作瓶量。例3.泡9平方促根法均求解侍方程即组解:因方鄙程组倍系数至矩阵邀对称评正定,设A=认,即：由Ly愚=b解得由昌解浅得由此目例可问以看凭出，错平方供根法闹解正每定方材程组酸的缺瞧点是史需要环进行遮开方深运算序。为再避免沟开方秘运算层，我抛们改竟用单察位三颜角阵旬作为笨分解迎阵，艳即把皆对称边正定至矩阵A分解乓成的形拿式，越其中为对饥角阵捐，而是单伍位下应三角葛阵,这里锻分解推公式犯为据此维可逐昆行计唯算运用随这种刮矩阵无分解贪方法,方程疑组Ax爱=b即可归外结为档求解挣两个咳上三查角方火程组和其计阴算公像式分像别为和求解捆方程狸组的茫上述兄算法新称为阅改进活的平剂方根曲法。萍这种将方法闪总的兴计算妹量约让为娇，炎即仅阳为高烦斯消肺去法膏计算昼量的浓一半狗。3.劝5追赶砍法在数朵值计澡算中,有一将种系竟数矩软阵是假三对克角方蚁程组简记易为Ax途=f雨,A满足由条件（1）（2）（3）用归欠纳法随可以双证明芒，满哨足上抹述条吴件的讯三对朋角线腔性方疼程组拍的系现数矩泡阵A非奇影异，李所以悟可以水利用洲矩阵鱼的直聪接三各角分悄解法予来推验导解撕三对里角线貌性方援程组垫的计辫算公鲁式，勤用克万洛特议分解浴法，廊将A分解保成两炉个三烂角阵夕的乘亡积，幕设A=到LU按乘泰法展蚕开则可贤计算可依荷次计预算当，耳由上带式可集惟一闹确定L和U。例3.夫9用追振赶法度求解稠三对脚角方票程组解由Ly追=f解出y又由Ux齐=y解出x记笔燥记3.浙6向量摸和矩朝阵的肥范数为了浑研究笑线性绪方程恩组近欠似解肥的误俘差估愈计和迭测代法皱的收闻敛性,有必拿要对展向量惹及矩象阵的“大刚小”亭引进窑某种衡度量--乡丰--范数岗的概笋念。艇向量怠范数拆是用滋来度岔量向友量长而度的,它可左以看的成是负二、励三维裁解析陷几何烂中向派量长营度概收念的浪推广圣。用Rn表示n维实渔向量溉空间睡。3.胸6向量撞和矩弊阵的倍范数定义3.林2对任蔬一向鸭量XRn,按照墓一定碑规则侵确定诱一个府实数与茶它对开应,该实红数记陡为||X|厚|,若||X|巧|满足晋下面爸三个性质:(1芬)||X|饺|0；||X|聪|=丹0当且损仅当X=竿0；(2败)对任长意实即数，||僚X|跟|=留||||X|灶|；对任樱意向嘱量YRn，||X+拾Y|绳|屈||X|抓|+屡||勾Y|也|则称饰该实碑数||X|毅|为向惕量X的范数在Rn中，严常用保的几中种范订数有朗：记笔登记其中x1,x2,…,xn分别依是X的n个分鼻量。毛以上附定义绝的范数软分别芽称为1-范数得，2-范数盲和-范数可以供验证惑它们涨都是新满足咸范数录性质夺的，即其中是由吓内积巾导出虽的向袭量范包数。3.因6向量歼和矩违阵的将范数当不僻需要定指明哗使用师哪一辰种向指量范食数时痛，就坑用记郊号||茂.|叨|泛指烟任何沫一种吐向量忧范数率。有了嫌向量挎的范腰数就略可以准用它扭来衡群量向咐量的剧大小幸和表哗示向龄量的糠误差纺。设x*为Ax皮=b的精塌确解斩，x为其躺近似姻解，招则其盘绝对英误差酒可表煮示成||材x-好x*||，其公相对夏误差认可表刘示成记笔顺记3.校6向量洋和矩壮阵的无范数或例3.圆10证明陆对任们意同负维向紫量x立,遍y有证：即例3.疼11设x=室(1恢,崇0,克-样1,落2挠)T,计算解:蚊=例1+炼0+拉|-来1|腿+2革=4定理3.骗7对于腊任意唯向量x,有证:肤∵∴即当p→∞，∴定义3.心4尘(向量厕序列臣的极燃限)设猎为摊中的一向赚量序控列，,记。如尘果(i奋=谷1,珠2,象…,索n萍)，则吴称赌收蕉敛于誉向量盈，逮记为定理3.唐8（向艇量范逼数的独等价燥性）廊设染为上任篇意两膏种向浮量范煤数,则存道在常泛数C1,斥C2>0胸,使得纱对任顿意疮恒运有（证:略）定理3.诵9其中鸣为向正量中佛的任妨一种两范数迷。证熔由斗于而对秧于位上结的任迫一种奸范爽数,由定模理3.走7知存医在常疏数C1，C2，使于是绣可得从而摸定理涌得证秘。定义3.绘5（矩舰阵的系范数澡）如令果矩乏阵麻的某仁个抹非负甘的实歇值函愤数输，满近足则称正是鸽上琴的一照个矩性阵范崇数(或模)定义3.疏6（矩井阵的闷算子锯范数的）设n维向记量X和n阶方则阵A，当给定闯一种宝向量遵范数||X||时，牲则定隐义为矩拉阵的尖范数最，并步称为应矩阵弊的算胜子范蚀数。矩阵说范数扣定义谱的另古一种煮方法从定用义可宅以看择出，况矩阵惯范数厕和向良量范棕数密适切相叙关。矩阵释范数断的性筑质可铺由向辰量范波数定坐义直坑接验遍证。(1告)设A≠袋0,x≠0户,使Ax冻≠0立,根据驴向量笔范数内的性质Ax由>援0,所以>0x≠0麻,使Ax辱=湖0,则=0当A=库0时,矩阵鼻范数制的性赴质可夫由向能量范暴数定掌义直网接验司证∴(2退)根据验向量仇范数坟的性荡质矩阵址范数驰的性笔质可绞由向扒量范艰数定束义直贱接验础证(3浇)定义3.铜7（矩李阵的位谱半遵径）绕设疑的柱特征值为,称为A的谱半详径。例3.者12计算刘方阵的三豪种常妇用范寺数例3.挎12计算出方阵的三离种范飘数解先计秀算所以,从而定理3.归11设A为n阶方笼阵,则对损任意魄矩阵兼范数都有证:设主为A的特励征值架，x是格对应帜于的收特征抱向量,则λx炸=A倦x。两胀端取纱范数抓并依眉据其填性质得由于x≠0，故芹，所赚以3.浆7误差弟分析3.返7.喜1方程陷组的踢性态在建茧立方栏程组残时，洋其系纽奉数往赛往含崖有误才差（悠如观录测误并差或谜计算瞎误差区），炸就是菠说，森所要免求解择的运狂算是递有扰头动的纵方程艘组，扛因此茫需要洞研究饰扰动刃对解碎的影腊响。例3.乔13考察蜡方程遮组和上述梁两个监方程甚组尽查管只功是右躺端项泪有微屡小扰尸动,但解私大不胃相同,第1个方聪程组列的解吨是第2个方药程组木的解镜是絮。这脏类方命程组短称为梁病态候的。定义3.峰8词A或b的微简小变羊化(又称和扰动姑或摄况动)引起苗方程胶组Ax=b解的周巨大释变化秧，则附称方终程组乐为病陆态方复程组把，矩已阵A称为页病态豆矩阵角。否返则方袋程组遭是良烦态方袋程组册，矩厚阵A也是镰良态照矩阵为了槽定量肯地刻猛画方音程组鹊“病暖态”危的程难度，蚂要对镇方程拨组Ax=b进行观讨论顿，考厌察A（或b）微始小误认差对怕解的旋影响库。为胳此先并引入沃矩阵邻条件锹数的照概念浇。定义3.半9（矩贱阵条菊件数盾）设A为非坡奇异凝矩阵抚，称亡为乐矩阵A条件膀数。我们碌先来大考察愈常数惯项b的微郊小误返差对我解的浇影响西。设A是精颈确的,袜b有误坝差(或扰寻动)δ柜b,显然,方程浮组灭的解竖与x有差挽别,记为即有即同（锦由设Ax=b饥≠0）于是名（3.袍18）又∵Ax周=b陷≠0，则只有由（3.煌18）式部及（3.板19）式纳即得给如下谊定理（3.驴19）或定理3.蛛12惯(b的扰院动对拆解的复影响)设A非奇域异，Ax序=b≠0，且帅则饥有证:设A精确扑且非该奇异,b有扰配动δb险,使解x有扰疼动δx,则消去Ax厚=b，有又相比透较可犬得定理3.肚13肠(A的扰宏动对搏解的粮影响)设A非奇指异，Ax该=b组≠0，且若则证：见p66我们竞还可努证明芝更为杨一般角的结虾论：当方肚程组沟的系洁数矩帽阵A非奇纯异和垮常数公项b为非侄零向习量时柴，且艰同时渠有扰纤动δA，δb，满缺足额，大若x和x+馋δx分别茎是方扬程组Ax院=b及往的轿解则例3.弯13线性侨方程族组的系沸数矩辜阵带激误差剥，成吊为如枯下方沃程组求方能程组校系数累矩阵贡的条台件数,并说诉明方疗程组秆的性顺态解患因包为所以因此肚方程杠组是慈良态贝的3.丸7.缝2精度柿分析求得咏方程肉组Ax=b的一开个近市似解孔以后,希望均判断辟其精绍度，固检验贴精度临的一拳个简俘单办洒法是延将近驼似解饲再回广代到版原方幸程组恢去求扭出余量r.r蹄=役b-粗A如果r很小散，就敲认为昨解是著相当格精确父的。定理3.赴14设保是抹方程起组Ax=b的一栗个近唤似解,其精垒确解步记为,r为铜的余订量。遗则有证明窄见P68例3.梦14设A为正粪交矩换阵，歌证明袄：co肤nd2(A必)=坊1分析仙：由士正交碧矩阵殖和条模件数纯的定吨义便疫可推贿得解：躺因为A是正港交矩督阵，故AT