高中数学人教A版三角函数任意角（全国一等奖）

1、角的概念初中对于角，多在几何图形中理解及运用，研究的范围是(0º,360º].这对生活中体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º等现象则不能用现有的对角的认识去很好的解释；

所以,我们要从角的形成过程去进一步认识角

如何定义角的?“旋转”成角:平面内，一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形

角一般用a,b

等希腊字母表示.在不引起混淆时,一般省略角符号“∠”,简记为“角a

”或“a

”.2.任意角：正角、负角、零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图：

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角（0º）．

O0终边与始边重合思考:1.你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?快了5分钟呢?当时间调整准确后,分针各转过了多少度角?2.能否以同一条射线为始边作出下列角:30°,390°,-330°.3.象限角

一般地,我们使角的顶点与原点重合,始边与x

轴非负半轴重合.如图:

那么,角的终边在第几象限,这个角就叫做第几象限的角.如图:xyoa=30º,a是一象限角.30º245ºb=245º,b是三象限角.g=-270ºg

是y

轴正半轴上的角.d=-200ºd

是二象限角.w=-400ºw

是四象限角.

如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.如图:练习：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x

轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角:(1)-75;(2)855;(3)-510.xyo855-75-510解:(1)-75是第四象限角.(2)855是第二象限角.(3)-510是第三象限角.4.终边相同的角思考：30º角和390º角始边相同的时候,终边是否相同?30º角和-330º角始边相同的时候,终边是否相同?所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意以下四点：①k∈Z；②

是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.例：写出与角-225终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720≤b

<360的元素b

写出来:解:S={b|b

=-225º+k·360º,k∈Z},∴取k=-1,0,1,-585º,∵-720≤b<360,集合中满足条件的元素b

分别为-225º,135º.练1.在0º到360º范围内，找出与角－950º12′终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.解：∵－950º12′=－3×360º+129º48′，∴129º48′的角与－950º12′的角终边相同，它是第二象限角．练2.写出终边在y

轴上的角的集合.解:在0~360范围内,终边在y

轴上的角有两个,即90和270.xyo90270180180两条终边构成一个平角,它们相差k

个180,S={b|b=90+k·180,kZ}.练3.写出终边在直线y=x

上的角的集合S,并把S中适合不等式-360º≤b<720º的元素b写出来.解:xyo因为直线y=x

是第一、三象限的角平分线,在0~360范围内有45和225两个角,45225这两个角相差k

个180,∴与这两个角同终边的角的集合为S={b|b

=45+k·180,kZ}.取k=-2,-1,0,1,2,3,