第七章量纲分析与动力相似详解

第七章量纲分析与动力相似详解演示文稿1目前一页\总数四十四页\编于四点优选第七章量纲分析与动力相似2目前二页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似长度—时间—质量(L-T-M)作为基本量纲时有如下的导出量纲:对于任何物理量(如以A表示)的量纲可写作速度加速度密度力压强(7-1)3目前三页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似

在量纲分析中，把一个物理过程当中那些彼此互相独立的物理量称为基本量，其它物理量可由这些基本量导出，称为导出量，基本量与导出量之间可以组合成无量纲量，无量纲量具有如下的特点:①量纲表示式中的指数均为零；②没有单位；数值与所采用的单位制无关，故无量纲量也称为无量纲数。设A、B、C为三个基本量，它们成立的条件是Ax、By、Cz的幂乘积不是无量纲量，即不能找到不全为0的x、y、z来满足下式二、无量纲量(7-2)4目前四页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似(7-3)而满足下式，且b1、b2、b3不全为0。采用式(7-1)来表示物理量A、B、C的量纲代入式(7-2)和(7-3)，对照两边的指数，可写出如下方程(7-4)5目前五页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似方程组(7-4)和(7-5)的系数行列式(7-6)因此变量A、B、C是互相独立的，它们可以作为基本变量。(7-5)是使方程组(7-4)为全零解的充分必要条件，也是方程组(7-5)存在一组非零解的充分必要条件。6目前六页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似三、物理方程的量纲一致性

在自然现象当中，互相联系的物理量可构成物理方程。物理方程可以是单项式或多项式，同一方程中各项又可以由不同量组成，但是各项的单位必定相同，量纲也必然一致；另一方面，由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除等式两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程，但所表达的物理现象与原方程相同，这一点极为重要，这也是量纲分析的理论依据。例如，动能方程可改写为7目前七页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似理想流体伯努利方程a1=a2=1，也可改写为可以验证各项也都是无量纲量。量纲一致性原理，或量纲齐次性原理、量纲和谐原理。量纲一致性原理要求凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的。从量纲一致性原理可以得到一个重要推论：一个正确反映客观规律的物理方程必然可以写成量纲为一的形式。8目前八页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似§7-2泊金汉Π定理设一个流动过程涉及n个变量，v1、v2、v3、···、vn，其中v2、v3、···、vn是相互独立的自变量，它们是实验中可以控制的量，实验的目的是依次改变其中的一个而保持其他变量不变，从而确定它们各自对变量v1的影响；v1是实验中待确定或测量的量，它是自变量的函数，称为因变量。如在上节提到的圆球在粘性流体内运动的例子中，阻力FD是实验中要确定的因变量，α、µ和U则是相互独立的自变量。这里说α、µ和U相互独立，是指它们之间不能用任意一个或两个来表示另外一个。不是所有的变量都相互独立，比如ρ、µ和ν三个量中只有2个独立，因为ν=µ/ρ。实验的最终目的是寻求关系式依据量纲一致性原理，上式一定可以表示成量纲为一的形式，量纲为一的关系式中量纲为一的组合量数将少于原式中的变量数。(7.5)9目前九页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似泊金汉Π定理将式(7.5)改变为量纲为一的形式的方法有多种，这里首先介绍1914年由泊金汉(E.Buckingham)提出的方法，称为泊金汉Π定理。在数学上，大写希腊文字母Π表示变量相乘，由于量纲为一的组合量总是以物理量的幂次乘积形式出现，于是习惯上将量纲为一的组合量表示为Π1、Π2、Π3、…。泊金汉Π定理可表述如下：如果一个量纲一致的方程中包含n个变量，则这一方程可以表示成k个量纲为一的组合量或Π之间的关系式，变量减少数j=n-k是相互不能组成量纲为一的组合量或Π的最多变量数，j总是等于或小于描述这些变量所需的最少基本量纲数。10目前十页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似泊金汉Π定理的第二部分告诉我们如何确定这k个量纲为一的组合量：首先确定j，然后选取j个相互不能组成Π的变量，每一个Π都可用这j个变量与另外一个变量的幂次乘积组成，如此得出的每一个Π都是独立的。以式(7.5)为例，假设基本量纲数为3，即M、L和T，经过观察，n个变量中相互不能形成Π的最大变量数也是3，j=3，依据Π定理，n个变量可以组成而且只能组成(n-j)个Π。选取3个不能形成Π的变量，如v1、v2和v3，于是可以用这3个变量与另外一个变量的幂次乘积组成一个.Π

，(n-3)个Π可分别表示为，，…，。11目前十一页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似令等式两侧的幂指数相等，即可求出使每一个Π成为量纲为一的组合量的a、b和c。这样确定的Π是相互独立的，因为只有Π1包含v4，只有Π2包含v5，等等。通常称上述确定Π的方法为重复变量法。采用重复变量法确定Π的步骤如下：（1）列出所研究流动问题涉及的n个变量。正确地选择相关变量在很大程度上依赖于研究人员的流体力学知识和对所研究问题物理本质的理解，如果遗漏了重要的变量，便不能得到正确反映流动过程的量纲为一的关系式。（2）写出每个相关变量的基本量纲，流体力学常用变量的量纲可参阅表1.2。12目前十二页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似（3）确定j，则Π的个数为k=n-j。（4）选择j个变量，这j个变量应包括所有的基本量纲，同时它们相互之间又不能组成一个量纲为一的量，如可选取密度、速度或长度等。由于选取的这j个变量将出现在每一个Π中，称它们为重复变量。若我们希望因变量v1只出现在一个Π中，注意不要选取v1作为重复变量。（5）用选择的j个变量依次和剩余的(n-j)个变量中的每一个组合成幂次乘积形式，求解其幂指数，使每个组合量纲为一化。13目前十三页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似（6）写出最终的量纲为一的组合量关系式式中，F表示与f不同的函数形式。注意到只有Π1包含因变量v1，式(7.6)对于待确定或测量的量叫来说为显式。(7.6)14目前十四页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似§7-3动力相似

工程上经常遇到的流体力学问题，比如飞机的升力、地面车辆和船舶的运动阻力、大坝泻洪道的设计等，现在还不能单纯依赖理论分析或数值计算来解决。为了寻求具体流动的规律，给设备设计积累数据，或者为了验证理论和数值计算结果，往往先需要使用缩小的模型，即使用几何相似但尺寸较小的模型在实验室进行测试，比如用缩小的飞机模型在风洞内吹风以测量升力和阻力。如果模型流动与实物流动不同，比如模型流动是层流，而实物流动是湍流，或者两者都是层流，但流线形状完全不同，则模型实验的结果是无用的。只有当模型实验的流动与实物流动动力相似时，在模型实验中获得的升力数据才可以推广应用于实际飞行器。15目前十五页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似一、几何相似如果两个流动的线性变量间存在着固定的比例关系，即原型和模型对应的线性长度的比值相等，则这两个流动称为几何相似的。如以l表示某一线性尺度，则有长度比尺由此可推得其它有关几何量的比尺，例如面积和体积，比尺分别为16目前十六页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似二、运动相似运动相似是指流体运动的速度场相似。也就是指两个流动各对应点(包括边界上各点)的速度u方向相同，其大小成一固定的比尺Cu。即注意到流速是位移对时间t的微商dl/dt，则时间比尺为同理，在运动相似的条件下，流场中对应点处流体质点的加速度比尺为17目前十七页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似三、动力相似若两流动对应点处流体质点所受同名力F的方向相同，其大小之比均成一固定的比尺CF，则这两个流动是动力相似。所谓同名力是指具有同一物理性质的力。例如，重力FG、粘性力Fμ、压力FP、弹性力FE、表面张力FT等。为了确定船只运动时受到的阻力，常常利用缩小的模型在水池中进行模型实验(图7.3)。18目前十八页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似实物流动与模型流动的动力相似首先要求两个流动的边界几何相似，即要求所有的对应几何特征长度成比例，如在图示的两个流动中d/l=d1/l1。动力相似还要求运动相似，即两个流动的流线几何相似，这意味着在相应的空间位置上的速度成比例，如在图7.3a中的P点速度为U/2，那么在图7.3b中的对应点P1速度应为U1/2。如选取沿吃水线的船长l作为特征长度，上游的来流速度U为特征速度，分别将空间坐标和速度矢量量纲为一化，运动相似意味着当两个流动的量纲为一的空间位置相同时，量纲为一的速度19目前十九页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似相等，即两个流动在几何相似点上的流动速度与特征速度的比值相同。当满足上述两个条件时，我们称两个流动动力相似，在动力相似的流动中所有的几何和速度尺度均成比例。动力相似条件——雷诺数粘性不可压缩流动的连续方程和N-S方程分别为引入一个特征长度L和一个特征速度U来使上述方程组量纲为一化。对于图7.3中的流动，如上文所述可以选取沿吃水线的船长l作为特征长度，上游的来流速度U作为特征速度；在管内流动情形下，则可取圆管直径D为特征长度，管截面平均速度V为特征速度，等等。(7.7a)(7.7b)20目前二十页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似压强通常随速度场变化而变化，这里可用ρU2作为压强的参考量。没有引入特征时间尺度，因为这里只限于讨论外加条件为定常的情形；N-S方程中之所以保留时间导数项，因为虽然外加条件定常，非定常的脉动仍然可能自发地出现(参阅第10章10.6节，卡门涡街)，但此种非定常脉动的频率和幅度等只与上述特征长度L和特征速度U有关。利用L和U将方程中相关变量量纲为一化，它们的量纲为一的形式分别为21目前二十一页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似在以上各式中上标“′”，表示量纲为一的量，代入连续方程和N-S方程，得对上两式进一步简化，得(7.8a)(7.8b)22目前二十二页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似方程(7.8b)中出现了量纲为一的组合量雷诺数Re=ρUL/µ，在对边界条件作量纲为一化处理过程中还可能出现其他的量纲为一的组合量。由于方程(7.8a)和(7.8b)中只显含量纲为一的组合量Re，因此满足量纲为一的边界条件的解，速度和压强，只可能是下列变量的函数：(1)量纲为一的坐标x′、y′、z′与时间t′；(2)雷诺数Re；(3)满足量纲为一的边界条件所需的量纲为一的组合量。将基本方程量纲为一化，表面上看只是形式上的变化，但它却清楚地提示我们，如果两个流动满足相同的量纲为一的边界条件，则无论这两个流动的ρ、L，U和µ如何不同，只要它们的组合ρUL/µ相同，这两个流动就可以用唯一相同的量纲为一的形式的解来描述，即两个流动的几何尺寸大小、流体种类和速度可能不同，但只要雷诺数相同，它们就有相同的量纲为一的形式的解。23目前二十三页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似之所以称这样的流动为动力相似，是因为动量方程(7.8b)中的项可视为表示不同的力，粘性力、压力和惯性力等，而两个流动中在相同量纲为一的时刻位于相同量纲为一的空间位置的流体质点受到的所有力成同一比例。雷诺数可视为对作用在单位体积流体上的非粘性力与粘性力的相对重要性的一个度量。对于沿x方向的流动，单位体积流体的惯性力为ρDu/Dt，如果为定常流动，则为ρu∂u/∂x；单位体积流体的粘性力为µ∂2u/∂2x

，压力为-∂

p*/∂

x。这些力总体上处于平衡状态，它们的相对大小可用任意两个力的比值来表示，但压力通常是被动力，取决于流场的速度分布，因此可用惯性力与粘性力的比值作为流动中受力平衡的标志。在空间任意点惯性力与粘性力的比值为24目前二十四页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似设流场的特征量是密度ρ、粘度μ以及上文提到的特征长度L和特征速度U。由于流场内任意点的速度都与特征速度U成比例，因此时，，于是可见雷诺数是惯性力与粘性力相对大小的一个度量，对于给定的边界条件，改变雷诺数相当于改变了惯性力与粘性力的相对大小。两个流动的雷诺数Re=ρUL/μ相同，就表示对应空间点和对应时刻流体所受到的非粘性力与粘性力成比例，即两个流动动力相似。25目前二十五页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似量纲为一的因数除了速度场和压强场外，我们也关心流体对物体的作用力。物体表面的法向和切向应力p和τ可以用ρU2量纲一化为p/(ρU2)和τ/(ρU2)，这些量纲为一的组合量与量纲为一的速度一样也是量纲为一的空间坐标和雷诺数的函数，即物体受到的总作用力沿来流方向的分量称为阻力，以FD表示，垂直于来流方向的分量称为升力，以FL表示。通常将阻力和升力写成如下量纲为一的形式26目前二十六页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似分别称CD和CL为阻力因数和升力因数，式中A是物面在来流方向的投影面积(对于圆球为πd2/4，d表示圆球直径)。由于CD和CL是p/(ρU2)和τ/(ρU2)在物体表面作积分的结果，因此它们都只是雷诺数的函数(7.11)式(7.11)表示的相似律得到无数实验结果的验证。图7.4给出长圆柱与圆球的阻力因数与雷诺数的关系曲线，不同流体、不同尺寸圆柱和圆球的实测数据点落在同一条曲线上，印证了式(7.11)表示的雷诺数相似律的客观存在。27目前二十七页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似其他量纲为一的组合量如果不可压缩流体有弯曲界面，比如水与空气的弯曲自由面，则界面上的流体压强与大气压强之间存在差值，这一差值与表面张力系数σ成正比，由式(l.17)，pa-p=σ(1/r1+1/r2)，式中r1和r2是弯曲自由面的主曲率半径，曲率中心位于大气一侧，则广义压强可写为上式两侧同除以ρU2使其量纲为一化，以流场某一特征长度L使r1和r2量纲为一化，则有上式中出现了3个新的量纲为一的组合量，Eu=pa/ρU2

，Fr=，We=ρU2L/σ，依次称为欧拉数、弗劳德数和韦伯数。28目前二十八页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似

弗劳德数，Fr=，可看作是流动惯性力与重力的比值。在存在自由面的流动中，它是起主导作用的量纲为一的组合量；而当没有自由面时，它则完全不重要。在式(7.8)中由于将重力项吸收进广义压强中，方程中不再出现重力项，因此对于无自由面的流动分析可不考虑重力影响。

韦伯数，We=ρU2L/σ，可解释为惯性力与表面张力的比值。当韦伯数等于或小于1，如液滴、毛细管内流动、非常小的水力模型、细小的表面波等情形下，韦伯数是重要的影响参数；其他场合，韦伯数影响可以忽略。

欧拉数，通常以压强差的形式写为Eu=Δp/ρU2，Δp=p-p

ref，pref为参考压强。在大多数场合，都可忽略欧拉数的影响。29目前二十九页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似

在某些流动中，比如在水泵和船舶的螺旋桨推进器中，当流体压强降低到饱和蒸汽压强pV以下时，会出现闪蒸而产生气泡，称为气穴现象，而当压强再次升高时，因汽泡的突然破裂伴随有巨大的压强冲击，会在螺旋桨或叶轮表面发生气蚀。选取液体饱和压强作参考压强，欧拉数可写为称为气穴数。

对于高速的可压缩流动，方程(7.7)和(7.8)不再适用，因为流体密度不再为常数，描写可压缩流动，除了可压缩流动的N-S方程和连续方程(3.29)外，还需要能量方程，以及p，ρ和h之间的热力学关系式。这些关于可压缩流动的方程将会引入新的量纲为一的组合量，其中一个重要的量纲为一的组合量是马赫数

30目前三十页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似式中，a是当地音速，即所考虑点的音速。当存在外加条件导致的脉动流动时，如管道进口速度为以特征速度U和特征时间L/U分别使速度和脉动角频率ω量纲为一化，得余弦函数的自变量中包含一个新的量纲为一的组合量称为斯特劳哈尔数。31目前三十一页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似

式(7.11)仅适用于流动中起主导作用的力为惯性力和粘性力的情形。如流场中存在自由面时，重力的影响变得重要起来，弗劳德数Fr应该进入(7.11)；对于可压缩流动，还需考虑马赫数的影响，等等。在上述情形下(7.11)可改写为(7.16)此时为了使两个流动动力相似，除了雷诺数外，还要求弗劳德数和马赫数相等。在另外一些场合，则可能还需考虑其他量纲为一的组合量的影响。32目前三十二页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似§7-4模型实验

进行模型实验的目的是为原型设备的设计提供客观依据，只有模型流动与实物流动之间存在动力相似，模型实验中测量的数据才能推广应用于实物流动。

为了保证两个几何相似的设备内的流动动力相似，如式(7.11)和(7.16)所示，流动的雷诺数、弗劳德数以及马赫数等必须保持相等。这些量纲为一的组合量与利用量纲分析方法得出的Π数组是相同的。可以将式(7.11)和(7.16)写为更一般的形式(7.17)33目前三十三页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似

在相似理论中量纲为一的组合量也称相似准则，或相似准则数。式中Π1包含实验中的待测量，或因变量，称为“非定性准则”或“非独立准则”、“非决定性准则”

；Π

2、Π

3、…、Πn中只包含相互独立的自变量，即实验中可以控制的量，称为“定性准则”，或“独立准则”、“决定性准则”。对于具有几何相似边界的模型和实物流动，只要定性准则数分别相等，即Π

2m=Π

2p，Π

3m=Π

3p，…，Π

nm=Π

np(7.18)Π

1m=Π

1p(7.19)它们便动力相似，于是非定性准则数也相等式中，下标“m”是英文model的第一个字母，表示模型；“p”是英文prototype的第一个字母，表示原型。式(7.18)是模型设计必须满足的条件，式(7.19)则用来将模型实验中的测量数据转换为实物流动的相应数据。34目前三十四页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似模型比例

几何相似是动力相似的必要条件。定义线性比例因数(7.20)模型与实物的所有对应线性尺寸应成同一比例，以保证几何相似。除了长度比外，还可以定义与流动有关的其他变量的比值，如速度比Vm/Vp、密度比ρm/ρp、时间比Tm/Tp、粘度比μm/μp等，相应的比例因数则分别写为λv、λρ、λT和λμ。35目前三十五页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似部分相似如果每一个定性准则数都对应相等，称模型流动与实物流动完全相似，严格的完全相似常常难以实现。比如存在自由面的流动中，要使流动动力相似，需要满足雷诺数和弗劳德数分别相等，即考虑到重力加速度为常数，由弗劳德数相等得雷诺数相等则要求36目前三十六页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似由于弗劳德数相等限制速度比等于长度比的平方根，代入上式有(7.21)满足上式要求从理论上讲是可能的，但实际上寻找一种流体使它的运动粘度与实物流体的运动粘度之比正好等于线性比例因数的3/2次方是非常困难的。有自由面的流动，如涉及大坝泄洪道、水面船舶等的流动中流动介质一般是水；考虑到模型实验中的大坝模型和船舶模型等通常几何尺寸都较大，所以模型实验中唯一现实可选用的流体也是水，此时粘性比例因数等于1，则式(7.21)不可能得到满足。通常在上述流动的水力模型实验中，只保证弗劳德数相同，而允许模型和实物流动的雷诺数有所不同。37目前三十七页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似§7-5模型实验举例通道内流动

这里通道内流动指各种不同形状横截面管道内的流动，也包括通过阀门、孔板等流量测量计的流动。由于流体充满通道截面，不存在自由面，因此起主要作用的力是惯性力和粘性力，雷诺数是重要的决定性准则数，而无需考虑韦伯数和弗劳德数的影响；如果流动速度与音速相比很低(Ma<0.3)则压缩性影响可以忽略不计，也不必考虑马赫数影响。当感兴趣的待测量是一段管长的压强降落时，则非定性准则数可表示为Δp/(pρV2)，于是在满足几何相似的条件下，准则方程式可写为38目前三十八页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似雷诺数相等，(ρVl/µ)

m=(ρVl/µ)p，要求当选用相同的流体时(µm=µp，ρm=ρp)，上式简化为如采用小于1的线性比例因数，则要求模型流动速度高于实物流动速度。满足动力相似时有39目前三十九页\总数四十四页\编于四点第七章量纲分析与动力相似实物流动的压强降落

在圆管摩擦压降实验中，一个有趣的现象是当雷诺数很高时量纲为一的压强降落不再是雷诺数的函数，而只取决于管壁的相对粗糙度ε/D，式中D是管道内径，即流动处于穆迪图的粗糙区(第5章图5.28)。这是因为，雷诺数很高意味着惯性力远大于粘性力，因此可以忽略粘性力的影响，于是模型与实物流动的动力相似不再与雷诺数有关。称这种情形为自模化状态，在自模化区压强降落与速度的平方成正比，因此也称阻力平方区。