初中数学北师大九年级上册第四章图形的相似相似三角形的周长和面积之比

1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点）2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）学习目标导入新课问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ABCA1B1C1问题引入讲授新课相似三角形周长比等于相似比一问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？(1)(2)(3)123(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的周长比=______.1∶

2结论：相似三角形的周长比等于______．相似比（都相似）1∶

31∶

21∶

3有什么规律吗？证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，求证：相似三角形的周长比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么证明这一结论呢？相似三角形周长的比等于相似比.归纳总结(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的面积比=______(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的面积比=______相似三角形的面积比等于相似比的平方二1231∶

2（1）（2）（3）1∶

41∶

31∶

9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：结论：相似三角形的面积比等于__________．相似比的平方证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.ABCA′B′C′DD′想一想：怎么证明这一结论呢？∵△ABC∽△A′B′C′.相似三角形的面积比等于相似比的平方.归纳总结1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比

，面积之比为

.

2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为______.

1:32:34:9练一练3如图，在正方形网格上有和个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出和的面积比．

，这两例1：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.

解：根据题意，可知EG∥AB.

∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.

∴△GEC∽△ABC

即，△ABC平移的距离为

如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______.

练一练求三角形面积常用方法直接法ahS△=等积法S1S2等比法S1=S2(等底同高)(同底等高)S1S2(同高不同底)(2)如图,DE∥BC,则△ADE与△ABC的相似比是__________,面积之比是_______.ABCDE课本来源“A’字型ABCDE变式一如图,DE∥BC,DF∥AC,

S△ABC=a,则则四边形DFCE的面积为______________.FABCABCDE如图,DE∥FG∥BC,且AD=DF=FB,设△ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3,求S1:S2:S3.ABCDES1S2S3FG变式二ABCABC变式三ABCDE如图,DE∥BC,,则△ADE与△ABC的相似比是__________,面积之比是_______.“X”字型1.如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=2:3,则S△APE:S△CPD=_____________.ABCDEP变式四2.ABCDEP如图,平行四边形ABCD中,BE:AB=2:3,且S△BPE=4,求平行四边形ABCD的面积.变式五ABCDMEFN变式六如图,BD是ABCD的对角线,且AE=EF=FC,求S△DMN:S△ACD

.变式七1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,△OAD,△OAB,△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且(1)试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系.AODCBS1S2S3S4“同高型”变式七1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,△OAD,△OAB,△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且(1)试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系.AODCBS1S2S3S4“同底等高型”变式八1.如图,梯形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设△OCD,△OAD,△OAB,△OCB的面积分别为S1,S2,S3,S4,且AODCBS1S2S3S4(2)若梯形改为”一般四边形”,S1,S2,S3,S4之间的等量关系是否改变?中考链接(07济宁中考)如图,DE是△ABC的中位线,△ADE的面积为3㎝2,则四边形BCED的面积为__________.ABCDE中考链接(黑龙江中考题)在

ABCD中,E为CD上一点,DE:CE=2:3,连结AE、BE、BD，且AE、BD相交于点F，则S△DEF:S△EBF:S△ABF=()ABCDEF(09孝感中考）.在△ABC内任取一点P,过点P作三条直线分别平行于三角形的三边,这样所得的三个小三角形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=4,S2=9,S3=49,求S△ABC.S1S2S3QGHABCDEFP中考链接中考链接(08温州中考题)如图，点A1、A2、A3、A4在射线OA上，点B1、B2、B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积为1，4，则图中阴影三角形的面积之和为___________.BOAA1A2A3A4B1B3B214在△ABC中,D为BC边上的中点,E为AC边上任意一点,BE交AD于点O,请探究:EOABCDEABCDOBCEADOF竞赛链接(山东省竞赛题)ADOBCE根据以上规律,你能求

总结☞ABC

总结☞1.找到与已知和所求有关的基本图形.S1S2S2S12.找到相似三角形及相似比3.利用面积比等于相似比的平方.

总结☞解决A组题的关键:1.找到基本图形S1S22.找到相似三角形及求出相似比3.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.知识背景2.等积法:等底等高的两三角形面积相等.1.直接法:根据三角形的面积公式解题.③相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.等比法:将面积比转化为线段比.在相似三角形中求面积的常用方法①等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比.②等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比.基本图形S1S2③S1S2②同高不同底S1S2①等底同高S2S1④相似如图,D、E、F是△ABC的各边的中点,设△ABC的面积为S,求△DEF的面积.FABCDE变式二解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比为1:2.ABCDEF∴1如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.ABCDEF∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为2如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.

∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

又∵△ABC的面积为100

cm2，∴△ADE的面积为36cm2

.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).BCADE3，

如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.

∴ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.设S△ABC

=4，则S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍

()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍

()√×当堂练习3.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ

的值为()A．2B．4C．1D.C4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.145.

如图，这是圆桌正上方的灯泡(点A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2

米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，

桌面的直径为1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，

∴△ADF∽△ACH，ADEFCBH∴