世纪金榜第八章第三节

第三节圆的方程1.圆的定义及确定圆的基本要求(1)定义：圆是在平面内到_____的距离等于_____的点的集合.(2)确定一个圆的基本要素是：_____和_____.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0)(1)_________________⇔点在圆上.(2)__________________⇔点在圆外.(3)__________________⇔点在圆内.定点定长圆心半径(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2＞r2(x0-a)2+(y0-b)2＜r23.圆的方程标准方程一般方程方程________________x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F＞0)圆心(a,b)半径r(x-a)2+(y-b)2=r2判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b)，半径为t的一个圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为半径为的圆.()(4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF＞0.()(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0.()【解析】(1)正确.圆由其圆心和半径两个要素就确定了.(2)错误.当t≠0时，方程表示圆心为(-a,-b)，半径为|t|的圆.(3)错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0即时才表示圆.(4)正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF＞0得方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立.(5)正确.因为点M(x0,y0)在圆外，所以即x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√1.圆心为(0，1)，半径为2的圆的标准方程为______.【解析】由已知得圆的标准方程为(x-0)2+(y-1)2=22,即x2+(y-1)2=4.答案：x2+(y-1)2=42.若点(0,1)在圆x2+(y-2)2=r2的外部，则r的取值范围为____.【解析】由已知得且r≠0,∴-1＜r＜0或0＜r＜1答案：(-1,0)∪(0,1)3.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是_____.【解析】由已知得充要条件为(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，即4m2-5m+1＞0，解得：或m＞1.答案：4.已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线x-y=0的对称点B也在圆上，则a=______,b=______.【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为A，B两点都在圆上，所以解得方法二：易知圆心在y=x上，∴即a=-2,又∵点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上，∴12+22-2×1-2×2+b=0,∴b=1.答案：-215.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为______.【解析】方法一：设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,由圆过A(5，1)，B(1，3)两点，得∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.方法二：易知AB的中垂线方程为y-2=2(x-3)，即y=2x-4，故圆心坐标为y=2x-4和y=0的交点(2，0).又半径∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案：(x-2)2+y2=10考向1

确定圆的方程【典例1】(1)过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上的圆的方程为______.(2)(2013·盐城模拟)已知点P(a,b)关于直线l的对称点为P′(b+1,a-1),则圆C：x2+y2-6x-2y=0关于直线l对称的圆C′的方程为______.【思路点拨】(1)可根据圆的圆心在弦AB的垂直平分线上，先由直线l的方程与弦AB的垂直平分线的方程求其圆心C的坐标，再求圆的半径r=AC，从而求得圆的方程；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于a,b,r或D,E,F的方程组求解.(2)求出圆C的圆心关于l的对称点即可求出圆C′的方程.【规范负解答】(1枝)方法趁一：颤∵A(专6，0)，B(串1，5)，∴其扣中点吨坐标膛为∴AB垂直竟平分葱线方鼓程为即x-你y-贩1=倚0.由方妥程组肚得尘圆心C的坐柱标为(3，2)掌.又半缠径∴所它求圆互的方栋程为(x愧-3足)2+(行y-蹈2)2=1福3.方法闻二：衣设所窑求圆肢的方证程为(x欧-a湾)2+(组y-疏b)2=r2.由已碑知，贼得解得∴所轻求圆愉的方密程为(x错-3幕)2+(赴y-洋2)2=1冈3.方法好三：设翁所求且圆的若方程谨为x2+y2+D微x+河Ey夏+F剑=0过(D2+E2-4掌F＞0)，则解得绞：D=惯-6泉,E周=-振4,约F=生0.∴所求晴圆的羡方程说为x2+y2-6废x-姐4y逝=0，即(x勺-3不)2+(策y-段2)2=1首3.答案夸：(x尽-3范)2+(陶y-职2)2=1旬3(2盒)圆C的方羊程变掠形为(x爽-3侦)2+(特y-监1)2=1她0,∴圆C的圆睬心为C(令3，1)，半姓径籍由题奖意，骗令a=扒3，b=泊1，则b+序1=蚕2，a-轨1=变2，C(录3，1)关于琴直线l的对怜称点C′坐标拆为(2，2)，∴捕圆C′的方屑程为(x困-2焦)2+(槽y-窗2)2=1植0.答案:(x插-2瘦)2+(村y-冲2)2=1魔0【互动捞探究】本例真题(1贡)中条敢件变油为“耐经过名点A(挣6，0)，且丢与直线l:2顶x-卫3y歇+1厅3=倘0相切恩于点B(铅1，5)的圆逢”，姐结果妹如何收？【解析】依题休设可尝知，膀圆心念在过升切点B(既1，5)且与l垂直眉的直仅线上，完其斜其率为创所以抗方程炉为感即3x觉+2屠y-繁13无=0规.又圆装心在AB的垂醉直平视分线x-露y-路1=多0上，由袋得盆圆心(3，2)妖.半径因此孝所求长圆的迈方程膏为(x档-3舱)2+(李y-振2)2=1劣3.【拓展乖提升】1.求圆较的方咬程的阁两种唐方法(1壮)直接纱法：刻根据项圆的傍几何插性质明，直牛接求横出圆泡心坐够标和援半径百，进醒而写钻出方碑程.(2只)待定安系数爬法：①若崖已知威条件窜与圆海心(a,摸b)和半彩径r有关锡，则训设圆么的标崇准方藏程，晴依据叼已知糟条件计列出赖关于a，b，r的方蜓程组数，从咽而求具出a，b，r的值;②若已炉知条抄件没庆有明聚确给跳出圆骆心或昂半径照，则乳选择先圆的寸一般饮方程撤，依善据已今知条标件列耐出关玻于D，E，F的方吓程组酒，进往而求对出D，E，F的值.2.确定汇圆心鬼位置你的三惑种方窑法(1阳)圆心酱在过爬切点闸且与兵切线剂垂直本的直弹线上.(2若)圆心射在圆宁的任甜意弦樱的垂删直平岗分线宴上.(3纤)两圆食相切凑时，进切点药与两盾圆圆平心共漂线.【变式商备选】求圆市心在贷直线y=渡-4样x上，间并且妈与直富线l:x斩+y悬-1届=0相切持于点P(骂3，-2届)的圆甩的方坦程.【解析】方法淹一：葛设圆似心C(膨a,熄-4蓝a)，由题帅意得骗：即a2-2当a+霉1=苗0，解船得a=浓1，∴圆腿心C(超1，-4念)，∴圆即的标余准方备程为(x仁-1特)2+(芦y+忠4)2=8阶.方法疏二：它过切搜点P且与l垂直碌的直耳线是y+谅2=依x-起3，即x-楼y-汤5=教0.由恼得圆切心(1，-4趁)，于是∴圆脸的方集程为(x冒-1天)2+(哑y+该4)2=8划.考向2与圆颂有关掏的最专值问盗题【典例2】(1堪)(叮20粉13棋·苏州狡模拟)已知患圆的畅方程黎为x2+y2-6嗽x-祝8y优=0，设放该圆锤过点(3逮,5碰)的最厘长弦定和最序短弦那分别毒为AC和BD，则轨四边萍形AB旧CD的面检积为__巨__背__旅.(2晨)已知颤实数x，y满足舌方程x2+y2-4涉x+凤1=视0.①求蚂的最择大值填和最灿小值闭；②求y-范x的最缸大值赌和最冬小值锅；③求x2+y2的最销大值灿和最组小值.【思路辱点拨】(1周)由图时形的岂几何每性质散判断陕并求申得最逗长弦AC和最段短弦BD是关茅键.(2歪)充分叮利用岁所求住代数汇式的防几何淘意义桶，运结用几巡寿何法互求解.①为点(x,社y)与原贵点连挡线的楚斜率.②y-锋x表示袜动直替线y=x+渠b在y轴上锈的截屯距.③溜x2+y2表示治点(x,肺y)与原浊点的鉴距离伯的平脖方；戏也可悦以消督去一蜡个元纲，转司化为效在函肠数定葵义域格内求档最值.【规范福解答】(1粮)圆的限方程廊可化哈为(x恋-3嗽)2+(上y-页4)2=2沾5，圆亏心坐标为(3，4)，半岂径为5,且点(3，5)在圆狐内，饺由图温形的痕几何丘性质得产过点(3，5)的最摧长弦泽等于令该圆喇的直筒径，始即AC盲=1市0,最短家弦是以(3，5)为中榨点的码弦，朝∴最越短弦思又易知AC蕉⊥B苏D,货∴答案俊：(2菠)①原方译程可傅化为(x淘-2要)2+y2=3绩,表示像以(2今,0翠)为圆作心，羽为半径斯的圆吸，定的岩几何垒意义唐为点(x,忘y)与原企点连济线的址斜率.所以设绳即y=kx,当直竹线与茶圆相扛切时肠，斜香率k取最俩大值祝或最小值遣，此颂时售解得股所以的最扮大值犁为最小学值为②y-离x可看落作直帮线y=x+深b在y轴上贩的截熄距.当直幕线与陈圆相奔切时腿，直线y=x+把b在y轴上鼓的截少距取醋最大据值或问最小腔值，欺此时解得四所以y-戴x的最氧大值仍为属最小捐值为③方法仪一：x2+y2表示烫点(x,抽y)与原衔点的橡距离慎的平砖方.由平五面几患何知得识可零知，丹原点副与圆刻心的野连线遭所在送直线月与圆肺的两粒个交宏点处网取得拍最大敌值或奔最小问值.又圆编心到史原点穗的距擦离为2，故(x2+y2)ma胡x=(x2+y2)mi踩n=方法鲜二：哨由x2+y2-4朴x+修1=可0得：y2=-茄x2+4猜x-中1,且-x2+4及x-都1≥柱0,即∴x2+y2=x2+(恶-x2+4浩x-换1)夸=4订x-毛1,∴(惕x2+y2)ma截x=(x2+y2)mi喇n=【拓展乱提升】1.与圆谦有关野的长琴度或佳距离局的最约值问且题的葬解法一般攀根据苍长度战或距竭离的眉几何春意义锯，利般用圆神的几泻何性因质数岸形结阅合求邮解.2.与圆母上点严有关卫代数瓦式的勒最值弟问题苦的常妥见类矩型及膏解法(1帽)形如态型的想最值馒问题初，可落转化读为过傲点(a,流b)和点(x,游y)的直效线的侦斜率倍的最压值问肝题.(2馒)形如t=ax荡+b款y型的牧最值婶问题筒，可合转化扎为动考直线喘的截丝式距的如最值鸡问题.(3杯)形如(x犁-a外)2+(乖y-僻b)2型的斩最值弟问题邻，可资转化咽为动因点到暗定点润的距凝离平战方的票最值艺问题.【变式蜡训练】在△OA巷B中，仪已知O(搂0，0)，A(储8，0)，B(冬0，6)，△OA注B的内桌切圆窝的方玻程为(x怀-2共)2+(宏y-逼2)2=4，P是圆艳上一挺点.(1乌)求点P到直眼线l：4x胃+3滔y+医11考=0的距袄离的视最大骄值和泳最小亭值.(2题)若S=颤PO2+P牛A2+P菊B2，求S的最室大值挣和最克小值.【解析】(1锋)由方召程(x平-2镇)2+(辱y-缴2)2=4得该危圆圆摇心坐夕标为(2，2)，半亏径为2，故圆梁心(2，2)到直奸线l的距财离为由图双形的堡几何躺性质真得，克点P到直秒线l的最您大值闸为5+仿2=朽7，最托小值翅为5-翼2=吼3.(2华)设P(菌x,留y)，则(y击-2携)2=4气-(喉x-织2)2=-估x2+4气x且-x2+4哭x≥被0，即0≤誓x≤军4,∴S效=P感O2+P淘A2+P牵B2=x2+y2+(匹x-贤8)2+y2+x2+(逝y-锄6)2=3蛙x2-1横6x去+8影8+被3(胜y-蚁2)2=3望x2-1疯6x组+8班8+鸡3(厨-x2+4棋x)=-而4x隙+8滋8.又x∈［0，4］，∴Smi涛n=-围4×滴4+押88腥=7仆2，Sma融x=-上4×粘0+捞88剖=8夫8.考向3与圆练有关去的轨湾迹问仪题【典例3】(2遮01逼3·南京巨模拟)已知P(留4，0)是圆x2+y2=3秤6内的莫一点岸，A，B是圆花上两诱动点察，且茶满足蠢∠AP反B=饲90雄°.(1笑)求AB中点R的轨滚迹.(2乔)求矩脉形AP用BQ的顶赠点Q的轨拴迹方厦程.【思路拖点拨】(1目)寻找斯到点R满足宣的等革量关缺系，丈利用痒直接秘法求慰出R的方雁程，幕再根董据方鹊程判侧定其士轨迹.(2停)利用弃点Q与R的关裕系，颗结合呀相关壮点法(代入券法)求其反轨迹注方程.【规范产解答】(1壤)如图宣所示蜜，在Rt箭△A岂BP中.∵∠提AP撒B=吸90先°，R是弦AB的中捷点，否∴AR牛=P迹R，AR惧=即设R(基x,衔y)，∴袋有整理凑得x2+y2-4咐x-圣10萄=0，即(x贷-2科)2+y2=1日4,所以待轨迹架为以(2骄,0矩)为圆鹿心，垃为召半径自的圆.(2早)设Q(秆x,蓄y)，R(糕x1,y1).∵四边片形AP输BQ为矩锐形，∴R是PQ的中叨点.又点R(渠x1,y1)在圆x2+y2-4颗x-产10妖=0上，∴有整理笛得x2+y2=5应6，即矩拜形AP眼BQ的顶艳点Q的轨览迹方趁程为x2+y2=5劫6.【拓展返提升】求与逝圆有旱关的讲轨迹供方程俯的方欠法【提醒】注意溜轨迹帅与轨蒜迹方俊程的层区别.【变式龙训练】已知承圆C:洁(x列-1秆)2+(党y-烘1)2=9，过犁点A(替2,充3)作圆C的任唉意弦神，求射这些角弦的箱中点P的轨宁迹方幼程.【解析】方法忍一：境直接钢法设P(灾x,俘y)，由郑题意夺知圆障心C(１，酷１).∵P点是得过点A的弦昼的中两点，业∴又∵∴(状2-云x)奴(1砖-x赚)+响(3抹-y锅)(室1-胶y)托=0仙,∴P点的恭轨迹饶方程喜为方法旬二：定肌义法由已胁知知营，PA旱⊥P当C,夜∴由圆落的性烈质知通点P在以AC为直舒径的胁圆上科，又耽圆心C(饿1，1)，而AC中点黎为所以售半径盗为所求侍动点P的轨挂迹方饱程为【满分梳指导】与圆证的方更程有勺关的腿解答挂题的授规范犹解答【典例】(1缩慧4分)(惭20沸13繁·徐州颜模拟)已知航以点(t夸∈R，t≠狂0)为圆扣心的臣圆与x轴交匹于点O，A，与y轴交贯于点O，B，其丛中O为原罩点.(1浮)求证挂：△OA债B的面宿积为抓定值.(2擦)设直恢线y=锅-2倘x+滔4与圆C交于卸点M，N，若OM断=O材N，求喜圆C的方宁程.【思路太点拨】已知条件条件分析圆C过原点O圆C与x轴交于点A令y=0，得OA圆C与y轴交于点B令x=0，得OBOM=ON得OC垂直平分线段MN【规范衔解答】(1东)∵圆C过原钞点O，∴设圆C的方纠程是……承……头……患……跟……少……题……菠……蒸……音……按……做2分令x=贴0，得y1=0拴,y2=，∴……教……管……并4分令y=银0，得x1=0斩,x2=2存t，∴OA榴=|鼓2t焰|，……勉……框……库…5分∴即△OA务B的面肿积为倚定值.…凉……胜……肿……姻……白……级…7分(2据)∵犁OM幕=O少N，CM坦=C夜N，∴OC垂直罚平分滴线段MN浇.②……康……径……予……弓……折……盲……坏……骂……僵……饼……济9分∵kMN=-壁2，∴∴直线OC的方罚程是y=测x锅.∴解得t=劈燕2或t=甜-2借.③……历……宽……煮……乎……缺11分当t=栽2时④，圆垂心C的坐挽标为(2，1)，发此时C到直阳线y=制-2则x+招4的距之离楼圆C与直拉线y=随-2宵x+膛4相交丢于两模点.……盏……驱……骡……沟……骗……秀……级……虹……箩……报……纵12分当t=挡-2时④，圆宗心C的坐映标为(-申2，-1粗)，串此绞时C到直线y=凶-2浊x+劲4的距膀离圆C与直钻线y=摩-2牵x+服4不相可交，∴t=抱-2不符痰合题斩意，去舍去.∴圆C的方咬程为(x历-2据)2+(荡y-绍1)2=5乐.…岛……则……拆……寒…1迈4分【失分络警示】(下文嘴①②泛③④旷见规耐范解鼓答过阁程)1.愧(2棵01晓3·镇江裕模拟)若点P(增2a畅,a趴)在圆(x侵-a揪)2+(障y+劳a)2=2篮5的内英部，那则实口数a的范冶围为__胖__演__外.【解析】由题污意可粒知(2纽奉a-裳a)2+(霉a+裙a)2＜25缓,即5a2＜25辩,∴答案粪：2.版(2蔽01激3·苏州娇模拟)圆心洁在y轴上余且通适过点(3，1)的圆骆与x轴相疮切，币则该材圆的希方程介为__泻__佩__梨.【解析】设圆命心为(0，b)，半旬径为R，则R=｜b｜，扭∴圆单的方雨程为x2+(安y-坑b)2=b2,∵点(3，1)在圆劳上，库∴9+狸(1慎-b觉)2=b2,解得b=贸5,炭∴圆的休方程约为x2+(宏y-慕5)2=2咬5.答案胖：x2+(租y-我5)2=2涌53.景(2甘01芝3·泰州状模拟)以直救线2x说+y色-8舱=0夹在逢两坐肃标轴展间的涂线段为直典径的合圆的拴方程津是__牛__蓄__亏.【解析】直线2x详+y劫-8故=0与两脊坐标您轴的字交点罪分别祸为(0，8)，(4，0)，∴姑圆心艺坐标妄为(2，4)，半晴径为∴圆的奥方程暴为(x解-2天)2+(竹y-掏4)2=2拾0.答案躬：(x服-2么)2+(寨y-蝴4)2=2被04.寻(2尘01惭3·宿迁胖模拟)已知耳圆心闯在x轴上锡，半惧径为都的郑圆O位于y轴左围侧，削且与净直线x+进y=0相切馒，则革圆O的方挣程是__可__叫__济.【解析】设圆躲心坐现标为(a，0)输(a＜0)，则钱由圆开心到唉直线行的距离舍为饲知茄故a=门-2颤,故圆O的方妈程为(x签+2粪)2+y2=2作.答案灭：(x银+2乔)2+y2=25.词(2跨01治3·南通围模拟)直线x-神2y按-2恰k=蕉0与2x租-3舒y-弓k=咽0的交声点在景圆x2+y2=9的外出部，岭则k的范畏围是__谜__广__萄_.【解析】由得又交终点在含圆x2+y2=9的外投部.∴(腊-4身k)2+(豪-3遣k)2＞9，即25伐k2＞9.解得答