历年考研数学二真题

1x1x1x

1411

1x2x0x2

1x

1xlim2

1x2

1~121 1x0 121 2 121 2110

lim1x10

11x11 1

1

2 注 1x0可求【详解3】采用1u 余项较简单.当u01u1u1u2ou2111x1x2ox21 81

x

1x2ox211 1 11x1x211x1x2ox2x原式= x

ox2lim x0 4曲线yx3x22x与x轴所围成的图形的面积A 【答 2 A0x3x22xdx2x3x2

x4x3

24 3 1 2

dx sin2【答】cotxlnsinxcotxx

dxlnsinxdcotxcotxlnsinxcot2sin2 cotxlnsinxcsc2x1cotxlnsinxcotxX设fx连续，则dxtfx2t2dt dx【答】xfx2【详解】令ux2t2dy当t0ux2当txu0 x2 dx

tfxtdtdx

fuduxfx2曲线yxlne1x0的渐进线方程 x

yxe

xlne1 1a limlne xblimyax 1 limxln x 1 lnex

xe yx1e设数xnyn满足limxnyn0,则下列断言正确的xn发散，则yn必发散若xn，则yn必有界xn有界，则yn必有无穷小1x 为无穷小，则yn必为无穷小xn【答】应选【详解】方法一：limylimxylim1n n

nx2k1,n2k1k1, 0,ny0,n2k1k1, 2k,n便排除了对于（C），若数列xn0yn可为任意数列，所以（C）项也不正确故应选fxx2x2x3x 【答】应选【详解】因为fxx2x2x3xx2x1xx1x1 fx的不可导点的个数为2. 已知函数yyx在任意点x处的增 y1x2,且当x0时， xy0（A）e4（B）（C）e4（D）【答】应选【详解】 yy1

y y x0得y' 2

x1 1解此微分方程并利用初始条件由y0,yearctan y1earctanxe4设函数fxxa的某个邻域内连续，且fa为其几大值，则存在0xaa时，必（A）xafxfa（B）xafxfaftf

0xt tftft

0xt【答】应选【详解 由题设，存在邻域a,a，使当xa,a时，fxfafxfa，axaxafxfaaxaxafxfa因此（A（B）不成立考虑到（C（D）两项中分母均大于零，而分子部分有tt

fafxA是任nn3阶方阵，A*k为常数k01，则必kA* （A） （B）kn1 （C）kn （D）k【答】应选【详解】方法一：AA*A*AA A*

AkA*kAkA1kn1Akn1

A1A1所以应选由A*的定义，设Aa ，其元素a的代 式记作A，则矩阵kAka ij ij若其元素的代 式记作iji,j1,

i,j1, ,从而kA*kn1x求函fx1xtanx在区间02内的间断点，并判断其类型4 35 【详解】tan 4

在区间0,2内不存在的点为x, , , 各点，fx在区02内的间断点是35

tanx

4即x , , , 各点 x4

tt4

fx在x 处4

t5t 4

fx故x 3

处，fx为第二类间断点在x 处4

t3t 4

fx在x

fx的可去间断点 ， 为fx的可去间断点 四、确定常数a,b,c的值，使limaxsin ccx0ln1t3txln1t3故lim

dt0因此btx0

ln1t3因若b0,则在0,b内， 0；tln1t3若b0，则在b,0内 t利 lim xln1 x0ln1

acos.2. a1，则上式为，与条件不符，故a11得c

2uucos【详解】方法一：

有uycosxxu'y'cosxysinu''y''cosx2y'sinxycosu'4u

xuC1cos2xC2sin2xx5

cos yC1cosxC2sinx5cosyusecy'u'secxusecxtany''u''secxu'secxtanxusecxtan2xusec3u'4u 六、计算积分 2 x【详解 2 x2 lim 14x 1214x 12 1limarcsin2x1 2 lim 0

1 x 1 1 limlnx x 1ln2

3

2 2 因 ln2 xx y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为kk0.试建立y与v所满足的微分方程，并求出yy【详解】取沉放点为原点O,Oy轴正向铅直向下，则由第二定律这是可降阶的二阶微分方程，其中v d2 dv

d2mdt2mgB.

v dt dy

mvdvmgBkv,

dy mgB

ymvmmgBlnmgBkv k|再根据初始条件 0,|mmgBC lnmgBkv,k2

ymvmmgBlnmgBkv k mg八、yfx是区间0,1上的任一非负连续函数试证存在x00,1,使得再区间0,x0上以fx0为高的矩形面积，等于再区间x0yfx为曲边的梯形面积 2f又设fx在区间0,1内可导，且fx x【详解（1）令xx1ftdt则x在闭区间0,1上连续，在开区间0,1x又010由罗尔定理知x0,1使x0'xxfx0 01

ftdt也 fx1（2）Fxxfxxft Fx在0,1内严格单调增加，从而Fx0的点xx0必唯一，故（1）中的一的xx xxx0则切点为x0 12x0y x12x0又因它经过原点，以点0,0代入2x01x0解 x0

x01，曲线y

y11x2 y12切点为2,1，由曲线段y 1x2绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积2S12

2y1y'2dx1

4x3dx52652

由直线y1x0 x轴旋转一周所得到的旋转面的面积2S221x 5dx 5SSS 5 1十、设yyx是一向上凸的连续曲线，其上任意一点x,y处的曲率为 线上点0,1处的切线方程为yx1，求该曲线的方程，并求函数yyx的极值.1

11y'2 y''1y'2曲线经过点0,1，故y01,又因在该点处的切线方程为yx1，即切线斜率为1，于y'01问题归结为y''1y'2 的特解 y'p,y''

y01,y0p'1p2p01代入，

arctanpC1Carctan1

yptan x4 4ytanxdxlncosx y01,代入C11ln ylncosx11ln ylncosx11ln2,x,3 44 3 当x 或x 时，cos x0,y xy4y11ln2十一、设x0,1，证明（1）1xln21x ln1 （1）令x1xln21x0'xln21x2ln1x2x,'01''x2ln1x1 2ln1 x 0,x0,11所以x

x00x0,xx0,1xln21xx2（2）令fx 1,xln1 f'x

1xln21xx2x21xln21由(1)知，fxx0,1时.于是推知在0,1内，fx单调减少.又fx在区间0,1上连f11ln

故当x0,1fx

1ln1

1x

1ln

fx

xln1xlimxln1ln1 故当x0,1

x02x1 fx 1ln1 十二、设2EC1BATC1,E4阶单AT4阶矩A的转置矩阵

B ,C 2 A

1 【详解】由题设得C2EC1BATE即2CBAT 由于2CB ,2CB1 12CB可逆 A2CB1T2CB

十三、已知1,4,02T,27,13T,0,1,1,aT3,10b4 （1）ab取何值不能由123线性（2）ab取何值时，能由123线性表示？并写出其表达式【详解】因为

3 3A

10 2 1 b 1 b

1 2 0 3