内招第二次概率

总结试验的所有可能结果已知随机现象的所有可能结果具有三特征的随机试验的所有可能结果为元素构成的集合样本空间中的元素，即试验的一个基本结果样本点:

样本空间随机事件定义试验中可能出现的情况叫随机事件,

随机事件：随机事件是由基本结果（样本点）组成的。

简称“事件”.记作A、B、C等.

一些样本点构成的集合

样本空间的子集

.事件发生中样本点出现①②发生必导致发生发生或发生即至少有一个发生,称为事件的和。事件之间的关系和运算P3③同时发生

称为事件的积④发生不发生

称为事件的差⑤若,则称互不相容(互斥)⑥,记为且若,则称互为逆事件或称为对立事件例：

它是事件固有的,不随人们主观意愿而改变。

概率是指刻划随机事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标

符合常情：事件发生可能性大,该值就大,反之就小;不可能事件的值最小(0);必然事件的值最大(1)。概率看起来什么样子？问题:,这个数量指标应该满足：①②③

相同条件下通过大量重复试验可以观察和检验。

频率

频率的统计规律性（概率的确定）

概率的统计定义P6-P7概率的统计定义

概率的基本性质频率是否有统计规律性设为一随机事件,在相同条件下进行

次重复试验令次试验中发生的次数称为事件的频数为事件的频率。在一次试验中可能发生也可能不发生一般地越大,则越大的值是“随机的”问？

频率频率的基本特征：实验者实例一出现正面

0.5005

12012

24000皮尔逊

0.5016

6019

12000皮尔逊

0.5069

2048

4048蒲丰

0.5181

1061

2048

德·摩根问有什么规律？“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛次，记频率的统计规律性(概率的确定)P6

0.4998

14994

30000

维尼“蒲丰投针试验”实例二记投针的总数为,针与平行线相交的次数为则？

考察英语文章中26个字母出现的频率，当观察次数较大时，每个字母出现的频率呈现稳定性，下面是

Dewey

统计了438023个字母得到的统计表实例三0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母

在充分多次试验中，事件的频率经常在一个定值附近摆动.

可将此稳定值作为事件A发生的概率，记作P(A)。设为一随机事件,在相同条件下进行

次重复试验令次试验中发生的次数称为事件的频数为事件的频率总结

试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.注：概率精确吗？P12

在充分多次试验中，事件的频率经常在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.

可将此稳定值作为事件A发生的概率，记作P(A)。定义概率有什么性质？问频率的性质：

概率的统计定义若是两两不相容事件,则有限可加性？频率的性质：设为一随机事件,在相同条件下进行

次重复试验次试验中发生的次数称为事件的频数为事件的频率

概率的基本性质性质2

P(S)=1

性质3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

这里事件个数可以是有限或无限的

.性质10P(A)1

概率的性质:若是两两不相容事件,则频率的性质：P12

概率的公理化定义概率仅的公害理化远定义即通过痛规定羽概率造应具雅备的崭基本财性质查来定设义概嫂率.19骨33年，型前苏貌联数恭学家迫柯尔灭莫哥愤洛夫堵给出而了概吼率的公理落化定宗义.公理2P(S)=衫1

公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

这里事件个数可以是有限或无限的

.公理10P(A)1

P1梢2由概避率的败三条慨性质睁，我仍们可爷以推祖导出喂概率独的若伞干运算性质.概率桌的定野义总结性质2P(S)=耽1

性质3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有

这里事件个数可以是有限或无限的

.性质10P(A)1

概率歼的运辜算性逼质概率烛的运香算性推质事件事件光的概巧率图形图形卷的面秤积集合必然董事件集合S注：P(S)=降1P1腿2-扩P1必4事件事件贵的概惯率图形图形战的面闹积集合P(S)=扁1

对任一事件A

，有。

设Ａ、B是两个事件，若

,则有。事件事件祸的概像率图形图形另的面渐积集合

对任意两个事件A、B，有

。

B事件萄解释匪为图召形概率涌解释嘉为图助形覆盖的面授积加法剑法则味（公嗓式）猛：事件粒互斥虹时:事件斜相容旨时:ABP1汇3

对任意两个事件A、B，有

。

B事件买解释嚼为图植形概率盼解释西为图欧形覆盖的面本积三个妇事件皆和的系概率火：P(A+钟B+乐C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)福+P(AB窗C)加法阵法则锹的推顾广：例甲参拴加有存奖问饼答竞裂猜活侨动，浊他能亚答出赠第一衰道题幻玉的概殿率是0.困8，能她答出末第二波道题幅的概怎率是0.酷3，两万道题乡丰都能摸答出党的概薪率是0.忧2，试剑求：（1）能答表出第菌一道骑题而谎答不离出第全二道斥题的言概率（2）至少失有一滨道题虫答不企出的银概率（3）两道亏题都抗答不厦出的钉概率已知？？0.枣80.环3（1）（2）（3）解：例.已知远事件A,珍B仅发汇生一却个的葱概率年为0.谷4，且P(村A)多+P壶(B尿)=间0.躁6,则A,租B至少浓有一漠个不原发生宅的概恐率是腰多少？例.已知P(社A)受=P墨(B或)=括P(莲C)爪=1淋/4兽,P灶(A港B)寇=0突,P煎(A雁C)钓=P足(B否C)夸=1冈/1恐6,则A,劲B,们C全不侨发生养的概煤率是徐多少伯？古典穷概率P7我们淡将要冻引入犯的计宋算概暂率的嗓一类纹数学浇模型慢，因揉为是宣在概瓣率论跪的发宇展过箩程中稻最早科出现衣的研物究对留象，杏所以正通常割称为古典掩概型古典姿概型（等礼可能戒概型猾）古典机概型姓中事越件概渐率的昼设定跪（计肺算）排列炕、组积合的轿几个而简单路公式古典绝概率惊计算偏举例古典购概率P7古典衬概型假定遍某个楼试验映有有捎限个咐可能猛的结阶果假定挂从该顺试验除的条水件及按实施技方法雷上去腰分析携，我乌们找奴不到横任何棚理由故认为辅其中妇某一钢结果抗例如ei，比任欠一其护它结往果，孩例如ej,更有拘优势.e1,e2,本…，en设={e1,e2,亩…en},得}.{}{}{21ne=PePePL==设={e1,e2,锁…en},得}.{}{}{21ne=PePePL==又由窗于基练本事副件两奏两互虑不相胖容；坑所以23479108615例一个社袋子贡中装捧有10个大监小、梯形状范完全铁相同进的球.将球念编号均为1－10议.把球左搅匀贸，蒙疗上眼天睛，访从中圣任取琴一球.1324567891010个球舞中的跃任一湿个被高取出甜的机殊会都俗是1/鹊10称这膝样一纱类随柱机试气验为古典严概型.称这禁种试智验为有穷买等可坑能随愧机试剥验或古典突概型.定义若随秀机试译验满窄足下凯述两晃个条天件：(1馅)它的垒样本溉空间汤只有极有限饱多个怒样本征点；(2绝)每个稍样本驼点出零现的注可能烛性相缓同.古典欢概型猪中事疗件概绣率的磁计算记A={摸到2号球}P(吩A)永=?P(曲A)五=1/她10记B={摸到回红球}P(胡B)迹=?P(毫B)株=6/条10223479108615132456=P(1)＋P(2)+必…+蜂P(6)这样楚就把孔求概群率问京题转腿化为计数花问题.定义（性勾质）设试瞒验E是古典蜡概型,其样本空阅间S由n个样但本点躬组成,事件A由k个样代本点俯组成.则事轿件A的概棋率为：称此陵概率虚为古典剪概率.这种膊确定胃概率忧的方尸法称为古典片方法.

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数基本计数原理加法辰原理乘法鞠原理基本计数原理加法涂原理设完骗成一膛件事邀有m种方式，第一盯种方径式有n1种方焰法，第二个种方猪式有n2种方笼法,…；第m种方翻式有nm种方病法,无论壮通过帆哪种停方法亦都可多以完屈成这暑件事雕，则完垄成这宾件事扛总共有n1+n2+招…齐+nm种方染法.例如袄，某耐人要躬从甲抹地到穴乙地旱去,甲地乙地可以冠乘火闲车,也可旗以乘系轮船.火车经有两回班轮船草有三热班乘坐导不同图班次都的火缎车和派轮船臂，共哨有几丸种方丸法?3+坐2种方愚法回答车是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.乘法烈原理设完齐成一培件事诵有m个步骤，第一灵个步泊骤有n1种方活法，第二泊个步垃骤有n2种方种法,…；第m个步骤有nm种方法,必须秘通过饥每一汗步骤,才算用完成披这件凶事，例如旨，若窄一个太男人旨有三泊顶帽孙子和是两件吊背心押，问滔他可雀以有芳多少森种打疾扮？可以有种打扮加法布原理宣和乘孕法原息理是心两个甲很重策要计狗数原务理，伴它们博不但宗可以蓝直接线解决衡不少币具体述问题经，同躺时也样是推圈导下炒面常渣用排锈列组缩慧合公独式的意基础.排列容、组怕合的贫几个搜简单秃公式排列渴和组痒合的粱区别黄：顺序巨不同宁是不同厕的排语列3把不税同的侨钥匙夏的6种排猪列而组错合不辰管顺序1个含夫有k个元绝素的胜组合堡对应累着k!个排决列排列耍、组帐合的盟几个蒸简单节公式排列组合组合众系数阻与二竭项式咬展开冤的关系

排列:

从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k钳=像n时称优全排每列排列爷、组璃合的脂几个怒简单装公式乘法降原理（不放神回抽泳取）从n个不雪同元电素取k个（允许愉重复或有放装回）（1到k貌n)的不词同排后列总啦数为：例如候：从销装有4张卡毫片的便盒中有放嘉回地堡摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=红43种可棕能取栏法

组合:从n个不同元素取

k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。1个含扯有k个元戴素的议组合清对应踩着k!个排肉列乘法梁原理组合系数

又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：组合封系数窜与二置项式忽展开筹的关还系令a=-娃1,b=1院,得利用亿该公甚式，纹可得耀到许遥多有锻用的桥组合仅公式食：令a=b=1料,得组合:允许瓶重复用的排衰列:排列:总结设试掏验E是古典票概型,其样株本空畜间S由n个样没本点胜组成议，事则件A由k个样悠本点耐组成.则事家件A的概辣率为：

A包含的样本点数

P(A)＝k/n＝

S中的样本点总数下面李我们挣就用欣这些恼公式锈来计鞠算.古典防概率疑计算企举例古典串概率致计算扒举例抽样贝问题（有部放回丝式）抽样老问题（无艰放回鹅）挡板艳问题抽签瓜问题几何别概型生日昆问题配对棚问题一类枪彩票一类福彩票盼：新不快赢48悄1组选24的中寄奖概步率：组选24的中否奖概权率：一次2元奖金株：19掌7返奖捐率：19胞7/叙34永0,约58母%。组选24的中傍奖概骄率：组选12的中迫奖概疲率：例设有N件产福品,其中炕有M件次励品,现从赌这N件中航任取n件,求其宏中恰钞有k件次阶品的汪概率.注：桃如无明说明搂，都熔是指的无放各回抽畅样.抽样颈问题（无辆放回枪）P1忙2注：叨抽样道与分羞配.次品正品M件次巡寿品N-宴M件正品例设有3个白四球，录2个额红球抬，现剖从中泉任抽2个球，袄求1）取快到一抬红一洗白的偏概率;2）取势到全睡是白溉的概粉率。解:1腔)设A--絮--贤-取到数一红见一白2)设B--楚--鞭-取到湖两白注：对于幻玉抽样眯问题型的概作率计拨算，按有纹次序孔（排列）或毯无次狠序（组合）结蛇果是扁一样检的。例:从有9件正第品，3件次昌品的蓬箱子串中任太取两腹次有放硬回抽吗样：剑每次后抽取调产品盒观察斩后放竹回抽样女问题钱（有麦放回汁）例:从有9件正洞品，3件次葡品的粉箱子律中任衫取两始次从12件中苦任取疮两次险，基滴本事捉件数穗为事件B