孙会元固体物理基础第三章能带论课件布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动

3.9布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动本节主要内容：二、

均匀磁场中自由电子的量子化理论三、德哈斯-范阿尔芬效应四、回旋共振方法一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动1.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动所以，在空间中，波矢满足：1).垂直于的方向2).(波矢的变化)垂直于的方向

说明电子沿着等能面运动

因而,在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动.说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量

自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆.(1)电子在空间的运动图象在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动以自由电子为例加以讨论：

kz保持不变,在

kx—ky面内做匀速圆周运动,回转的频率

(2)电子在实空间的运动图象电子在r

空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：相应的周期为：设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε+Δε两个等能面间法线距离。

如图：由得：

与比较可知：它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程两边用叉乘，得：所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L

的立方体,以它们的边长为x,y,z轴,外磁场平行于z轴且均匀.即：自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：：电子的运动学动量，：电子的场动量，：矢量势1.朗道能级则由于且

中不含x，z,所以它和算符及是对易的。根据量子力学，可选的本征波函数同时为的本征波函数。可令

这时波函数可以写成：代入方程得到:与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0的谐振子波动方程。谐振子能量回旋频率电子的能量由量子力学知从准连续的能量变成(n+1/2)c沿磁场B方向,电子保持自由运动,相应的动能为

在与磁场垂直的kz＝常数的平面内,轨道是量子化的.这些量子化的能级称为朗道能级。在垂直磁场的x-y平面上,电子的运动是量子化的电子的能量因此，电子的能量从准连续的能谱变成一维的磁次能带如图,每个磁次能带是一条抛物线,开口向上.磁次能带的能量极小值是：由于能量—波矢关系的改变,在k空间描写状态的代表点的分布也改变了.在没有外磁场时,状态的代表点在平面是均匀分布的,每个代表点占据的面积为：在有外磁场B时，平面上的能量变为：变成了谐振子，其中心位置在,代表电子的平均位置,可以位于晶体中不同的地点。所以：这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简并度。可知,当n等于某整数时,在平面内是一个圆环,称为朗道环.两个相邻圆环之间的面积为：是一个正比于外磁场的常量

在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：即简并度。包含了所有的简并态。加了于外磁艇场后，这造些代表漆点都井聚合出到了喉圆周唯上。无外磁场

有外磁场由于沿磁场方向仍准连续变化,所以在三维k空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，最后形成所谓的朗道管。n一定察，电口子的衫能带奴是一嫌条抛士物线最，n=0是最丝式低的柴次能缺带，n增加融，次膜能带康向上曾移，嘉如图缘瑞给出询磁次病能带兽的简既图。如图呼所示控，在波矢殃空间形成泰一系翻列“圆柱条面”，每凤一个搜圆柱掘面对看应一区个确蔽定的押量子撕数n，可以栋看成寨是一卫个子旷带，李在每益一个蒜子带针中只有罚一维权自由鲜度kz。电子涂的能湿量由准连爬续的量能谱变成踪蝶一维蝴的磁次稍能带。n=3n=2n=1n=0B=00自由电子在磁场中的能量不同枣的y0并不蹲影响帖谐振尤子的朵本征埋值，而y0又依挂赖于沸波矢编分量kx，因此摔不同抵的状植态可绘能会抹是简御并态房诚。其简俊并度宝是多树少呢扛？2.宾朗道扛能级吨简并惯度该范序围内同的波矢搜数为：朗道窝能级员简并缸度(考胆虑自蜘旋)：此简欢并度没与磁率感应轿强度B和晶多体在奥垂直只于磁敲场方淋向的朵截面影积成得正比词，与迷能级晋序号耻无关泰，即辰无论n为何冠值，栽简并症度不蜓变。有外磁场无外磁场

在恒暑定磁纷场下羡形成闭朗道匆能级扣，实盒际上醒只是疼量子砖态的木一种径重新冤分布予，量侍子态盟的总必数是撑不变限的。3.布洛膀赫电牛子的她轨道愉量子枯化对于喜布洛朵赫电宰子，瘦电子沉的半旷经典走闭合舒轨道辜将按渠玻尔验量子肝化条缎件来韵量子宣化。公即：可以绘证明槐：布淡洛赫愁电子怒的闭剖合轨桑道在k空间墨所围抹面积冲也是轻以这与自由电子相同,相邻闭合轨道的能量差为:三、节德痛哈斯逼-范包阿尔闯芬效浅应(d舞e连Ha轻ss坏-V妥an顽A按lp特he策n蜻ef槐fe岔ct范)德哈逆斯-范阿耍尔芬昆效应,是19灶30年de易H文as候s和Va寻n唯Al脱ph贱en在低篇温、军强磁虎场中率研究铋单液晶的愈磁化夸率时发蝇现的.他们掠发现,低温刻下强舌磁场衣中金榴属的扎磁化酿率随扶磁场东倒数(1控/B)周期脖性振前荡,人们纠把这卧种现搂象称崭为德哈遵斯-范阿术尔芬趋效应.后来,人们绝进一旱步研捷究发柏现,电导祸率、档比热等物斯理量徒在低踩温下晃强磁睁场中福也有姿类似厦的振责荡现月象,这些次现象蒙同金热属费米拒面附近亲电子伙在强植磁场勤中的贫行为回有关,因而它是此研究退金属笨费米连面的带一种习有力驾工具僻。在磁叔场中,电子煌的能另级形渡成一妖系列丙高度骨简并餐的分诵立能袖级,类似迷于简夺谐振胁动的陷能量肢量子江化,使得康电子丢气系乒统能迫量随铃磁感处应强擦度发焦生变唐化,从而互导致止磁化机率随伸磁场询的振可荡.这就愁是产著生德哈穗斯-去范阿庙尔芬逼效应铁的原乖因下面碗我们殖以二维贞自由稍电子难系统为例丽对德哈掉斯-汪范阿颂尔芬删效应进行坛简单降说明毁。由于扔绝对描零度推时，蚕电子蠢系统管的最化高能形量为费米境能量，它廉所包浇围的兆面积捆就是距费米臣圆的六面积柴。加上箱磁场废后,费米绸圆内视的状晨态收红缩到仓朗道嘱环上,但总状瓣态数津目不辟变.外磁菌场B的变切化,将引萝起朗多道能饥级间企距的仪变化.因此监，总能联够通镰过改努变磁亏场的延大小，使扒得费搬米园叼内的哲状态恰好除填满白某一遥朗道盲能级。磁场纪增大,朗道惹环上奋的简珠并度旱增加,而总凉电子仓态数壮目一申定,所以,随着酷磁场锯的增底大,电子嗓对应虽的填满膨的朗蓝道能杜级的以级次胞变小,即n变小.图3.马32朗道寨能级县填充软状况您随磁场北增大的变盏化随着脂磁场暗连续社变化定，相邻小两个葵系统泡能量草增量劲为零揭的范假围对应照一个洞能量组周期。如果开以电骄子系友统能宰量增杨值为秆零的谜两个乞相邻屯1/B值之搂差，书表示久系统遍能量跟变化阵的周闹期.抹则：由于龄对二气维自裂由电套子系离统：为常串数。所以螺，系统盘能量想变化瓦的周刃期为：由于港系统碰的磁捏化强牌度和吩单位足体积薄的自由闭能满足集：亦即和磁苹场垂碗直的生费米肃圆面昆积随定周期响的变丘化而诉变化，周作期大毫，则师对应盘费米牺面积森小。所以,系统矩的磁筋化率最也将装以1/管B为变蹄量振柱荡。所以,磁化妙强度撕将以1/B为变砌量振志荡.由于雪系统竖的磁颤化率西为：系统狠的磁晶化率槐随1弟/B变化炊的周最期也茄将是滑：在低温下，从实验上测出随1/B变化的周期，便可确定,即垂直磁场方向的费米面的极值面积。因而，只要从实验上测定磁化率在不同方向上随1/B的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的形状。对于侍二维奋自由匆电子坦系统抵,朗道撒能级伞简并腰度：小结仗：所以探,磁矿场B增大果,则云朗道中能级凶的简闭并度称变大止,也博就是迁每一旦朗道情能级恶上电毯子数摄目变赏多.假如场,当塞磁场B=冷B1时,胆电子耀恰好找填满暗了n-菜1个朗崖道能萝级;敢而磁畜场B=薯B2时,叨电子宝恰好切填满设了n个朗冠道能陶级;董则B2〈B1塞,磁场B越强粗,则N个电条子所罩需占同据的饲朗道漆能级铜的级密次越晌小.每当点调节瓶磁场据恰好填满盲一个行级次毛,则齐相应省能量燥增量范为零蛮;而当一个抖级次迫的能拥量恰商好和爆费米挥能量何相等拦,则绿相应落能量袖增量吵最大牧.两哨次最榆大或主最小咽间相谱应的Δ(1/丧B)即为望所求涉的周腾期.对于焰三维缝情况顾，我雅们不缠再讨恢论。总之,对于自由电子系统,磁场的引入,导致系统能量增大,能量的增量依赖于这就跨导致乳能量钞增量懒随1肚/B发生忙周期缘瑞性变叮化,枣从而厘导致督磁化瓶强度我或磁绕化率麦随1堪/B发生船周期滚性变耕化.变化的周期决定于费米面在垂直磁场方向的最大截面(称为极值截面,测定磁场沿各种不同晶向时德哈斯-范阿尔芬效应的周期,便可确定沿不同晶向的极值截面面积,从而勾画出金属费米面的形状.变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面的关系为：四、份回鸡旋共散振方刚法(cy巧cl蠢ot楚ro烟n疑re声so箭na沉nc吴e)在恒墨定外递磁场今作用室下,镰费米丸面上雪由一挖个电喘子的k矢量宏所描留绘的捕轨道时,就育是费逼米面下与一病个垂阳直于B的平钞面的丹交线替.对同于一桶个闭好合轨伟道,伞具有胡确定肝的回旋震频率冬：这是带所有激研究立费米斧面方苏法的壶核心魄.回旋醋共振时实验状,是在施捎加磁慢场的瓜同时葛,在算垂直哨磁场猜方向器加上彻频率凝为的微文波场结,通缩慧过与谋微波苹场的霉共振摩来观德察回旋耗频率c.实际障上的资程序唇是保乒持微波挡场的频率不变蓄,而改堵变磁灯场的州大小貌,当=c时,南微波迁场的艇能量究将迅特速被血电子懒共振烦吸收作，从怎一个朗道扫能级致跳到你另一己个高影能量唱的朗懂道能田级上塔.这线样,件测量鸡磁场训与微波垄吸收各功率挤的关钟系曲捞线,售就可饿得电陆子沿闭合冤轨道继运动仰的回旋频率c.进复而得判到电子由的有纳效