三角形内角和的证明

我的课堂2021/5/91八年级数学（上册）

第五章几何证明初步5.三角形内角和定理（1）授课人：张华之2021/5/92一、复习“三角形内角和定理”

我们已经知道：三角形的三个内角之和等于180゜。即：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180゜ABC2021/5/93二.论证“三角形内角和定理”

怎样验证三角形的三个角的和等于180°呢？2021/5/94②剪拼①度量③折叠AABBCAABBCAABCABC2021/5/95

即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就可得∠ACB和∠1和∠2组成了一条直线，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说明∠A+∠B+∠C=180゜了。

你试过了吗？.

在前面我们是采用拼接的方法来说明的。2021/5/96组成的BC和CD真的就是一条直线吗？很明显，这是无法确定的2021/5/97

如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证∠A+∠B+∠C=180゜呢？2021/5/98

三角形内角和定理的证明

2021/5/99言必有“据”

回顾与思考☞我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?1ABD2C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.2021/5/910“行家”

看“门道”已知:如图,∠A、∠B、∠C

是△ABC的三内角.求证:∠A+∠B+∠C=1800.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则

你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.

∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),

∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D例题欣赏：2021/5/911剪拼AABBCAABBCAABC2021/5/912一题

多解在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?议一议请你帮小明把想法化为实际行动.证明:过点A作PQ∥BC,则ABC

∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),

∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),

又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.PQ2312021/5/913ABC已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°开启智慧还有其他证明方法吗？2021/5/914ABC证明：过A作AE∥BC，E∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)开启智慧2021/5/915）A证明：E作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，则CE∥BA(内错角相等，两直线平行).∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).）12又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)BCD2021/5/916ABCPQR证明：过点P作PQ∥AC交AB于Q点，作PR∥AB交AC于R点2021/5/917

即时练习☞

1.在△ABC中，∠A=80°，∠B=60°则∠C=

2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠B=

3.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则∠B=

4.已知：如图，则∠A等于（）

A.60°B.70°C.50°D.80°

2021/5/918

即时练习☞⑸如图所示,∠B=∠D,则∠AED与∠ACB的

关系是()

A.∠AED>∠ACBB.∠AED<∠ACB；

C.∠AED=∠ACBD.无法确定

⑹.下列叙述正确的是()

A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；

B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；

C.三角形中至少有两个锐角；

D.三角形中至少有一个锐角.2021/5/919

7.已知：如图，四边形ABCD.

求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.D

即时练习☞ABC2021/5/920

我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一