相似三角形知识点总结及练习题

第27章相像三角形知识点总结比率线段的相关见解：在比率式ac(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，bdb、d叫后项，d叫第四比率项，若是把线段AB分红两条线段AC和段AB的黄金切割点。比率性质：

b=c，那么b叫做a、d的比率中项。2BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金切割，C叫做线平行线分线段成比率定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率，如图：l1∥l2∥l3。②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比例。③定理：若是一条直线截三角形的两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边。相像三角形的判断：①两角对应相等，两个三角形相像②两边对应成比率且夹角相等，两三角形相像③三边对应成比率，两三角形相像④若是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角形相像⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延伸线）订交，所组成的三角形与原三角形相像⑥直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相像相像三角形的性质①相像三角形的对应角相等1②相像三角形的对应边成比率③相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角均分线的比都等于相像比④相像三角形周长的比等于相像比⑤相像三角形面积的比等于相像比的平方相像三角形基本知识(一)比率的性质比率的基本性质:比率式化积、积化比率式.acadbcbd合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.acakbckdbd(k=1d、2、3)b应用:已知ac,求证:accbdabd证明:∵ac∴bd∴abcd∴acbdacacabcd等比性质:分子分母分别相加，比值不变.若acem(bdfn0)则acema.bdfnbdfnb4.比率中项:若ab即b2ac,则b是a,c的比率中项.bc(二)平行线分线段成比率定理1.平行线分线段成比率定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.已知l1∥l2∥l3,DlBElCFl

123可得ABDE或ABDE等.BCEFACDF推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延伸线)所得的对应线段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：ADAE或BDEC或ADAE.此推论较原定理应用更为广DBECADEAABAC2泛,条件是平行.推论的逆定理：若是一条直线截三角形的两边(或两边的延伸线)所得的对应线段成比率.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比率式证平行线)定理:平行于三角形的一边,而且和其他两边订交的直线,所截的三角形的三边与原．．．．．．．三角形三边对应成比率.．．．．．(三)相像三角形1、相像三角形的判断①两角对应相等的两个三角形相像(此定理用的最多);②两边对应成比率且夹角相等的两个三角形相像;③三边对应成比率的两个三角形相像;④直角边和斜边对应成比率的两个直角三角形相像.2、直角三角形中的相像问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像射影定理：

.CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有宽泛的应用）.3、相像三角形的性质①相像三角形对应角相等、对应边成比率.②相像三角形对应高、对应角均分线、对应中线、周长的比都等于相像比

(对应边的比).③相像三角形对应面积的比等于相像比的平方.4、位似图形:若是两个图形不只是相像图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相像比又称为位似比.特别提示：①是特其他相像图形，拥有位似中心；②位似图形上随意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相像比.中考试题分类汇编相像三角形一、选择题1、如图1,已知AD与BC订交于点O,AB//CD,若是∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（）A.60°B.70°C.80°D.120°CDAODEABBC3图12、如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上的点，DEBC,且SADES四边形DBCE1那么AE:AC等于（）A．1:9B．1:3C．1:8D．1:23、图为ABC与DEC重迭的状况，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB//DE。若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？()(A)3(B)7(C)12(D)15。4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的表示图,点P处放一水平的平面镜,光芒从点A出发经平面镜反射后恰好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A、6米B、8米C、18米D、24米5、如图，△DEF是由△ABC经过位似变换获得的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1:6B．1:5C．1:4D．1:26、给出两个命题：①两个锐角之和不用然是钝角；②各边对应成比率的两个多边形必然相像．()A．①真②真B．①假②真C．①真②假D．①假②假7、如图2所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）A.1B.2C.3D.3222348、如上图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，获得△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:49、如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若BC6，则DE等于A．5B．4C．3D．2ADEB题C第410、已知△ABC∽△DEF，相像比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2B．3C．6D．5411、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（）A.xB.4x712x12x3C.D.

A2

DC552525

EPB12、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则a,b,c知足的关系式是（）A、bacB、bacC、b2a2c2D、b2a2c113、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三均分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）AＡ．1Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．4EH9939FGBC（（第13题图）514、以下四个三角形，与左图中的三角形相像的是（（第7题）A．B．15、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8则树的高度为（）A、4.8米B、6.4米C、9.6米二、填空题1、如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行，当知足条件（写出一个即可）时，ADE∽△ACB．2、若是两个相像三角形的相像比是1:3，那么这两个三角形面积的比是．3、如图5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，若是BE2，BC3那么BF．FD

）C．D．米，一棵大树的影长为4.8米，D、10米ADEBCADFBEC图5C4、在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相像三角形是和；并写出它的面积比.ABD5、如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OBBB3上，且AB∥AB∥AB，AB∥AB∥AB．若△ABB，1122332132432124B2△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和B11OA1A2A3A4A为．（第5题图）6、两个相像三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．7、如图8，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使A△AED∽△ABC的条件是．DEBC图868、如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=ADEBC（第12题）9、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE5，则BC的长是．10、如图3，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．图3三、解答题1、如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的均分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.1）求证：EF∥BC.2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.2、如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的随意一点，连结AP交BC于点E,连结BP交AC于点F.(1)证明：∠CAE=∠CBF;(2)证明：AE=BF;(3)以线段AE，BF和AB为边组成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为SABC和S,若是存在点P,能使得S=S,求∠C的取值范围。△△ABG△ABC△ABG7CFEPAHB3、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG,AE与CG订交于点M，CG与AD订交于点N．求证：（1）AECG；（2）ANDNCNMN.4、如图，在Rt△ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y对于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；ARDPEBCHQ5、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）请写出图中各对相像三角形（相像比为1除外）；ADORP8BCE2）求BP:PQ:QR．6、如图，□ABCD中，E是CD的延伸线上一点，BE与AD交于点F，DE1CD。2⑴求证：△ABF∽△CEB;⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

EAFDB第21题图C7、如图，在平面直角坐标系中，点C(3，0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且知足OB23OA10．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，可否存在点P，使以点A，B，P为极点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明原因．yBxCOA8、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分9别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q抵达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答以下问题：1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明原因；2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为什么值时，△APR∽△PRQ？9、如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．1）求证：ADE∽BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．10.如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE订交于点F，BC与AD订交于点G.1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明原因2）若是∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比率中项吗？为什么？相像三角形（基础训练）10一、选择题（每题2分，共30分）1.ac）已知，则以下式子中正确的选项是（bdA.a:b=c2：d2B.a:d=c:dC.a:b=(a+c):(b+d)D.a:b=(a-d):(b-d)2.一个体育场的实质面积是6400m2，那么它在比率尺1:1000的地图上的面积是（）2B.640cm2C.64cm2D.8cm23.测得线段AB=2.8m，CD=310cm，则线段AB与CD的比为（）A.2.8B.310C.28D.313102.831284.已知线段d是线段b、c、a的第四比率项，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d等于（）A.1cmB.10cmac5.①若是线段d是线段a、b、c的第四比率项，则有；db②若是点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比率中项；③若是点C是线段AB的黄金切割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比率中项；④若是点C是线段AB的黄金切割点，且AC>BC，AB=2，则AC=.51其中正确的判断有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，DE∥BC,在以下比式中，不能够建立的是（）A.ADAEB.DEAEC.ABACD.DBABDBECBCECADAEECAC7.以下列图形中相像的多边形是（）A.所有的矩形B.所有的菱形C.所有的正方形D.所有的等腰梯形8.以下判断中，正确的选项是（）A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相像；B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相像；C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相像；D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相像.9.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则△ABC中相像三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10.点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC=（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:√211.abbccak(a、b、c都是实数)），则k=（cabA.2B.-1C.2或-1D.无法确定12.以下说法正确的选项是（）两位似图形的面积比等于位似比；位似图形的周长之比等于位似比的平方；C.分别在△ABC的边AB、AC的反向延伸线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；A.B.C.D.11位似多边形中对应付角线之比等于位似比13.若是一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，另一个与它相像的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A.只有1个B.能够有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则CD的长为()A.1B.3D.5C.22215.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，则AC:BC的值为（）A.9:4B.9:2C.3:4D.3:2二、填空题（每题2分，共20分）16.若b8，abaab3则,_____.a=bb17.若是x:y:z=1:3:5,那么x3yz_____.x3yz18.E、F为线段AB的黄金切割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精准到0.1m）.20.两个相像三角形对应高的比为1:√2,则它们的周长之比为_____;面积之比为_____.21.△ABC的三边长分别为√5、√10、√15，△A的'两B'边C长'分别为1和√2，若是△ABC∽△，那么A△'B'C'的第三边A长'B为'C'.如图，在平行四边形ABCD中，延伸AB到E,使AB=2BE，延伸CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H.则S△BEG:S△CFG=______.如图，AB是斜