初中数学人教八年级上册第十二章全等三角形-角平分线的性质 -

前言学习目标1.理解并掌握角平分线的性质定理，会用三角形全等的知识证明。2.能运用角平分线的性质定理解决实际问题，并能灵活运用。重点难点重点：利用尺规作已知角的平分线。难点：角的平分线的作图方法的提炼。ADBC平分角的仪器(其中AB=AD,BC=DC,四边可活动)将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线。你能说明它的道理吗？EADBC△ABC≌△ADC(SSS)∠BAC=∠DAC思考已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线。画法：以Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ。

画射线ＯＣ，射线ＯＣ即为所求。AＢＯＭＮＣ思考AOBEDPC你能用三角形全等证明PD=PE吗？在∠AOB的平分线OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE的长度，它们相等吗？猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。思考AOBEDPC已知∠AOC=∠BOC,PD⊥AO,PE⊥OB求：PD=PE.在∠AOB的平分线OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE的长度，它们相等吗？证明：∵PD⊥AO,PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE

{思考一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证。2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证。3.经过分析，找出由已知推出要证的结论和途径，写出证明过程。小结角的平分线上的点到角的两边的距离相等。用符号语言表示为：∵OP平分∠AOBPD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.AOBEDPC12角平分线的性质AOBEDP已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为Ｄ、Ｅ，PD=PE求证:点P在∠AOB的平分线上．证明：经过点Ｐ作射线OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中

OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠AOC=∠BOC∴点P在∠AOB的平分线上。C如何判断一个角内部的点在这个角的平分线上？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用符号语言表示为：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴∠1=∠2.AOBEDPC12角平分线上的点的判定已知结论小结①角平分线上的点②这个点到角的两边的垂线段③这两条垂线段相等判定性质③这两条垂线段相等②这个点到角的两边的垂线段①角平分线上的点例1：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ＡＣＰＤＦＥＭＮB证明：过点Ｐ作ＰＤ，ＰＥ，ＰＦ，分别垂直于ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，垂足分别为Ｄ，Ｅ，Ｆ。∵ＢＭ是△ＡＢＣ的角平分线，点Ｐ在ＢＭ上．∴ＰＤ＝ＰE同理ＰＥ＝ＰＦ∴ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ即点Ｐ到三边的距离相等。课堂测试2.在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。EDCBA解：∵∠C=90°∴AC⊥CB∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB，AC⊥CB∴CD=DE=3∴BD=BC-CD=4课堂测试3.如图，∠AOB=60o，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠OCD=

.ODECAB60o课堂测试4.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在