医学信息学：主成分和因子

主成分分析和因子分析

PrincipalComponentsAnalysis&FactorAnalysis深圳市医学信息中心宗文萍2023/5/212学习目标主成分分析和因子分析的基本原理

主成分分析和因子分析的异同主成分分析和因子分析的数学模型用SPSS进行主成分分析和因子分析对实际问题进行综合评价2023/5/213主成分分析和因子分析第一节主成分分析第二节因子分析2023/5/214第一节

主成分分析

PrincipalComponentsAnalysis2023/5/215什么是主成分分析？问题的提出：

在各个领域的科学研究中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多个变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息，但许多变量之间可能存在相关性而增加分析问题的难度和复杂性，对分析带来不便。如果分别分析每个指标，分析又可能是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。2023/5/216什么是主成分分析？

因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础是上对所收集的资料做全面的分析，用较少的新变量代替较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。

2023/5/217定义：

从多个数值变量（指标）之间的相互关系入手，利用降维的思想，将多个变量（指标）化为少数几个新的互不相关的综合变量（指标）的统计方法。主成分的概念由KarlPearson在1901年提出考察多个变量间相关性一种多元统计方法从数学角度来看，这是一种降维处理技术什么是主成分分析？2023/5/218主成分分析的目的：数据的压缩、结构的简化数据的解释这种既减少了指标的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问题的分析和处理。

什么是主成分分析？2023/5/219主成分分析的基本思想

（以两个变量为例）对这两个相关指标（变量）所携带的信息（在统计上信息往往是指数据的变异）进行浓缩处理。假定只有两个观测指标x1和x2，从散点图可见两个指标存在相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠。如果把两个指标用一个指标来表示，同时这一个新的指标又尽可能包含原来的两个指标的信息，这就是降维的过程。2023/5/2110主成分分析的基本思想

（以两个变量为例）将坐标轴x1、x2同时按逆时针方向做一个旋转，就得到新的坐标轴y1、y2，使得在新的坐标平面上，这n个点的分布基本不再具有相关性。变异主要集中在y1方向上，而在y2方向上则变异较小。若取y1作为第一主成分，则y1就反映了原始指标x1、x2所包含的主要信息。这样也就把原来的两个指标变量降维成了一个指标变量。y1、y2坐标轴长短相差越大，降维也就越合理。2023/5/2111主成分分析的基本思想

（以两个变量为例）每个变量都有一个坐标轴，所以有几个变量就有几个主轴。首先把各个主轴都找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量，这样，降维过程也就完成了。多维变量的情形类似。找出的这些新变量是原来变量的线性组合，叫做主成分2023/5/2112主成分分析的数学模型主成分分析的数学模型aij为线性相关系数，称为载荷(loading)。比如，a11表示第1主成分和原来的第1个变量x1之间的相关系数。数学上的处理是将原始的p个变量作线性组合，作为新的变量。设p个原始变量为，新的变量(即主成分)为，主成分和原始变量之间的关系表示为2023/5/2113

选择几个主成分？在统计上，主成分所代表的原始变量的信息用其方差来表示。因此，所选择的第一个主成分是所有主成分中的方差最大者。如果第一个主成分不足以代表原来的P个变量，在考虑选择第二个主成分，依次类推。这些主成分互不相关，且方差递减。主成分的选择2023/5/2114如果原来的变量之间的相关程度高，降维的效果就会好一些，所选的主成分就会少一些，如果原来的变量之间本身就不怎么相关，降维的效果自然就不好。不相关的变量就只能自己代表自己了。主成分的选择2023/5/2115

选择标准是什么？以累积贡献率来确定：当前k个主成分的累积贡献率达到某一特定的值时（>70%）,则保留前k个主成分。以特征值大小来确定：若主成分yi特征值≥1，则保留yi，否则就去掉该主成分。

累积贡献率：前k个主成分的方差（变异）和在全部方差（变异）中所占比重。特征值：反映相应主成分的方差大小。主成分的选择20薄23筝/5萄/1裙816对原迟来的p个指阳标进链行标键准化灾，以锤消除身变量霞在水刑平和勉量纲盆上的址影响根据遇标准幕化后另的数齿据矩管阵求集出相抽关系欲数矩烘阵求出盼协方步差矩脑阵的戚特征抖根和汗特征叫向量确定排主成奖分，纯并对投各主殿成分妹所包外含的测信息姻给予膝适当天的解疏释（注必：计撞算方并法和截计算膛公式齐略）主成忽分分确析的惹步骤20值23贵/5地/1洪817主成迷分分惊析（SP舅SS实例廉分析娇）【例】根据续我国10个省尼市自佣治区且某年处的10项主得要经掉济指熊标数港据，吗进行聚主成选分分俱析，浓综合翅评价条各省娇市的泳经济扬水平暗并进私行排裤序20惭23昼/5晋/1找818用SP哥SS进行哀主成冤分分膝析10个地熔区的10项经雷济指乌标一、促数据唇标准义化第1步选择【A殖na乌ly妨ze镜】下拉阶菜单壁，并誓选择【D剂es袄cr派ip赶ti蔬ve逝S永ta拨ti蜓st求ic还s-卸D粪es而cr遗ip抢ti睡ve蛮】，进阁入主罪对话代框第2步在主雁对话炉框中辩将所物有原省始变膏量选甩入【V丛ar队ia涝bl翼es搞】第3步在【S翅av嗽e弦st责an理da蹄rd在iz模ed疑v恒ab羞lu只es燥a胳s川va到ri然ab留le想s】提示平框钱田打钩孤，点缴击【O穗K】（在门实际毁应用早中，扫往往盟存在简指标丹的量西纲不牺同，朝所以蒸在计辅算之疏前须竭先消都除量尚纲的精影响熟，而身将原核始数鼠据标脂准化毅）20贫23酷/5希/1恰819用SP悠SS进行样数据验标准奥化20滋23怀/5香/1趣820用SP逝SS进行公数据浴标准松化20苦23搞/5识/1滩821用SP芒SS进行醒数据践标准窑化原始变量标准化后的变量20火23艺/5渡/1殖822用SP索SS进行剪主成局分分制析10个地绘区的10项经缩慧济指品标二、竟主成冲分分隐析基拿本操挪作第1步选择【A颤na罩ly蹦ze换】下拉蜜菜单爆，并肌选择【D努at健a劣Re淘du夏ct鹊io衡n-弄F推ac香to歼r】，进垂入主崇对话泼框第2步将所造有标未准化业后的条变量造选入【V姻ar泉ia佳bl旧es肾】第3步点击【D慈es醒cr引ip咬ti汉ve脂s】，在【c荐or虽re槐la柜ti卷on崭M裤at什ri扎x】下选舒择【C蒙oe县ff尝ic娘ir养nt挨s】、【疯KM坝O朱an斯d进Ba仇rt灾le健tt病’s欧t示es聋t辫of填s竖ph漆er指ic亮it怀y】，点来击【C已on玩ti替nu救e】第4步点击【E抵xt俱ra扒ct化io育n】，在【M忆et捞ho舌d】下选驾择【P子ri宪nc冠ip咏al纯C计om详po奸ne坝nt这s】，在【D宿is遭pl黎ay陡】下选嗽择【S锣cr唤ee探P不lo校t】，点晕击【C重on物ti姓nu苹e】第5步点击【R秃ot投at络io转n】，在【D屑is宇pl柳ay比】下选化择【L炒oa应di乎ng嘱P茧lo穴t】，点把击【C瓦on妨ti廉nu柜e】第6步点击【S培co劫re训s】，选部择【D饱is岔li株ay猫f球ac坏to含r陷sc糟or佩e党co忍ef射fi捆ci帮en害t蜘ma锄tr缴ix熊】，点竟击【C长on镜ti命nu炉e】回到茅主对迈话框介，点升击【O纹K】20协23化/5斗/1棉823用SP训SS进行海主成絮分分针析20主23殖/5勾/1泻824用SP击SS进行江主成渠分分润析20鹿23朵/5位/1门825用SP增SS进行铅主成璃分分略析20概23鲁/5度/1肆826用SP吵SS进行惧主成叨分分拔析20注23偏/5孔/1谜827用SP矮SS进行湖主成曾分分薪析20甩23技/5节/1破828用SP帮SS进行鲜主成循分分题析20炉23怜/5晌/1酱829SP摊SS的输锋出结定果20钢23键/5挨/1闭830SP村SS的输劲出结另果各变婆量之蹄间的房诚相关庭系数速矩阵变量喉之间稻的存宫在较素强的殖相关探关系敲，适员合作授主成爪分分逗析20普23流/5场/1淹831各主扭成分笔所解招释的评原始极变量至的方隙差SP雹SS的输练出结线果（选属择主懂成分胸）该表郑是选每则主甜成分枯的主阴要依她据（貌特征细值&累积洗贡献样率）特征睬值贡献矿率累积奔贡献榆率20铺23旅/5森/1阁832“I泊ni供ti篮al胃E现ig酿en爸va化lu党es章”(初始估特征轮值)特征岗值反俩映了晒主成租分对属原始浇变量很的影肚响程带度，闸表示弄引入祖该主引成分捏后可梦以解紫释原钓始变越量的厌信息特征允值又鸽叫方差，某害个特何征值悲占总散特征虫值的水比例疾称为主成拴分方陪差贡寺献率比如辱，第则一个洽主成会分的馅特征招值为7.屈22碍0，占坡总特倾征根桥的的筑比例(方差派贡献半率)为72泊.2珠05食%，这路表示少第一竞个主遭成分洽解释浆了原糕始10个变气量72冤.2烦05梦%的信挑息，奥可见粪第一网个主刃成分狮对原辈来的10个变斑量解紫释的踏已经朋很充抱分了根据疮什么姻选择翻主成络分？20险23泄/5轿/1据833根据北主成除分累照积贡暮献率一般落来说骑，主湿成分箩的累汪积方疲差贡渣献率≥70铜%以上陵的前兔几个载主成岁分，努都可罩以选珍作最雄后的摧主成币分根据嘴特特员征根字的大态小一般逐情况缺下，裳当特奖征根<1时，辉就不馒再选亏作主隙成分谱了，池因为文该主半成分供的解污释力评度还机不如披直接异用原店始变痛量的治解释猛力度穷大表中收除前亮两个职外，傻其他短主成魄分的造特征羽根都<1。所贺以SP春SS只选洲择了快两个省主成低分就本容例而护言，淹两个侄主成吴分就晒足以辟说明贤各地涌区的票经济咳发展靠状况涉了主成锋分选嚼择标冒准20双23避/5违/1评834各主罚成分己所解方释的颤原始忘变量丛的方甜差SP厘SS的输焰出结尚果（选渠择主馅成分诵）该表芒是选鱼则主掌成分夏的主则要依杜据（尘特征莫值&累积敏贡献相率）20杜23恩/5网/1陶835SP腾SS还提错供了鹊一个很更为束直观扁的图硬形工惧具来愿帮助愿选择柄主成织分，驶即碎含石图(S蔑cr得ee甜P议lo递t)碎石么图用跃于显轨示各慈主成仙分的土重要尘程度核，横统轴为非主成群分的薯序号骂，纵唱轴表脏示特将征根跃的大姨小实践烧中，引选择裳碎石姑图中商变化刺趋势浪出现补拐点印的前秀几个嘴主成奇分作超为原是始变阻量的祸代表骂，该磁例中漏选择败前两落个主咏成分昂即可根据忧什么袭选择泽主成境分？（Sc悔re贝e聪Pl裕ot）拐点20遭23棒/5腾/1钉836怎么尺解释蒜主成射分？表中堡的每惑一列吃表示涝一个漠主成贴分作黎为原糠来变医量线磁性组卸合的壶系数药，也如就是券主成摇分分猾析模详型中并的系嫁数aij比如谦，第极一主矛成分淡所在田列的降系数0.戏94转9表示廉第1个主妙成分待和原讲来的羽第一场个变尽量（GD戒P）之凭间的桥线性薄相关带系数杆。这污个系盲数越施大，曾说明紧主成意分对裕该变娃量的厅代表急性就京越大光。许多夹变量存之间者直接衰的相竭关性梦比较吼强，筛证明鄙他们规存在惭信息松上的逼重叠租。aij主成作分的箭因子带载荷诉矩阵20互23婶/5兼/1歪837怎么回解释娃主成急分？（co也mp巨on牌en午t养pl纤ot）载荷斩图直杂观显哪示主腾成分门对原棉始10个变淘量的萄解释泽情况图中箩横轴繁表示兄第一落个主俭成分芦与原闯始变鱼量间届的相贱关系撞数；夹纵轴惯表示喊第二霸个主与成分换与原塑始变时量之陕间的雄相关骂系数每一阵个变务量对按应的镰主成号分载闸荷就妨对应粱坐标卷系中骨的一银个点遍，比摊如，嚷人均GD胃P变量胁对应蹄的点仿是(0偷.1炮12，0.得82章4)第一攻个主煮成分许很充设分地担解释墓了原里始的8个变室量(与每衔个原详始变缴量都缸有较督强的元正相佣关关箭系)第二餐个主晓成分莫则较岔好地尽解释瞎了农汇业增成加值庆、人闹均GD朽P这2个变星量(与它希们的糠相关嫁关系泉较高)20勉23窗/5累/1司838主成鲜分与乓原始屯变量丝式的关馋系根据丹主成吉分分光析模土型和刑因子届载荷毁，可醋以得剖到两柄个主终成分灶与10个变种量之饰间的厦线性迁组合截表达梅式（演主成仍分得案分函事数）勿如下注意董：表爽达式慰中的平不是扑原始香变量却，而少是标任准化说变量20押23见/5暑/1器839SP梦SS已经狸自动寒计算出2个主趴成分给的得分,在数老据文到件中形成步新的呀变量,自动命怒名FA势C1翁_1郑,F仁AC腾2_邮1主成纱分得银分20饿23鬼/5诱/1边840主成之分综象合得昨分以每赏个主装成分疫所对叠应的炮特征队值占婚所提灶取主潮成分追总的如特征雨值之灵和的唱比例俱作为根权重戚计算魄主成蛋分综韵合得肃分：本例险选择泉了两误个主葵成分处，主胞成分1对应赵的特凉征值=7嫁.2岗20，主尘成分2对应恨的特涛征值=1做.2龄34。20晌23颤/5映/1周841地区第一主成分F1第二主成分F2综合得分综合排名辽宁-0.4631.765-0.1375山东0.7300.4490.6893河北-0.5030.369-0.3767天津-1.132-0.906-1.09910江苏0.8390.2090.7472上海0.110-2.122-0.2166浙江0.432-0.1750.3434福建-0.735-0.058-0.6368广东1.9440.0991.6751广西-1.2230.370-0.9909主成央分综错合评烤价按总裳得分途的多及少进傍行排借序，楚以反油映各揪地区妄经济货发展脱的差匀异20谁23楚/5器/1贵842第二啄节双因子组分析Fa互ct权or钱A盲na怎ly并si第s20佩23银/5邮/1预843由Ch慕ar掠le梁s村Sp掀ea旷rm逃an于19际04年首盼次提刘出的与主池成分御分析敞类似皆，它翠们都畜是要有找出裤少数肾几个顶新的怎变量妇来代愿替原眼始变魄量不同太之处钢：主近成分吉分析搞中的批主成奸分个提数与耀原始瞒变量仅个数厚是一膝样的锹，即姓有几概个变胜量就梁有几么个主宣成分帅，只拨不过样最后蕉我们互确定猎了少扎数几株个主拦成分絮而已革。而铁因子喘分析册则需掏要事江先确仁定要绒找几折个成振分，脸也称处为因顶子(f悉ac是to们r)，然张后将撕原始谨变量郑综合她为少汤数的饿几个冲因子萍，以塞再现贡原始誓变量井与因悬子之抛间的编关系兼，一殖般来栋说，阻因子管的个告数会影远远主少于界原始挺变量幻玉的个聋数什么浊是因旗子分恳析？20鸡23债/5得/1兄844因子生分析怕可以攻看作丈是主肺成分章分析臣的推拌广和娃扩展欣，但锐它对肆问题岂的研忽究更劲深入序、更侄细致哀一些躁。实敞际上邮，主炼成分安分析乘可以君看作赠是因否子分绣析的稠一个茂特例简言伸之，积因子羽分析早是通功过对夺变量浮之间烦关系充的研挡究，炮找出脖能综蚁合原蒜始变迷量的悉少数白几个权因子乱，使玻得少卸数因腊子能示够反牵映原篇始变组量的远绝大网部分润信息芳，然惑后根掘据相醉关性宗的大绘小将渔原始炕变量岩分组杏，使乳得组绿内的缠变量斤之间仿相关亦性较捷高，夫而不套同组誓的变促量之萌间相我关性猾较低蒜。因摆此，春因子昼分析鹿属于决多元席统计稳中处待理降翻维的醋一种浴统计割方法搁，其示目的君就是落要减抵少变够量的意个数督，用剧少数恭因子辜代表滥多个沈原始辛变量什么期是因翼子分伤析？20宜23晋/5叉/1山845因变研量和两因子弦个数狮的不只一致吸，使朽得不邻仅在咐数学日模型谱上，听而且粱在实肿际求落解过赏程中哭，因忽子分描析和痛主成雀分分桨析都眉有着安一定液的区移别，贸计算述上因丝式子分获析更贤为复守杂因子课分析惰可能哭存在蓝的一慕个优臭点是晨：在数对主早成分叛和原隆始变轮量之饼间的长关系题进行偏描述摸时，占如果恨主成灿分的么直观欣意义妈比较聪模糊躁不易震解释税，主呢成分护分析容没有悲更好丧的改桑进方猴法；咱因子煮分析澡则额毅外提趋供了敌“因队子旋削转(f许ac匠to取r它ro链ta喂ti移on掌)”这样河一个虚步骤乐，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