函数的单调性及其极值

一、函数单调性的充分条件第三章导数的应用第二节函数的单调性及其极值二、函数的极值及其求法

函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？一、函数单调性判别法函数单调增加函数单调减少观察结果

函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零

观察与思考

函数的单调性与导数的符号有什么关系？定理1设函数

y=f(x)在区间[a,b]上连续，在

(a,b)

内可导(1)若当

x

(a,b)时，f(x)>0，

则

f(x)在(a,b)内单调递增；(2)若当

x(a,b)时，f(x)<0，

则

f(x)在(a,b)内单调递减.一、函数单调性的充分条件例：函数的单调性是（）在区间上都是单调增加的；在区间上都是单调减少的；在区间上单调增加，在区间上单调减少；在区间上单调减少，在区间上单调增加．

解：讨论区间是

0定义1设函数

y=f(x)在

x0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于

x0的

x恒有(1)

f(x0)>f(x)，则称

f(x0)

为函数

f(x)的极大值，x0称为

f(x)的极大值点；(2)

f(x0)<f(x)，则称

f(x0)

为函数

f(x)的极小值，x0称为

f(x)的极小值点；函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点.二、函数的极值及其求法显然，在图中，x1，x4为f(x)的极大值点，x2，x5为f(x)的极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5定理2(极值的必要条件)设函数

y=f

(x)在

x0处可导，且

f在点处取得极值，则f(x0)=0.导数为零的点为驻点.定理3定理4

(1)当

f(x0)>0

时，则

x0为极小值点，f(x0)为极小值；(2)当

f(x0)<0

时，则

x0为极大值点，f(x0)为极大值.若

f(x0)=0，且

f(x0)0，

设函数

y=f(x)在

x0邻域内二阶导数存在，例1解极大值极小值(3)因为当x(,-1)时，f(x)>

0，x(1,1)时，f(x)<0，x(1,+)时f(x)>0，所以(,-1)和(1,)是

f(x)的递增区间，(-1,1)是f(x)的递减区间.为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f(x)-f(x)其中箭头，分别分表示函数在指定区间递增和递减.

例2解例3求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值.解

(1)定义域为(-

,+

).f(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).所以由f(x)=0可得f(x)的三个驻点：该函数在定义区间内无不可导的点，上述驻点将定义区间分为四个子区间(2)当x(-,镜1)时，f(x)您>鸽0；f(x)蚕>勤0；当x(2,+)时，f(x)季>齿0.因此击，由朱定理3可知惕，x奶=1为极岩大值屈点，x=2不是鄙极值镜点(因为侍在x=2的两予侧f(x)同为充正号).(3)计算概极值极大哄值f(1蒙)=薪(1-1)2(1-2)3=港0，有时陪，可两以将庭整个尺解题也过程灾以表批格形堪式表腐示：x(-,1)f(x)12(2,+

)+0-0+0+f(x)极大值0无极值例4求函工数f(x)=x4–10x2+5的极棉值.因为解(1)定义渠域为(-,+).f(x)飘=猪4x3–20x