初等数论同余式

第四章同余式

§1同余方程的基本概念定义：设,则叫做模m的同余方程若,则称n为同余方程的次数。若，则称为同余式的解模m的一个完全剩余系中满足同余方程的个数称为满足同余方程的解数。注：对模m互相同余的解是同一个解。例：同余式次数为2，是解，也是解，因为所以为同一解，解数是1，

为了求方程的解经常有等价变形的问题，对于同余方程同样也有等价变形，即使原同余方程和新的同余方程互相等价的若干变换。常用的变换有（1）移项运算是传统的，（2）同余方程两边也可以加上模的若干倍。相当于同余方程两边加“零”。（3）乘上一数k或除去一个数k，为了保持其同解性，必须（k,m）=1，这一点和同余的性质有区别。例等价于

等价于即，

同余方程和不定方程一样，我们同样要考虑以下三个问题，即有解的条件，解数及如何求解，一般地说，对于一般的同余方程，由于仅有有限个解，只要把模m的一个完全剩余系一一代入即可，满足同余方程的就是解。但当模较大或次数较高时应寻求简洁而实用的解法.

这一章主要讨论1、一次同余方程ax≡b(modm)２、一次同余方程组x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)…x≡bk(modmk)３的求解。§2一次同余方程一次同余方程的一般形式为ax≡b(modm)，有2.1定理：a,b为整数，，则ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b,若有解则有d=(a,m)个关于模m的解证明：由同余的定义知ax≡b(modm)等价于不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充要条件是(a,m)|b。在有解的情况下，设不定方程的解为

此时同余方程有d个解，为因当时，2.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。（1）化为不定方程ax+my=b例：解同余式解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.

化简为等价的同余方程我们再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7).,方程3个解为即为2)利用欧拉定理若(a,m)=1,则有ax≡b(modm),两边同乘，则有即因为所以例:解同余式解：因为(8,11)=1,所以由欧拉定理有(3)用形式分数定义1：当（a，m）=1时，若ab1(modm)，则记b(modm)称为形式分数。根据定义和记号，有性质1、2、（d，m）=1，且，则利用形式分数的性质把分母变成1，从而求出一次同余式的解。例：解一次同余方程解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分数的性质，同余方程解为

§3一次同余方程组的解法定义:如下(*)称为一次同余方程组x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)……（*）x≡bk(modmk)有解判定定理：同余方程组（*）有解的充要条件是下面给出k=2时的证明.证:若(1)有解,则有(2)即反之由(1)得代入(2)有

因为由一次同余方程有解条件知t有解,即同余方程组有解.下面秆给出甘一个爬例子沟，并坡用代证入法僻求解例：解渡一次私同余织式组解：饿因为(4做,6僵)=腿2|施3-惠1,所以逆有解,由(1堂)式得x=垂3+悦4t代入(2跟)得即挠得鸭代涂入x=枣3+彩4t得即荐为非一次触同余赛式组并的解没。下面生我们舍给出品模两梳两互雄素的迁情形禾，此呼时显趣然满省足有瓦解的拣条件复，即孙子潜定理：设拢两两厘互素星，则同响余式(*领)组的牌解为其中证明南：因兴为婆两两览互素财，所以牵有逮中的幻玉存在仔，又评对任间意的寻有领有所以咽即是(*招)的解若崖是催满足(*断)的两科个整款数，讽则有又,所以欧有,即,说明竹是惟纵一解陈。例：解俱一次莫同余谅式组解:因为7，8,飘9两两箩互素无，可建以利称用孙巧子定森理.引m=地50掠4,进而些有所以椅有是原狮一次怨同余元式组贺的解托。注：若组给出秀的同亚余方劲程组稿不是赢标准扭形式典，必蜜须注葱意化央为标症准形困式，市同时涂我们情得到派的有罪解的红判别散定理恰及求物解方咐法都暂是在吓这一乏标准数形式熔得到痒的。同余城方程器组（1）有叼解的屈条件(mi,mj)李∣bi-bj，1≤作i，j≤鱼k。在使继用时吗一定第要对离所有少的组告合进尝行验天算，拖进行殖有解完的判经别求解可一次惯同余扎方程愿组（沙*）石有两达种方蕉法：捆待挺定系佩数法踏和孙纤子定雄理,二种切方法伟各有台特长捞。待读定系晌数法亏适应牵的范怖围较姜广，些对模艘没有舍什么嫁要求价。孙柜子定丹理有做一个纠具体帐的公航式，你形式昆也较谦漂亮萝。但调对模命要求万是两章两互退素。次数心大于1的同严余方最程称骗为高凳次同碗余方众程，熊一般角地高诱次同阻等方非程可弟转化萝一系策列的握高次闪同余梁方程划组。肃然后喊将每析一个统高次先同余肌方程移的解捏都求恶出，反最后扫利用老孙子病定理败可求虽出原缘瑞高次蹦同余她方程跳的解遭。§4高次绳同余浙方程定义1、次偶数大驰于1的同滚余方环程称承为高驴次同馆余方碎程对一怖般模内的高条次同愚余方堂程我槽们要发通过赵“小疑模”山和“训降次屠”的望方法助来得貌到一荡般模链的高茄次同河余方易程的绩解。1、小首模：脆即把界一般垒模高效次同泼等方馆程转凯化为趁一系沉列模吼两两达互素惊的高酒次同忌余方刮程组阿，即看有定理散：设宅，凑两两珠互素郊，宅则顾（1）葡等价泊于下道面方扯程组（2）设明和命的错解数格为洋则有下面监来看词证明.证明据：若目是谣（1）的兴解，萄即冤则冰从辞而有专，屡即触即怪（1）的名解就恩是（2）的兼解，职反数之若荐是苹（2）的偿解，剩则有即嫁从催而有盯由疮于湖两两桃互素孕，所团以，夫从戒而斩有忽即穷即贪（2）的婶解也自是（1）的搭解。又由胶于（2）中割第i个方郊程有啄个愈解，坡则（2）一等共可膜组合桂成定个一马次同续余式蛛组，们由孙身子定势理每刘一个蝴同余偿式组乳有惟次一解姐，所胀以有踏个沟解，组又由岔于（1）（2）的穗等价父性，涉所以刺有例：同胶余方值程解：伶原同葡余方祸程等躲价于极同余怪方程延组即有所以柄有4解，扎由孙汽子定双理为由于粘所以等价岔于同化余方牙程组从而彻从理潜论上勇说只希要能金解袋即锹可，添而由贡性质郊可知物若x是泻的敏解，捞则一则定是尾的解所以邪只要寻在耀的解尿中欠找给的解斗。所以火理论圾上只闹要解桶素数星模杏同详余方犁程即棍可。对素勒数模有同余登方程厘，可粗以降窗次，百看下嫩面的定理：设p是素奏数，览是整时系数雹多项彩式，袖设新是贷的一行个解忆，则四有（1）糊则存参在整设数t使得是却的解亮。（2）唯且锡，屡则融当t=满0，1，2…烛P-鼠1时，占都甲是全的解醋。证明语：由烟已知殃是闲的解身，可团设挠代渡入怒，亭则有两边见同除捧得由恢所以祖上式物有惟困一解娃，宣代秒入x有是鹊的壶解。又若仔且域，腥则（被*）诞对任叉意t都成姻立。骂即当t=纽奉0，1，2…疑P-修1时，阅都街是照的解康。从梨而证亮明了只定理就。例：解幻玉方程解：纵因为世的解维为即x=修2+毁3t，因为由定纠理因悼为有富所纷以当t=合0，1，2时，循即亭都是碌方程市的解拖。例：解什方程解：返因为周等译价于其解冠为因殿令x=－1+辣5t代入樱有即朵即即有提代入x=暗1+跳5t有所以费有震代火入移有孟两边号同除25有有蝴代入x有即莫是劳方程色的解拿。同理赶从报可得要到另彩一解戴（作爹练习厉）从上赞可知专解撕最印后可饱归结誓为解乳即脚可，常下面返讨论社的粪解法微。§5素数脆模同植余方定程可（杯*）定理脏：同害余方跑程（怠*）本或者承有P个解炮，或版者与究一个宅次数员不超震过p-粉1次的池素数夺模同苹余方速程等卫价。证：导由多急项式叶除法低，存顶在q（x）和r（x）使得由费蒸马定蜜理因此欲若贯的系嗓数全鸡为p的倍泉数，勉则同艘余方后程（招*）血有p个解渡，若块的漏系数潜不都化是p的倍怖数，恩则桃的次面数不百超过p-断1次，堡且对鸽任意装的x有是湾，即裙同余陡方程周（*糕）等质价鹅证罗毕。定理2：疗设告同余有方程第（*赵）有k个不绢同的崇解,则对责于任冲意的x有,其中诵是一摸个次杠数为n-下k的整央系数仁多项致式，掩且它胀的深的系室数为注:这个席定理稿同一困般方粪程类酬似,有一才个,则从f(独x)中就将可分瓦解出下面粉来看灰证明.证：夹由多留项式蜡除,因有举，即,令有由于舍是衡有k个不省同的汗解，午所以跑有(i摸=2支,3怖,…旱k)仗,由归之纳假灭设有代入驴得有证毕款。由定锡理2我们赤可得网到下千面的辉推论推论1：p是素拥数，村对任孙意的x有证：竿由欧卫拉定粉理庙有尖解，烂且其容解为1,场2…贤p-评1由定钩理2知即犁得。推论2(威尔阴逊定厨理）：p是素培数，庄则有证：犹由推渡论1令x=蓬p代入塞则有爷，反之恋若,则m是素湖数。崭（自攀己证粉明）注：哥所以作威尔疾逊定头理可馒用来凝判定码一个溪数是勺否为黑素数觉。定理3：同淹余方向程（观*）倍的解迹数不露超过尽它的茂次数抄。证