同步备课套餐之物理3-4讲义：第十一章机械振动 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2简谐运动的描述[学习目标］1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2。理解周期和频率的关系。3。知道简谐运动的数学表达式,知道其中各物理量的意义．一、描述简谐运动的物理量[导学探究]如图1所示为理想弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉到A点由静止释放，观察振子的振动；然后将振子拉到B点释放，再观察振子的振动．（1)两次振动有什么差别？用什么物理量来描述这种差别？(2）用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种情况下是否相同？每完成一次往复运动所用时间是否相同?这个时间有什么物理意义？图1答案(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大，用振幅来描述振动幅度的大小．（2)两种情况下所用的时间是相等的．每完成一次往复运动所用的时间是相同的．这个时间表示振动的快慢．[知识梳理］描述简谐运动的物理量1．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离．2．全振动：振动物体往返一次（以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．判断是否为全振动的方法：（1）如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向两方面），即物体从同一个方向回到出发点，则是一次全振动；(2)看物体通过的路程是否等于振幅的四倍．3．周期和频率（1）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间．频率：单位时间内完成全振动的次数．T和f的关系为T＝eq\f(1,f）。(2)周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关（填“有关”或“无关")．[即学即用］判断下列说法的正误．（1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的．（×）(2)在弹簧振子振动一个周期的过程中，振子经过的路程等于振幅的4倍．（√)（3)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．（×)（4）振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．（×)二、简谐运动的表达式［导学探究]图2是弹簧振子做简谐运动的x－t图象,它是一条正弦曲线,请根据数学知识用图中符号写出此图象的函数表达式，并说明各量的物理意义．图2答案表达式x＝Asin（eq\f（2π,T)t＋φ），式中A表示振幅，T表示周期，φ表示初相位．[知识梳理]简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ)反映了质点的位移随时间的变化关系，各量意义如下：（1）x表示振动物体相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间．(2）A表示振动物体偏离平衡位置的最大距离，即振幅．（3)ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢,与周期T及频率f的关系：ω＝eq\f（2π，T)＝2πf。（4)ωt＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t＝0时的相位，称为初相位或初相．相位是一个角度,单位是弧度或度．(5）相位差若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin（ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝(ωt＋φ2）－（ωt＋φ1)＝φ2－φ1。当Δφ＝0时，两振动物体的振动步调一致．当Δφ＝π时，两振动物体的振动步调完全相反．[即学即用]判断下列说法的正误．(1)有一个弹簧振子,振幅为0。8cm,周期为0。5s,初始时（t＝0）具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝8×10－3sin(4πt＋eq\f（π,2））m．（√)（2）弹簧振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为eq\f（1，8）T.（×)（3）弹簧振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为eq\f（1，4）T.（√)（4）按x＝5sin(8πt＋eq\f(1,4）π)cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为eq\f（1,4）s．(√）(5)按x＝5sin(8πt＋eq\f(1，4)π）cm的规律振动的弹簧振子的振幅为5cm。(√)一、描述简谐运动的物理量及其关系1．振幅和位移的区别（1)振幅等于最大位移的数值．(2）对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的,但振幅是不变的．(3）位移是矢量,振幅是标量．2．做简谐运动的物体在四分之一周期内所通过的路程不一定为振幅,有可能等于振幅，有可能大于振幅，也有可能小于振幅．3．简谐运动的周期和频率与振幅无关．例1(多选)如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置,A、B间的距离是20cm,振子由A运动到B的时间是2s，则（)图3A．从O→B→O振子做了一次全振动B．振动周期为4s,振幅是10cmC．从B开始经过6s，振子通过的路程是60cmD．从O开始经过3s，振子处在平衡位置答案BC解析振子从O→B→O只完成半个全振动,A选项错误；从A→B振子也只完成了半个全振动,半个全振动的时间是2s，所以振动周期是4s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10cm，B选项正确；t＝6s＝1eq\f(1,2)T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，C选项正确；从O开始经过3s,振子处在位置A或B，D选项错误．二、对简谐运动表达式的理解1．从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ）－(ωt1＋φ）＝2nπ时，Δt＝eq\f(2nπ,ω）＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．2．从表达式x＝Asin（ωt＋φ）体会特殊点的值．当（ωt＋φ)等于2nπ＋eq\f（π，2)时,sin（ωt＋φ）＝1，即x＝A；当(ωt＋φ）等于2nπ＋eq\f(3π,2）时，sin（ωt＋φ)＝—1，即x＝—A；当（ωt＋φ)等于nπ时，sin（ωt＋φ）＝0，即x＝0。例2一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin（8πt＋eq\f（1,4)π)cm的规律振动．（1)求该振动的周期、频率、振幅和初相;(2）另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋eq\f(5，4)π)cm，求它们的相位差．答案(1)eq\f(1,4)s4Hz5cmeq\f(π，4）(2)π解析（1)已知ω＝8πrad/s，由ω＝eq\f（2π,T）得T＝eq\f(1，4）s，f＝eq\f(1,T)＝4Hz。由x1＝5sin（8πt＋eq\f(1,4)π)cm知A＝5cm，φ1＝eq\f(π，4）（2）由Δφ＝(ωt＋φ2）－(ωt＋φ1）＝φ2－φ1得Δφ＝eq\f（5，4）π－eq\f（π,4)＝π。三、简谐运动的周期性和对称性简谐运动的周期性和对称性（如图4所示）图4(1)时间的对称①物体来回通过相同的两点间的时间相等,即tDB＝tBD。②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。（2）速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等,方向可能相同，也可能相反．(3）位移的对称①物体经过同一点（如C点)时，位移相等．②物体经过关于O点对称的两点（如C与D）时，位移大小相等,方向相反．例3（多选）一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则()A．振子的位移为x和－x的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向相反B．振子的速度为v和－v的两个时刻，振子的位移一定大小相等，方向可能相同C．若Δt＝T,则在t时刻和(t＋Δt）时刻振子振动的速度一定相等D．若Δt＝eq\f(T,2)，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等答案BC解析振子的位移为x和－x的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向可能相同，如图中a、d两点，故A错误;振子的速度为v和－v的两个时刻，它们位移可能是相同的,如图中的d、e两点，故B选项正确；在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相同,选项C正确；相隔eq\f（T,2)的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态,弹簧的长度并不相等，选项D错误．针对训练如图5所示，一质点沿水平直线做简谐运动,先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1s,过b点后再经t′＝1s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8cm，该质点的振动周期为________，振幅为________．图5答案4s4cm解析简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性可知，质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1s，质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等,即tada＝tbcb＝t′＝1s.综上所述,质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s.由题图和简谐运动的对称性可知,质点在一个周期内通过的路程为s＝2eq\x\to（ab)＋2eq\x\to（bc）＋2eq\x\to（ad）＝2(eq\x\to（ab）＋2eq\x\to(bc））＝2×8cm＝16cm，所以质点的振幅为A＝eq\f(s,4）＝4cm.1．(多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（)A．振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处B．周期和频率的乘积是一个常数C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关答案BD解析振幅是标量，选项A错误;周期与频率互为倒数，即T·f＝1，选项B正确;简谐运动的周期与振幅没有关系,周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，所以选项C错误，D正确．2。（多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图6所示，由图可知（)图6A．质点振动的频率是4HzB．质点振动的振幅是2cmC．t＝3s时，质点的速度最大D．t＝3s时，质点的振幅为零答案BC解析由题图可以直接看出振幅为2cm,周期为4s，所以频率为0。25Hz，选项A错误，B正确．t＝3s时，质点经过平衡位置,速度最大，所以选项C正确．振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm,所以选项D错误．3．（多选）质点沿直线以O点为平衡位置做简谐运动,A、B两点分别为正向最大位移处和负向最大位移处的点,A、B相距10cm，质点从A到B的时间为0。1s，从质点经过O点时开始计时，经0.5s,则下述说法正确的是（)A．振幅为5cmB．振幅为10cmC．质点通过的路程为50cmD．质点位移为50cm答案AC解析A、B相距10cm,则振幅为5cm.由A到B历时0.1s,则周期T＝0。2s，从平衡位置开始经过0。5s，即为2。5个周期,通过的路程为s＝2。5×4×5cm＝50cm，位移为0。故正确答案为A、C.4．（多选)物体A做简谐运动的表达式为xA＝3cos(100t＋eq\f（π,2)）m，物体B做简谐运动的表达式为xB＝5cos(100t＋eq\f(π,6）)m．比较A、B的运动()A．振幅是标量，A的振幅是3m，B的振幅是5mB．周期是标量,A、B周期相等为100sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A振动的频率fA大于B振动的频率fB答案AC解析振幅是标量，由表达式可知A、B的振幅分别是3m、5m,选项A正确．周期是标量，A、B的周期T＝eq\f（2π,ω)＝eq\f（2π，100)s＝6.28×10－2s，选项B错误．因为ωA＝ωB，故fA＝fB,选项C正确，选项D错误．一、选择题1.（多选)如图1所示,弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则（）图1A．从B→O→C→O→B为一次全振动B．从O→B→O→C→B为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．OB的大小不一定等于OC答案AC解析O为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起始经O、C、O、B路程为振幅的4倍，A对;若从O起始经B、O、C、B路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错；若从C起始经O、B、O、C路程为振幅的4倍，C对；因弹簧振子系统不考虑摩擦，所以振幅一定，D错．2．（多选）振动周期指的是振动物体(）A．从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间D．经历了四个振幅的时间答案CD解析振动周期是指振动物体完成一次全振动所用的时间，也就是物体经过4个振幅所用的时间．3．(多选）有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sin（100πt＋eq\f（π,3）)cm,x2＝5sin（100πt＋eq\f（π，6））cm，下列说法正确的是（）A．它们的振幅相同B．它们的周期相同C．它们的相位差恒定D．它们的振动步调一致答案BC解析它们的振幅分别是4cm、5cm,故不同,选项A错误;ω都是100πrad/s,所以周期(T＝eq\f(2π，ω))都是eq\f(1,50）s，选项B正确;由Δφ＝(100πt＋eq\f（π，3）)－(100πt＋eq\f(π,6)）＝eq\f(π，6）知相位差(为eq\f（π，6)）恒定,选项C正确;Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误．4.(多选）如图2所示为质点的振动图象，下列判断中正确的是(）图2A．质点振动周期是8sB．振幅是±2cmC．4s末质点的速度为负,加速度为零D．10s末质点的加速度为正，速度为零答案AC解析由题图可知，T＝8s，A＝2cm，A正确，B错误；4s末质点在平衡位置，速度沿－x方向，加速度为零，C正确；10s末同2s末，质点处在正向最大位移处，其速度为零，加速度为负,D错误．5.(多选）如图3所示，弹簧振子的小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10cm,则下列说法中正确的是()图3A．小球的最大位移是10cmB．只有在B、C两点时，小球的振幅是5cm，在O点时,小球的振幅是零C．无论小球在哪一位置，它的振幅都是5cmD．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20cm答案CD解析小球的最大位移是5cm，故A错误；振幅是小球离开平衡位置的最大距离，即小球在任何位置时振幅都是5cm，故B错误，C正确；从任意时刻起，小球在一周期内经过的路程都为4A＝4×5cm＝20cm，故D正确．6．（多选)一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是(）A．若Δt＝eq\f(T,4),则在Δt时间内振子经过的路程为一个振幅B．若Δt＝eq\f(T,2），则在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅C．若Δt＝eq\f（T,2），则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位移一定相同D．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的速度一定相同答案BD解析若Δt＝eq\f(T，4），Δt时间内振子经过的路程不一定等于振幅，故A错误；若Δt＝eq\f(T，2）,则在t时刻和（t＋Δt)时刻振子的位置关于平衡位置对称，在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅，B正确；若Δt＝eq\f(T，2)，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位置关于平衡位置对称，振子的位移大小相等，方向相反，C错误；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt）时刻振子的位置相同,所以这两时刻速度一定相等，故D正确．7。(多选)如图4,轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin（2。5πt)m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0。6s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小为g＝10m/s2.以下判断正确的是(）图4A．h＝1.7mB．简谐运动的周期是0.8sC．0。6s内物块运动的路程是0。2mD．t＝0。4s时，物块与小球运动方向相反答案AB解析由小物块的运动方程可知eq\f(2π,T)＝2.5πrad/s,则T＝0.8s，故B正确。0.6s内物块运动了eq\f(3,4)个周期,故路程应为0。3m，C错误．t＝0。4s时物块运动了半个周期，正向下运动，与小球运动方向相同,故D错．t＝0。6s时，物块的位移y＝－0.1m,小球下落距离H＝eq\f（1，2）gt2＝1.8m，由题图可知，h＝H＋y＝1。7m，故A正确．8.(多选）一个质点做简谐运动的图象如图5所示，下列叙述中正确的是(）图5A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程为20cmC．在5s末，质点做简谐运动的相位为eq\f（3,2）πD．t＝1。5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是eq\r（2）cm答案BD解析由振动图象可直接得到周期T＝4s，频率f＝eq\f(1，T）＝0。25Hz，故选项A错误．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8cm。10s为2。5个周期，故质点经过的路程为20cm，选项B正确，由图象知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0）＝0.02sin(eq\f(π，2)t）m．当t＝5s时,其相位为ωt＋φ0＝eq\f（π,2）×5＝eq\f（5,2）π，故C错误．在1。5s和4。5s两时刻，质点位移相同，x＝2sin（eq\f（π,2)×1.5）cm＝eq\r(2）cm,故D正确．9．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是（包括一定正确的)（)A．Δt＝2T,s＝8A B．Δt＝eq\f(T，2），s＝2AC．Δt＝eq\f（T,4），s＝2A D．Δt＝eq\f(T，4），s＞A答案ABD二、非选择题10．如图6所示是物体做简谐运动的振动图象，请根据图象回答下列问题：图6(1）在图中t1时刻和t2时刻，物体的位移各是多少？（2）这个物体的振幅是多大?(3）这个振动的周期是多少？频率是多大?（4）判断t1、t2时刻物体运动的方向．答案见解析解析(1)从图中直接读出t1时刻的位移为－3cm，t2时刻的位移为2cm.(2)振幅指振动物体偏离平衡位置的最大距离，从图中读出位移最大值为5cm，因此振幅为5cm.（3）图中a至b表示物体完成了一次全振动又回到原来的状态，经历的时间即周期．可见，这个振动的周期为2s，频率为0.5Hz.(4)由图象可以看出，t1时刻的下一小段时间位移变大且远离平衡位置指向负方向，所以可以判断t1时刻物体正沿着负方向远离平衡位置运动，同理可以判断t2时刻物体的运动方向为沿着正方向远离平衡位置．11．做简谐运动的小球按x＝0.05sin（2πt＋eq\f（π，4)）m的规律振动．（1）求小球振动的圆频率、周期、频率、振幅和初相位；（2）当t1＝0。5s、t2＝1s时小球的位移分别是多少？答案(1)圆频率ω＝2πrad/