专题10解三角形年高考真题理科数学分项汇编合卷教师版纸间书屋

专题 【2018年高 Ⅱ理数】在△ABC中，cosC 5，BC1，AC5，则AB A．2D．5【答案】

52【解析】因为cosC2cos212 1 52 5 2AB2BC2AC22BCACcosC125215332，则AB2

5 【2018年高考Ⅲ理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积a2b24π2π4【答案】

，则C1

π3π6a2b2

absinC

，所以a2b2c2由余弦定理a2b2c22abcosC，得sinCcosC，因为C0π，所以Cπ4【2017年高考山东卷理数】在△ABCA，B，C的对边分别为abc．若△ABC角形，且满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinCaC．A

bD．B2【答案】【解析】由题意知sinAC2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC，所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数进行恒等变形.首先用两角和【2019年高 Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,Bπ，3△ABC的面积 3【答案】3【解析】由余弦定理得b2a2c22accosB，所以(2c)2c222cc162，即c2122解得c23c23（舍去所以a2c43

1acsinB14323 36

法的基础上准确细算本题首先应用余弦定理建立关于c的方程应用a,c的关系、【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D段AC上， 【答案】1227

sin

sin

AB4ADB3π4AC

=5，sinBACBC3,cosBAC

AB4BD122AB2+BC AB2+BC7cosABDcos(BDCBAC) BAC7 7在△ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.7【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a 则sin 【答案】21727【解析】由正弦定理得asinA，所以sinB sinπ27

21 sin 由余弦定理得a2b2c22bccosA,74c22c,c3（负值舍去化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.sinB，根据余弦定理c.【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是 【答案】15, BCEAEBC1△ABEcosABCBE1cosDBC1,sinDBC1

15

∴ 1BDBCsinDBC 15 4解得cosBDC

10或cosBDC4

10（舍去4综上可得，△BCD面积为15cosBDC2

10482019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角ABC的对边分别为abc，设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC（1）（2）若2ab2c（1）A

（2）

6 24（1）由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc．b2c2 由余弦定理得cosA 因为0A180A60（2）由（1）B120C

2sinAsin

C2sinC即6 3cosC1sinC2sinC，可得cosC60 2 由于

C120，所以sinC60

22sinCsinC6060sinC60cos60cosC60sin 6 24【2019年高 2（1）（1）B=60°（2） 3) 【解析】（1）由题设及正弦定理得sinAsinACsinBsinA2因为sinA0，所以sinACsinB2ABC180，可得sinACcosB，故cosB2sinBcosB 因为cosB0，故sinB1

因此（2）由题设及（1）知△ABCS△ABC

3a4csin

sin

C 3由正弦定理得a 3sin

sin

2从而3 3 因此，△ABC面积的取值范围是33． 2 解，最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.【2019年高 卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=12b，c（2） 37（1）由余弦定理b2a2c22accosBb232c223c1 2 因为bc2所以(c2)232c223c1 2 解得c5所以b7（2）由cosB1得sinB 3 由正弦定理得sinCcsinB53 1sin2在△ABC中，∠1sin2所以cosC

1147所以sin(BC)sinBcosCcosBsinC47 【2019年高考卷理数】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知bc2a3csinB4asinC求cosB 6求sin2B 的值6 【答案】（1）1；（2）357 【解析】（1）在△ABC

sin

sin

，得bsinCcsinB又由3csinB4asinC，得3bsinC4asinC，即3b4a又因为bc2a，得到b4ac2a a24a216由余弦定理可得cosB

cb

1

2a2 3（2）由（1）可得sinB

1511cos2从而sin2B2sinBcosB15cos2Bcos2Bsin2B7 cos2Bcos2B37356sin2B6682 【2019年高考江苏卷】在△ABCA，B，C

22 c23若sinAcosB，求sin(B 【答案（1）c （2） 5 （1）因为a3cba2c2

2,cosB23(3c(3c)2c2(

c2由余弦定理cosB

，得3

， 23c 所以c 33（2）因为sinAcosB

asin

sin

，得cosBsinB，所以cosB2sinB 从而cos2B2sinB)2，即cos2B41cos2B，故cos2B4525因为sinB0，所以cosB2sinB0，从而cosB25因此sinBπcosB25 2 AB（ABO的直径）lP、QPB、QA．规划要PB、QAO的距离均．OA、BlPBABPB在规划要求下，PQDPBQAd（单位：百米）.d最小时，P、Q两点间的距【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米过AAEBD，垂足为由已知条件得，四边形ACDEDEBEAC6,AECD8因为所以cosPBDsinABE

4PB

.12.45AE2AE2②若Q在D处，连结AD，由（1）AD

AD2AB2 从而cosBAD 0，所以∠BAD为锐角2AD PDPBsinPBDPBcosEBA1539 152由（2）知，要使得QA≥15Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求152QA2QA2

综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=

d最小，此时PQ两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米3从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为4因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43直线PBy4x25 (134)2(9(134)2(9

所以线段ADy3x6(44

4)4

），因为OM

3232154

3232当∠OBP>90°时，在△PP1BPBP1B15.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设(a(a4)2(9

15(a4)，得a4

，所以Q（4

综上，当P（−13，9），Q（4

PQ4 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17

（百米【2018年高考Ⅰ理数】在平面四边形ABCD中，ADC求cosADB

，A45，AB2，BD52DC2

BC（1）23（2）5.5（1）在△ABD

2sin2

sinADB5sin

sin

，所以sinADB 25ADB所以cosADB

2311（2）由题设及（1）知，cosBDCsinADB 25在△BCDBC2BD2DC22BDDC2582522 5BC5【2017年高考Ⅰ理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积.3sinsinBsin6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长2（2） 2【解析（1）由题设得1acsinB ，即1csinB 2 3sin

3sin1sinCsinB

sin. 3sin故sinBsinC23（2）由题设及（1）得cosBcosCsinBsinC1，即cos(BC)1 BC2πAπ

a1bcsinA ，即bca1 3sin由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc 故△ABC的周长为3 yAsin(xb【2018年高考卷理数

ABCabc.6Ba=2，c=3b和sin(2AB的值【答案】（1）π3

，sin(2AB)=337713分．在△ABC

sin

sin

，可得bsinAasinB又由bsinAacos(Bπ)asinBacos(Bπ 3即sinBcos(Bπ)，可得tanB 36B0，π)B=π37在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π，有b2a2c22accosB7，故 7337由bsinAacos(Bπ)，可得sinA 37627因为a<c，故cosA 27因此sin2A2sinAcosA43cos2A2cos2A1 sin(2ABsin2AcosBcos2AsinB4311

33 【2017年高 Ⅱ理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinAC8sin2B2求cosB若ac6△ABC的面积为2，求b（2）（1）ABC，可得sinB8sin2B，故sinB41cosB2上式两边平方，整理得17cos2B32cosB150解得cosB1(舍去)cosB1511（2）由cosB15得sinB

8，故

acsinB

4ac

=2，则ac172

由余弦定理及ac6b2a2c22accosBac22ac1cosB36217(115) 所以b21【2018年高 卷理数】在△ABC中 7（1）（2）AC【答案】（1）π；（2）33 【解析】（1）在△ABC7

2

1cos241cos247

asin

sin

sinA

=437 32 2

，π），∴A∈（0，2π 3（2）在△ABC中 3(1)143=33h如图所示，在△ABC

，∴h=BCsinC=73333 ∴AC332【2017年高 卷理数在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知ab，a5,c6sinB35求b和sinA求sin(2Aπ4（1）b的值为13sinA313（2）72 （1）在△ABC中，因为ab，故由sinB3，可得cosB4 由已知及余弦定理，有b2a2c22accosB13所以b

a

，得sinAasinB313sin

sin

b的值为13sinA313（2）由（1）及ac，得cosA213所以sin2A2sinAcosA12cos2A12sin2A5 故sin(2Aπ)sin2Acosπcos2Asinπ72 【2017年高考Ⅲ理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA

7 7（1）（2）DBCADAC，求△ABD的面积3【答案】（1）c4 3（1）由已知可得tanA

3A2π3在△ABC中，由余弦定理得284c24ccos2π，即c22c2403解得c6(舍去)c4（2）由题设可得CADπ2所以BADBACCADπ6

1ABADsin故△ABD面积与△ACD223又△ABC142sinBAC23

，

613所以△ABD的面积 3A2π，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得c43利用题意首先求得△ABD的面积与△ACD的面积的比值，然后结合△ABC3△ABD的面积 3【2017年高考江苏卷如图水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的为7容器Ⅰ的底面对角线AC的长为7

cmEGE1G1的长分别为14cm将llA处，另一端置于侧棱CC1上，求l将llE处，另一端置于侧棱GG1上，求l20cm)．记玻璃棒的另一端落在CC1MAC107AM