动力学课后思考题答案

1.如图所示,均质圆轮质量为m,半径为R,放在粗糙水平面上,均质杆BC质量亦为m,长为2R,二者固结如图示.开始时系统静止,杆BC位于铅锤位置.设杆BC受小的扰动后倒下,圆盘在地面上作纯滚动,求当杆BC运动到水平位置时,(1)杆BC的角速度的大小;(2)圆轮心C的速度的大小;(3)圆轮心C的加速度的大小;(4)杆上B点的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.解:(1)由动能定理:(2)(3)轮杆组合体运动到任意位置时由机械能守恒可得:选过C水平面为重力势能零点,对任意位置,系统有两边对时间t求导数当=900

时上式为上式为轮心C加速度大小(4)杆上B点的加速度的大小(5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.先求BC杆中心O点的加速度轮心C加速度大小(5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.由动量定理:x方向:y方向:另解:求解某时刻的加速度和约束力,还可用达朗伯原理.BCBC解:系统有两个自由度,选x

、为广义坐标2.如图所示,均质圆轮质量为m1,半径为R,放在粗糙水平面上,均质杆BC质量为m2,长为2R,用铰链连接于轮心C.开始时系统静止,杆BC位于铅锤位置.杆BC受小的扰动后倒下,设圆盘在地面上作纯滚动,求当杆BC运动到水平位置时,(1)杆BC的角速度的大小;(2)圆轮心C的速度的大小;(3)杆BC的角加速度的大小;(4)圆轮心C的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.由动量定理的水平方向投影取系统分析:取圆轮分析:由对质心的动量矩定理BC两式联立可得:(1)由系统的动能定理:BC当=900由(1)式:即VC=0.(2)式可化作:即是即BCBCBC将(1)式两边对t求导当BC杆水平时将(2)式两边对t求导当BC杆水平时上式化简成:BCBC杆质心O的加速度为:由质点系的动量定理:水平方向有:铅垂方向有:另解:速度及角速度问题同前,加速度问题另解如下:(3)杆BC的角加速度的大小;(4)圆轮心C的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.解:BC系统有两个自由度,选x

、为广义坐标BC选过C的水平线为重力势能零点运动过程中机械能守恒将上式两边对时间t求导数:BC广义速度必不为零,所以有当BC杆水平时由(I)式由(II)式BC另解:速度问题同前(动能定理及广义动量守恒),加速度及约束力的问题可用达朗贝尔原理.求:(3)杆BC的角加速度的大小;(4)圆轮心C的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.当BC杆水平时设图示瞬时,C点的加速度为a,BC杆的角加速度为.圆盘及BC杆分别为平面运动,将各自的惯性力系向各自的质心简化取系统为研究对象:再取BC杆为研究对象代入(6):取整体分析BC3.小球的重量为P,小车的重量为W,系统开始静止.已知小车上四分之一圆弧面的半径R,圆弧底端处B距光滑水平地面的高度为h.设小球自圆弧顶端A沿圆弧面落下.求:(1)小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时,圆弧面对小球的法向约束力.解:两个自由度选广义坐标(变量)x、系统水平方向动量守恒当小球在B点时由动能定理当小球在B点时联立求解:(1)小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时,圆弧面对小球的法向约束力.(1)(2)由质心坐标守恒(水平方向)小车移动的距离:小球移动的距离:(3)小车移动的距离:小球移动的距离:(1符)小球串将要狭离开胀小车除时,小球这及小楼车的吊速度滥的大握小;滨(2铺)自初愚始时矿刻到漏小球颠将要烫离开吼小车唤的这认段时钞间内,小车镜移动化的距优离和版小球船运动谈的水太平距驻离;编(3买)自小敞球离县开小浓车到扁落地申的这挤段时通间内,小车旋移动耳的距愤离和钉小球糖运动信的水社平距测离;飞(芝4)小球吃将要护离开陈小车忘时,圆弧屋面对转小球扛的法讨向约侧束力.(4四)取小食球分菊析运仇动及疏受力由此题中此题此时由4.可在务地面资上滚被动而各不滑辈动的保均质默细圆要环管给质量翼为m1,半径巴为R,管内顶装有培质量树为m的小留珠,管的数内壁等光滑.开始类时圆隙环和默小珠弯静止蝇不动,小珠恒位于宴圆环佩的最聋右边系的地柿方(如图还示).释放敢系统榆使小冒珠下言落.求小禁珠到撇达最场低位毛置时,圆环尤管的巧角速景度的朗大小.Om解:由动炭能定防理设圆畜环的劣角速锦度为,小珠抢相对育于圆奇环中兴心O的速第度为Vr.由动谱量定场理:摩(水平五方向舞投影)取圆体环分秃析由(2)、(3)可得:由对嫩其质匙心的塞动量辛矩定男理:OOm(1烂)、(4栏)联立柿可得:mOmgOOm取广荷义坐梳标x、.取过O水平面为重力势能零点x为循岂环坐衬标由得:由初霸始条塌件,C=往0当=900,另解:其中,(其余乳同前)解:5.图示值质量罗为m2的均彩匀圆阅柱轮篇在质奖量为m1的斜桑面上稿作纯饺滚动,斜面尝可在连光滑发水平衫面上孝运动,试求孝系统吃在运煌动时撑圆柱腔轮心俘及斜欣面的徒加速沸度.分别秆取圆穷柱、熄斜面垃分析事运动会及受套力.θ.θ对圆炭柱由质毫心运浪动定达理由对蜓质心路的动桶量矩怕定理由于携圆柱暂在运甲动的款斜面筋上只练滚不弦滑,上式仁化为对斜经面由牛枝顿第赴二定制律(1)(2)(3)(4)对圆馋柱,以A为基裳点分攀析C点的级加速惭度沿斜药面方装向投达影有:.θ(1)(2)(3)(4)由两唇个物忙体间辫运动绣学关趣系:取C为动南点,斜面肉为动歇系水平方向:铅垂方向:联立什消去ar电.(5)(1仗)、(2陪)、(3渡)、(4拳)、(5孝)式联起立可贱得解:双自伸由度,选广递义坐比标x1、Sr.

m1g

m2gθsrC选初鼓始时往圆柱警的C点处持为重背力势娘能零即点5.图示亩质量岛为m2的均装匀圆即柱轮童在质织量为m1的斜狗面上闪作纯亩滚动,斜面克可在愁光滑兵水平尼面上估运动,试求尼系统蹄在运苦动时搅圆柱盏轮心仪及斜朽面的炊加速抽度.运动勺过程贸中机锣械能乱守恒两边疗对时看间t求导孩数不会为零所以有联立可得:解:双自库由度,选广棵义坐榜标x1、Sr.

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m2gθsrC选初叠始时患圆柱完的C点处位为重窗力势畜能零悄点5.图示泊质量衡为m2的均漏匀圆直柱轮赚在质留量为m1的斜扇面上耗作纯判滚动,斜面棚可在浆光滑馆水平德面上驾运动,试求植系统叠在运香动时谨圆柱丝式轮心摘及斜音面的拌加速理度.6.均质然杆质强量为m,长为3R辟,固结懂在半微径为R质量陪为M的均泼质圆慰柱体抛上,杆的红一端仅与圆钥柱体捡的中驾心重集合.设圆绍柱体寒在水载平面盏上只茂滚不还滑,求系叙统的富运动桑微分吼方程.mgOAC解:选过O点的勺水平君面为害重力冠势能汉零点一个脆自由址度,选广握义坐鸭标运动秧过程状中系押统的迟机械旗能守瞧恒mgOAC两边盒同时液对时翠间t求导昨数消去可得:7.在一铁水平积面上,小球A的速堪度V1=摆6m恶/s很,方向坝与静鸟止的B球相师切,如图累示.两球币的大要小相搬同,质量溜相等,不计项摩擦.设碰珠撞的链恢复撑系数k划=蜓0.纽奉6如,试求筹碰撞柱后两依球的罩速度解各是诉多少?解:碰撞希前后怀总动神量守画恒法向峰投影葡有切向投影有由(1涝)、(2萄)可得:切向葬二球舱不受漫力作扫用,各自强动量宴守恒碰撞达后两群球的聪速度A球B球8.一均份质球油半径恋为R挥=沾0.脾1m旨,以质笑心10脊m/井s的速惧度沿砍图示充斜面挑向下堪作纯循滚动.并与泪一水结平面侦相撞.设球话与水赏平面虽的碰码撞是的完全漫弹性洲的.试求:碰撞互后瞬滨时,球心供的速注度和盘球的贡角速帝度.解:碰撞楚前后,对质擦心的牙动量沙矩守规恒角速嫁度不伪变而(A闻C方向芝上速究度投毫影相母等)由即在切详向投鞠影可刺得:(方向弃如图)9.均质叔实心筐球半爪径为r,沿斜记面滚以下如霞图示,当角清速度丹为0时碰饭到水北平面霸连滚否带滑,最后球重新微变成旁纯滚悠动.设碰添撞时稀球未博从水中平面吴回跳,求球旗在水堡平面兔上纯吊滚动趋的角秘速度.解:碰撞借为塑激性k阅=庆0设纯壁滚动恒时质峰心速觉度为V角速辉度为由动沙量定辜理由动汗量矩坦定理由(1歪)可得:联立(2孔)、(3及)10虾.刚度省均为k(奸N/昼m)的两洁个弹傅簧,一端独固定,另一黎端装糊在相毯互平叼行的帝两块圣刚性凑板平砖板A和B上,其间志距为=摘W/枕2k腥.当重估为W的物给体突醒然加书在平驱板A上时,求平特板B的位爱移.平板渡和弹题簧的蒜质量墙略去永不计.解:设平贸板B的位望移为整个蚂过程,可用绪能量瞧原理营描述乎成整理旦后得:取11兰.一个执踩高越跷的稀人,在高训跷倾草斜的秃过程柱中,仍直修立地财站在到上面.这可哄简化岛成图急示的浮模型:不计莫重量暴的杆AB蓄(即高蜓跷)由静浸止开耽始绕A点转域动;一个古代表滔人的俩均质龄杆支驶承在D点,当AB转动计时,其仍晃保持步在铅的垂位依置.若设乏高跷教在由拿静止集开始议运动舰时,其A端具盯有微栋小的匠初位载移d,试写绢出人耳体质警心C水平雷加速袋度的夺表达牧式.解:由质状心运蒸动定摧理又12肿.质量篇均为m的两息块板m1和m2由刚董度系门数为k的弹侦簧连给接,放在哀地板赚上,如图存示.今在阶其刷上方模掉下狐一质窄量为m的泥连块m3.问:泥块付的高端度为终多少蹲时,方能册使上挪面的箩板跳寻起时辰带动俱下面释的板?m3km1m2hkm1m2m3m1m3m2kam1m3m2ka解:本问爽题有稀两个朵力学膀过程,蚊(碰撞我和功络能原违理)应分江开考些虑.由碰撞过程的动量守恒(忽略重力冲量)m1m3m2kam1m3m2kam3km1m2设弹簧压缩的最大限度为a,则由动能定理可得:在尔后至刚使地面对m2

的反力为零时,由动能定理得:由已知条件可得:m3km1m2hkm1m2m3m1m2m3k考虑资运动邪过程唉的机钱械能促守恒,还可妇有如缸下的裤思路:m1m3m2m3m1k由动能定理:将已知条件代入可得:及AMmO13灶.质量弯为m的小复环可断沿质估量为M半径倾为R的大惧圆环揭运动.开始悟时,系统易静止傲于光股滑的蜘水平承面上,如图童所示.现在仅突然怒给小筛环一宫初速炼度V0,试证弹明:大环六将作启平动,并求源大圆列环中渠心相每对于鞋系统往的质哲心的惑运动惹轨迹.不计穷大环此和小独环之魂间的泛摩擦.由于雄小环形在运侄动以切后对洲大环汽的力竿始终脊指向因大环廊的质(中)心,大环构所受玻的力颈对其堤质心菠的矩托始终枣为零.初始树大环熟又无师角速鼻度,因而凭大环剖对其愿质心沈的动拢量矩减始终贝为零(即守族恒),所以掠大危环的烟角速沿度为解零.如此,大环包只作果平动.C由系统的动量守恒可得系统质心的运动:运动战过程习中,系统检的质滑心到势大环捞的质寨心O的距恳离及秆到小刚环m的距镰离始阁终都律是不扔变的,所以,大环挂中心疲及小燃环相绣对系加统的右质心C的运名动轨捐迹都技是圆昂弧.大环中心O相对于系统质心C的轨迹是以为半径的圆弧.由质心坐标公式可得:14棵.设有栋两个氧重物W0和W1,以柔丸软而还不可驰伸长摘的轻扣绳相绿连,绳长俱为l.若将扮重物W0自W1的上碑面以默初速V0竖直什上抛(开始挽时图款中的x模=疫0)似,灿W1放在验地面哪上.求重恼物W0上抛劳的最境大的改距离H.W0W1x解:由于值初速五以字摸母表壁示,据题通意而考分情乖况讨宣论.当则当在绳子拉直时有:在二物具有共同速度V2时有此后上升高度为总高度为:或为:15葵.均质家杆OA效=l,质量规为m简,可绕O作定倦轴转赖动.图示屡瞬时阿其角遵速度裙等于普零,角加第速度箩为.若将客杆的凡惯性今力系亭向A点简健化,则主脉矩的姑大小迹应为效多少?解:先将蹦惯性刮力系盏向O点简匠化.再将党此惯款性力烈系向A点简丝式化最后堵结果互应为:16寻.质量循为