【教案】幂函数教案高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

PAGE§3.3幂函数教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学必修第一册》第三章第三节《幂函数》，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数的的概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质研究函数的意识。从教材地位看，学生对特殊的正反比例函数和二次函数等已经很熟，幂函数正是对这些在形式上有着共同特征的函数的推广;从研究方法上看本节突出幂指数从特殊到一般的推广，为后续学习做了铺垫。二、学情分析在知识上，学生已经有了学习指数函数和对数函数的经历，有初中的一次函数、二次函数和反比例函数等作为基础，这为学习幂函数做好了知识和方法上的准备。在能力上，学生已经具备一定的形象思维和抽象思维能力，有一定的分析和解决问题的能力。对于进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，需要教师点拨。三、教学目标1．知识与技能（1）通过5个具体的实例了解幂函数的概念;（2）并通过具体实例研究幂函数的图象和性质，能初步进行应用。2.过程与方法（1）通过引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法；通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣；（3）对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力。3．情态态度与价值观进一步渗透数形结合、分类讨论、类比和归纳的数学思想方法;通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神。四、教学重点与难点教学重点：通过五个具体的幂函数了解概念，研究性质，体会图象的变化规律。教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质。五、教学设计（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要支付元是的函数（2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积是的函数（3）如果立方体的边长为,那么立方体的体积是的函数（4）如果一个正方形场地的面积为,那么正方形的边长是的函数（5）如果某人s内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度km/s是的函数问题1：观察以上问题中的函数具有什么共同特征?师生活动：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数（为定值）.设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的定义.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。问题2：判断，，是否为幂函数。师生活动：幂函数的解析式必须是的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．设计意图：加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.幂函数的图像与性质问题3：有了幂函数的定义，接着我们应该研究什么？师生活动：根据我们学习过的函数的知识，应该研究函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等性质。根据初中学习函数的经验，我们可以先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质不妨也找出典型的函数作为代表：追问1：的图像是我们熟悉的，如何画出的图像呢？师生活动：观察函数解析式的特点，得出是奇函数，的定义域为非负数的集合，取点利用描点法作图。学生进行作图，在同一坐标系中画出五个幂函数的图像。问题4：观察这五个函数图像，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？师生活动：学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中。函函数性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0，+∞){x︱x≠0}值域R[0，+∞)R[0，+∞){y︱y≠0}单调性增(-∞,0)增[0，+∞)减增增(-∞,0)减（0+∞)减奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共点（1,1）问题5：观察图像所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？师生活动：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题6：第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？师生活动：当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.问题7：所有图像都过哪些点，为什么？学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.问题8：对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.问题9：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？学生反应：当0<x<1时，指数小的图像在上方，当x>1时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.教师活动：在0<x<1内任取个x值，例如a，肯定有o<a<1,此时联系到指数函数的单调性，有指数小的函数值越大，同样，当x>1时，指数大的函数值就大.【总结】幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.新知应用问题10：利用图像得出幂函数的性质并不严谨，我们还应该对其进行严格的证明。你能证明幂函数在[0，+∞)上是增函数吗？师生活动：学生独立完成，请几位学生板书证明过程。教师对学生的证明过程进行评价纠错。证明：设计意图：（1）复习定义证明单调性的过程.(2)幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断（四）巩固练习练习1：比较下列各组数种两个值的大小。（1）（2）（3）解：:(1)y=5.2x是增函数,∵0.1<0.2∴5.20.1<5.20.2(2)y=x0.9在(0,+∞)内是增函数∵3.2<3.7∴3.20.9<3.70.9（3）1.72.5<1.82.5<1.83.5练习2：已知一个函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解：依题意,得解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为符合题意.当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2【设计意图】增强学生对新知的应用能力，