二元连续与微分

西安交通大学数学与统计学院复变函数课程责任教授最优化理论博士、硕导中国-经济数学与管理数学学会理事长办公室电话动电话-mail:weiping@报告人魏平传统课堂与现代慕课传统课堂黑板写的工工整整老师讲的清清楚楚笔记记得整整齐齐学生听得明明白白操作性工作扎扎实实知识就是力量现代慕课多媒体、立体化、多向度、全信息粗粒化、框架式、差别大、联系紧速记式、符号化、点主题、习课件反思性、互动式、跨学科、查百度任务型工作融会贯通知识的知识才是力量

第1讲多元函数的连续性1.1.解析几何问题

1.2.多元函数的极限问题；

1.3.多元函数的连续性问题；

1.4.多元函数的偏导数与微分问题；1.圆标准方程：一般方程：参数方程：解

一.二次曲线2.椭圆标准方程：参数方程：离心率：准线：3.双曲线标准方程：参数方程：离心率：准线：渐近线：4.抛物线标准方程：离心率：1.椭球面（用截痕法画曲面图）二.二次曲面2.单叶双曲面3.双叶双曲面4.马鞍面5.椭圆抛物面6.椭圆锥面7.柱面圆柱面；椭圆柱面；双曲柱面；抛物柱面。三.空间曲线的方程：一般方程：参数方程：向量方程：例1直线方程例2螺旋线

例3平面截线

四.影空间尿曲线认的投苦影曲线锄的一聋般方贿程：两式蛛中消挥去一蓄个变省量则投般影线隶为例4.求庄曲线汤在殿平面羞的投炕影解例5设一辩个立刃体由职上半亏球面辩和嚷锥面康所围苗成，林求它柿在XO笛Y平面煤上的碰投影.解第1能讲秃多元腥函数厘的连扰续性1.做1.羞解析股几何具问题拍1迁.2指.多章元函牌数的塘极限浑问题；匆1.慨3.你多元鸽函数荷的连续意性问郊题；1.饲4.月多元乡丰函数墨的偏寺导数蛇与微蔬分问暗题；多元雀函数恰的极迈限(膏重极甘限，荡二次废极限析）定义绿1（轿二重愿极限纳）例1证例2证两个模累次侧极限芦不等代，灿则重茧极限酒不存旧在。注记袖：1）重偶极限帽存在樱但累辞次极底限不平存在2）累失次极有限存矮在但鸽重极浸限不间存在3）如都果重栋极限丢存在链且内位极限盈也存梨在时象，二霞者相金等。问题商1计算竞二重膊极限贼有哪持些常辛用方漠法？答:（1）转墙化为病一元荒函数珠。例1：（2）利糠用极融限的腔性质土（如书夹逼监原理讲、四挨则运冒算）迷。解：解：解：问题默2重极固限概搅念中户几个截值得眨注意典的问泉题。（1）几隔种定申义的趟比较切。定义1（同女济四捏版）定义2（交忽大老尚版）定义3：1）定劝义1对函待数定悲义域D的要顶求较立高。2）定醉义2和定瞒义3本质赢上一易样。注意核：解：按定纽奉义1，此愚时极具限无筒意义戚，原虑因是奖定义暖域不点是区瞒域。按定渗义2、3有解：瓶同上珠。（2）判月定二测重极惧限不怖存在览的两馋种方韵法。方法1：方法2：解：解：（3）能谣否用覆极限墨坐标抄变换呆求二饮重极铃限？答：箩不行紫。则有分析撕：第1粉讲要多元眯函数糠的连满续性1.强1.钥解析草几何苹问题虫1拐.2红.多振元函膝数的狂极限胳问题；烤1.拖3.故多元衔函数鹿的连续窜性问倦题；1.傲4.兽多元样函数剂的偏距导数蛛与微亦分问优题；定义词1（打二元嚼函数兴连续导性）1.尘二元卵连续苦函数性质泼1基本床初等铁函数卵在定驴义域启内是他连续饰的。性质枯2连续欢函数仍的和驻、差响、积洁、商句（分梨母不爱等于洽零）布是连白续的芽。性质蜂3连续斧函数漏的复筋合函穗数是茎连续班的。性质粮4多元忆初等疮函数江在定驶义域断内是津连续误的。定义奋2绩函众数不哥连续贱的点显称为章间断小点。例1讨论窜函数在(0来,0绸)的连夜续性屠．解取其值商随k的不肉同而会变化歌，极限定不存秋在．故函堡数在(0饰,0委)处不缝连续扶．例2讨论燥下列左函数恼的连催续性解例3.求粮下列纠极限解问题3连续使的定刘义问忘题。（1）两风种定遥义的妹比较他。定义1：定义2：注：定义1只是增在定引义域链内点葱上定慕义了桐连续谁性，贱而定微义2可以是内龄点、派边界冶点。A可以义是区储域也嫩可以往是更心一般勒的集才合。分析：用笛定义2可知洒在（0，0）点辈连续乖。答：侍不一腔定。分析缸：2.匙二元强连续使函数钓的性域质性质帅1（最蛮大值拿定理殿）有界特闭区脸域上的裙连续购函数牢在区切域值与筒最小累值。上必膜能取丑得最颗大性质郑2（介爱值定让理）有界侄闭区全域上的临连续盗函数侮在区见域介于改最大栏值与窑最小秩值之破间的束任何鄙值。上必鼠能取情得第1舰讲饱多元插函数趴的连踢续性1.烛1.锯解析袭几何洽问题倦1鹊.2盛.多告元函昌数的闷极限怒问题；逐1.盟3.班多元阳函数袜的连续含性问缸题；1.鸭4.皇多元辣函数献的偏苗导数妨与微唐分问弦题；1.乌多元仙函数皇的偏摊导数所有惕偏导伸数都帆存在孕时，虾称函炒数可偏序导2.雕方向桑导数胁与梯斜度3.绣高阶运偏导剩数定理嘉1缩慧函所数二千阶导眼数连西续，型则4.抱全微繁分定理寺2导树5.独复合认函数马求导遮法多元裙函数嚷连续钓、可辱导、烫可微炉的关但系函数可微函数连续偏导数连续函数可导问题4关于遮方向杰导数稻的问间题。（1）两毒种定宏义的祖比较时。定义1：定义2：条件缎同上编。则方纱向导润数定哥义：则方词向导游数定信义：按定划义1，偏倡导数念不存冈在，但沿乞任一露方向跌的方帐向导候数都蹲存在摧。1）两事者的卡差异子是单筐侧导渗数与纲双侧甜导数锋。2）按况定义2，偏渐导数速是它讯的一励种特紫例。按定别义1，偏鬼导数溪与方胞向导善数不杯同。分析说：（2）可眯微是后方向齐导数剥存在吹的充截分条裁件。定理系：1）可乏微只些是充奋分条挖件。证明野函数滨在（0,贺0）点弓沿任释一方蓝向的宽方向晴导数禁均存播在，喜但不稿可微缴。证明阅：所以瞒，不滑连续岩，故期不可让微。2）不美可微浓时，川方向测导数脾不能糖用计懂算公呢式求患。解：如果壤按公洽式，，得问题5关于伸梯度定义侦：其方脂向为啊方向其模嘴等于挨该点接处方浮向导流数的团最大听值。梯度承的计千算公口式：梯度