【现代投资组合】-简单的自回归模型

第四节简单的自回归模型1、AR(1)模型定义：若时间序列满足：，其中是均值为0，方差为的白噪声序列，则称为一阶自回归模型或简称AR(1)模型。【注1】是因变量，是自变量【注2】AR(1)模型类似于简单线性回归模型，但也存在一些差异。【注3】已知过去收益率的条件下，即：与无关，这是AR(1)的马尔可夫性。2、AR(1)模型性质：(1)AR(1)平稳〈=〉(2)AR(1)的ACF3、AR(2)模型(1)定义(2)AR(2)的ACF(3)ACF满足二阶差分方程(4)特征根(5)AR(2)模型平稳〈=〉它的两个特征根的模都小于1，即特征方程的两个解的模都大于1（6）若AR(2)模型平稳，衰减0，衰减的形式看AR(2)的特征根的虚实，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦和余弦波形衰减。4、AP(p)模型定义：【注1】滞后算子、向后推移算子、时滞算子、延迟算子：对任何时间序列和无穷级数，只要级数在某种意义下收敛（几乎处处收敛，依概率收敛等）就定义：并且称L是时间t的向后推移算子【注2】引入滞后算子，模型可以写为：【注3】模型对应的多项式方程为：【注4】AR(p)模型平稳〈=〉特征方程的所有解的模都大于1【注5】意义：要求平稳，才与金融，经济意义相符合随着的增大，衰减为0【注6】AR(p)模型的性质：求期望，协方差5、建立AR(p)过程（1）定阶：①PACF:对于一个平稳模型，求出滞后k阶自相关系数时，实际上得到的并不是与之间单纯的相关关系。因为这个还会受中间个随机变量的影响，即这个随机变量既与又与具有相关关系。为了能单纯测量与之间的相关关系，引进时间序列偏自相关函数，简记为PACF，从定义可以看出，间隔为2的PACF所表示的是：在AR(1)模型基础上添加的对的贡献，表示的是在AR(2)模型上添加的对的贡献，因此，对一个AR(p)模型，间隔为p的PACF不应为0，而对所有j>p，应接近于0，我们利用这一性质来决定阶p结论：AR(p)模型，ACF拖尾，呈现有稳步下降的递减趋势PACF截尾，当间隔>p，会出现PACF的值突然变为0对于平稳高斯AR(p)模型，可以证明PACF有如下性质：①当样本容量T趋于无穷时，收敛于②对>p，收敛于0③对>p，的渐近方差为②信息准则信息准则的计算都基于对数收益率的似然函数结论：使用AIC准则定阶，对=0,1,2，‥‥，P，其P为事先给定的一个正整数，然后选择阶k，使得AIC达到最小值另外一个信息准则BIC(l)在实际应用中，不同的方法会得到不同的阶数p,但还没有证据表明一种方法就比另一种方法好对给定的时间序列数据选择一个AR模型时，还有两种因素起重要作用，即所研究问题的具体信息和模型的简单性。(2)参数估计（条件最小二乘）（3）模型的检验对实际数据所拟合的模型，要仔细验证它的合理性，若模型是合理的，则其残差序列应为白噪声序列用Q(m)进行检验，修正了自由度，服从自由度为m-g的卡方分布，g是所用模型中AR系数的个数，因为从拟合AR(0)模型到拟合AR(p)模型，对残差的限制个数增加了。例如，如果某些被估AR系数与0没有显著差别，则我们应该去掉这些不显著的参数，以此对模型进行简化，如果残差显示出额外的序列相关性，则应考虑到这些相关系数而对模型进行扩展。（4）拟合优度

越大，模型拟合的越好，该结论只对平稳时间序列成立，对于单位根非平稳序列，当样本容量趋于无穷时，无论实际服从一个怎样的模型，对其拟合一个AR(1)模型时，均趋于1AIC准则第一项度量的是AR(l)模型对数据的拟合优度，第二项称为准则中的惩罚函数，因为它用参数的个数来惩罚所用的模型，不同的惩罚函数导致不同的信息准则。L表示参数个数，l越小意味着模型简洁T样本容量，T越大，模型越精确。AIC在模型评价时，兼顾了简洁性和精确性。然而，是所有参数个数的非降函数，因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少，至少不会增加，这就感觉，要使模型拟合的好，只要增加解释变量即可，但是现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的的增大与拟合好坏无关，因此，不是一个合适指标。选用修正以后的Adj--=1—残差的方差／的方差6、AR(p)模型的预测预测是时间序列分析中的一个重要应用。假定在时间指标为h的点上，预测，指标h为预测原点，正整数称为预测步长，设为的最小均方误差预测，即其中g是h时刻（包括h时刻）所得到的信息的函数，即g是的函数，为的以h为预测原点的向前步预测，为在预测原点所得到的信息集合。在均方损失函数下，给定，的点预测为条件期望先讨论，对应的预测误差对于线性时间序列模型的定义，也是以h为预测原点的向前1步预测误差，也是h+1时刻序列的扰动，从而可得的95%的向前1步区间预测可证，