世纪金榜二轮专题辅导与练习专题五第三讲

第三讲用空间向量的方法解立体几何问题一、主干知识空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示:设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α,β的法向量分别为=(a3,b3,c3),

=(a4,b4,c4).(1)线线平行:l∥m⇔a∥b⇔a=kb⇔___________________.a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(2)线线垂直:l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=__⇔_______________.(3)线面平行:l∥α⇔a⊥⇔a·

=__⇔_______________.(4)线面垂直:l⊥α⇔a∥⇔a=k

⇔___________________.(5)面面平行:α∥β⇔∥⇔=k⇔___________________.(6)面面垂直:α⊥β⇔⊥⇔·=__⇔_______________.a1a2+b1b2+c1c2=00a1a3+b1b3+c1c3=0a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3a3=ka4,b3=kb4,c3=kc40a3a4+b3b4+c3c4=00二、必记公式1.异面直线所成的角:设a,b分别为异面直线a,b的方向向量,则两异面直线所成的角θ满足cosθ=__________.2.线面角:设l是斜线l的方向向量,n是平面α的法向量,则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ=_________.3.二面角:(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=________.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=______________________.提醒:求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,解答时要结合图形分析.-cos<n1,n2>或cos<n1,n2>1.(2013·金华模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正三棱柱的棱长为2,A(0,-1,0),B1(0,2),则O(0,0,0),B(0,0),则为侧面ACC1A1的法向量,2.(2013·临沂模拟)过正方形ABCD的顶点A,引PA⊥平面ABCD.若PA=BA,求平面ABP和平面CDP所成的二面角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为故所求的二面角的大小是45°.3.(2013·常州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=M是CC1的中点,求异面直线AB1与A1M所成的角.【解析】建立空间直角坐标系如图所示，易得所以所以所以即AB1与A1M所成的角为90°.4.(2013·宿迁模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．(1)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值.(2)若二面角D-AP-C的余弦值为求PF的长度．【解析】(1)因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以B(1,0,0)，所以所以即异面直线BE与CP所成角的余弦值为(2)因为AB⊥平面ADP，所以平面DAP的一个法向量为n1=(1,0,0)．设P点坐标为(0,2－2t,t)，在平面APC中，(0,2-2t,t)，(1,2,0)，所以平面APC的一个法向量为所以解得t=或t=2(舍)．所以PF=热点考向1利用向量证明空间的平行、垂直关系【典例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F,求证:(1)PA∥平面EDB.(2)PB⊥平面EFD.【解题探究】(1)用空间向量怎样证明线面平行?提示:可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)用空间向量怎样证明线面垂直?提示:只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可.【证明】如图犁所示峡建立武空间款直角侵坐标个系,D为坐臣标原封点,设DC喘=a约.(1顷)连结AC交BD于G,连结EG贯.依题俘意得A(碌a,枣0,款0)侨,P址(0垦,0饼,a赔),派E因为愤底面AB物CD是正浇方形,所以G是此话正方界形的也中心,故点G的坐貌标为所以雅则PA惑∥E拖G.而EG⊂平面ED岗B且PA⊄平面ED慨B,所以PA汽∥平面ED出B.(2捆)依题活意得B(棍a,它a,馒0)吼,课=(a,惠a,-圣a)饱,又故所以PB拼⊥D往E.由已瞎知EF⊥PB，且EF∩DE枣=E，所方以PB⊥平面EF顿D.【方法岸总结】1.用向蛋量法员证明扩空间恶的线脱线、并线面俱、面牢面平袭行关矿系的疼思路(1洗)设a,正b是两吗条不傅重合袄的直抖线，报它们岭的方盼向向阅量分户别为a,b,那么a∥虏b⇔a∥b.(2意)平面姐与平叙面平最行可幸以转江化为愧两个浪平面满的法强向量番平行.(3黄)直线允与平帝面平辜行可接以转疼化为静证明役直线侨的方光向向匙量与笔平面纱的法预向量禁垂直束，也枣可以温通过捐证明棍直线犁的方肾向向国量与洪平面今内两阅个不吗共线炉的向谷量共配面来羊证明术直线利与平搭面平真行.2.空间维的线蜓线、克线面堵、面料面垂杏直关健系转擦化为蓄空间虫两个挡向量衡垂直问题副的思葛路(1史)设a,b分别波为直销线a,设b的一伙个方缓向向抖量，卵那么a⊥纲b⇔a⊥b⇔a·b=0缴;(2嚷)设a,b分别什为平捏面α,泛β的一碌个法孤向量钞，那柔么α⊥移β⇔a⊥b⇔a·b=0睬;(3突)设直隶线l的方很向向少量为a,平面α的法脏向量亲为b，那织么l⊥α⇔a∥b，此雀外，费也可女证明l的方蔽向向丹量与吃平面α内两辞条相兄交直线猴所对件应的书方向租向量轻垂直.【变式散训练】如图朵，已落知AB敢CD是边云长为2的正趟方形窄，DE总⊥平面AB角CD，BF宁⊥平面AB呈CD，且FB号=2幼DE警=2厨.求证颂：平朗面AE吸C⊥平面AF穿C.【证明】建立馒如图骆所示产的空剖间直穷角坐境标系洞，所以D(语0，0，0)，E(滚0，0，1)，A(骨2，0，0)，C(怠0，2，0)，F(环2，2，2)，所以=(跳-2，0，1)，=(蝇0，2，-1镰)，=(泰0，2，2)，=(掌-2，0，-2尿).设m为平设面AE点C的一横个法垫向量庭，m=(群x1,y1,z1)，设n为平锐面AF评C的一凤个法帅向量照，n=(储x2,y2,z2),co伞s〈m，n〉=所以m⊥n.所以朴平面AE齿C⊥平面AF累C.热点守考向2利用荣空间焰向量参求线遍线角梨、线听面角【典例2】(2妻01府3·郑州渡模拟)如图,已知怒点P在正省方体AB谈CD-A'B'C'D'的对放角线BD'上,∠习PD洞A=脸60成°.(1捕)求DP与CC'所成冷角的视大小.(2偏)求DP与平搁面AA'D'D所成各角的化大小.【解题摊探究】(1废)解答最本题掉直接遮求寻的坐殿标不动易求德，应声如何蓄转化匙？提示缠：延长DP交B′欲D′于H，转焰化为隙求DH与CC另′所成较的角.(2叔)直线CC比′的方裳向向白量与葛平面AA俘′D陆′D的法探向量柿能直估接确沸定坐标询吗?提示侄：能直徒接确毛定,以D为原猴点，DA所在闸直线违为x轴建肠立空雾间直角坐即标系认后，算设正贴方体凑棱长跑为1，直滩线CC雕′的方扎向向伙量为=(束0,叛0,私1)朱,平面AA己′D乐′D的一该个法雪向量凯是=(索0，1，0)芝.【解析】如图躲，以D为原亭点，DA所在雕直线患为x轴，哨建立狠空间袋直角坐标伪系,设正凳方体杰棱长玩为1，则=(尿1,精0,衫0)坡,脆=(禁0，0，1)虚.连结BD什,B夕′D餐′，在浅平面BB桌′D搅′D中，信延长DP交B′动D′于H.设=(汇m,晶m,别1)酸(m语>0抛),由已弃知由可得(1繁)因为所以即DP与CC菊′所成霞的角恳为45槐°.(2割)平面AA滴′D还′D的一吧个法魂向量敞是=(或0,黑1,谷0)．因为所以可得DP与平托面AA哭′D移′D所成搅的角命为30抽°．【方法直总结】1.利用技空间连向量限求空颤间角翼的一蹲般步混骤(1叮)建立予恰当准的空膝间直检角坐老标系.(2柏)求出单相关理点的跪坐标,写出系相关伟向量尾的坐惰标.(3抚)结合首公式宅进行滨论证赏、计肝算.(4耻)转化灵为几达何结忍论.2.利用窃空间仁向量折求线泳线角遥、线围面角总的思习路(1谁)异面贩直线越所成旦的角θ,可以炊通过荣两直佩线的按方向废向量控的夹命角φ求得免，即co您sθ=｜co险sφ｜.(2符)直线临与平剩面所吉成的赛角θ主要偷通过器直线奥的方靠向向吨量与象平面偏的法向饱量的陵夹角φ求得脉，即si隐n饱θ=｜co泛sφ｜.【变式双训练】(2勉01足3·新课妖标全惕国卷Ⅰ)如图马，三珠棱柱AB愉C-也A1B1C1中，CA态=C呢B，AB震=A市A1，∠BA屿A1=6烟0°颠.(1咱)证明AB殊⊥A1C.(2汽)若平住面AB征C⊥平面AA1B1B，AB被=C诱B,求直阴线A1C与平取面BB1C1C所成轨角的贸正弦剂值.【解析】(1误)取AB的中涂点O,连结OC师,O户A1,A1B.因为CA涛=C死B,所以OC妥⊥A掌B.由于AB汽=A贯A1,∠林BA初A1=6项0°券,故△AA1B为等观边三欣角形,所以OA1⊥A获B.因为OC页∩O纷A1=O摔,所以AB蔽⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB枯⊥A1C.(2益)由(1挣)知,O梳C⊥破AB球,O宇A1⊥A膀B,又平寻面AB且C⊥平面AA1B1B,交线夹为AB歪,所以OC沟⊥平面AA1B1B,故OA堆,O泉A1,O背C两两宪相互臭垂直.以O为坐斑标原杠点,的方合向为x轴的绢正方昼向,建立徒如图东所示兰的空间卖直角汤坐标屑系,设|底|=傍1.由题警设知A(畏1,验0,追0)务,A1(0国,阁,0愁),C(价0,键0,第),拣B(途-1睛,0灰,0允).则=(桶1,蒸0,际),笑=坚=(辨-1坑,厚,丸0)鼓,=(套0,匀-代,社).设平浇面BB1C1C的法盼向量醋为n=(x,述y,蚁z)，则有可取n=(井1夕,-肆1)亚.故所以侨直线A1C与平括面BB1C1C所成涨角的壮正弦却值为热点堵考向3利用颤空间支向量豪求二态面角【典例3】(2鸣01狐3·江苏沈高考)如图,在直喇三棱往柱A1B1C1-AB筹C中,A现B⊥旷AC略,A残B=悦AC骄=2追,A1A=新4,点D是BC的中萄点.(1该)求异滩面直悼线A1B与C1D所成赏角的末余弦米值.(2贪)求平迟面AD痕C1与平狗面AB族A1所成粘二面屋角的胸正弦愈值.【解题崖探究】(1穿)结合抗题设除条件,如何抬建立炸适当悟的空爬间直赵角坐亡标系?提示:由题耽意知AB询,A汉C,除AA1两两肥互相使垂直,故以A为原浙点,A吃B,AC剃,A井A1分别肠为x轴,y轴,z轴建习立坐季标系辆较适丸当.(2济)如何首应用宁空间棉向量豆求两墨个平谣面所孩成二杰面角颂的正裁弦值?提示:用两兴个平完面的任法向岩量来扭求.【解析】(1雪)以A为坐驳标原蜘点,建立景如图晃所示让的空扩间直特角坐辟标系,则A(茄0,左0,奶0)哄,B(超2,棉0,级0)抖,养C(沟0,块2,庸0)帆,期D(娃1,姜1,势0)锐,A1(0染,0底,4宋),埋C1(0滑,书2,呼4隶),所以=(品2,钞0,贞-4东),进=(1边,-企1,威-4荒).因为所以杀异面六直线A1B与C1D所成鸦角的载余弦职值为(2君)设平五面AD集C1的法夫向量庙为n1=(衬x,地y,红z)耀,因为=(吸1,抚1,歼0)闹,=(愤0,堡2,刻4)微,所以n1·算=0聋,n1·鹅=0，即x+军y=结0且y+雄2z督=0得,取z=送1,得x=且2,问y=猫-2善,所以n1=(梳2,相-猾2,兰1障)是平面AD初C1的一鹿个法野向量.取平晕面AB汽A1的一河个法新向量周为n2=(0姻,离1,集0永),设平毅面AD宏C1与平垂面AB富A1所成棉二面浓角的播大小恰为θ.由因此,平面AD希C1与平练面AB烧A1所成倾二面奥角的逃正弦愿值为【方法控总结】1.向量滨法求旦二面草角的单思路二面必角的祥大小责可以乌利用吨分别亏在两打个半径平面截内与浸棱垂票直的挤直线蚂的方赴向向蛛量的按夹角(或其枕补角)或通养过二板面角都的两治个面音的法芝向量哪的夹俩角求夕得，净它等焦于两覆个法际向量桂的夹碧角或弯其补央角.2.求平跨面的张法向狂量的滔方法(1喘)待定重系数证法：萄设出哀法向韵量坐跪标，体利用挖垂直共关系余建立循坐标泊的方立程求启解.(2塔)先确穷定平柿面的器垂线米，然械后取依该垂按线对百应的欣向量寄，即棚确定芳了平伙面的件法向鸦量.【变式降训练】如图会，水在矩洽形AB霞CD中，摸点E，F分别薪在线佩段AB，AD上，AE笼=E捡B=帐AF缩慧=村F论D=腥4.沿直超线EF将△AE茂F翻折释成△A′姜EF，使平伸面A′板EF芽⊥平面BE利F.(1老)求二伤面角A′擦-F援D-各C的余每弦值.(2赏)点M，N分别警在线珍段FD，BC上，若沿朱直线MN将四敞边形MN婚CD向上爹翻折敏，使C与A′重合值，求携线段FM的长.【解析】(1顺)取线暮段EF的中袄点H，连挡结A′软H，因桂为A′英E=邪A′泻F及H是EF的中务点，挑所以A′主H⊥梢EF强,又因参为平厘面A′板EF脸⊥平面BE饱F，所以A′版H⊥平面BE肆F.如图费建立正空间塑直角拆坐标筒系，橡则A′谊(2，2，)，C(足10，8，0)，F(刃4，0，0)，D(腊10，0，0)组.故设n=(x,梯y,屋z)为平脊面A′唤FD的一州个法袭向量尚，所以取又平压面BE罚F的一筒个法感向量m=(概0,饺0,粘1)，故co号s〈n,m〉=所以岔二面唤角的白余弦症值为(2孔)设FM威=x,宫BN=a，则M(厚4+化x,赴0,捐0)，N(客a,鸟8,尤0)，因为啦翻折虹后，C与A′重合载，所以CM偏=A倍′M，CN能=A拦′N，热点刮考向4利用嚷空间大向量醒解决桶探索逢性问能题【典涌例4】(2怖01野3·长沙摔模拟)如图歌所示事，在霞正方渴体AB换CD夫-五A1B1C1D1中，E是棱DD1的中扮点.(1屋)求直墙线BE和平涝面AB蜘B1A1所成让的角闻的正苦弦值.(2培)在棱C1D1上是预否存茫在一恶点F，使B1F∥平面A1BE？证飘明你捧的结论.【解题徒探究】(1贡)平面AB田B1A1的法而向量殿能直经接确殊定吗?提示:可直滚接确秃定,向量辽是臂平面AB偏B1A1的一享个法衬向量.(2厕)假设旷在棱C1D1上存骆在一患点F,使B1F∥平面A1BE找,则可著得到铸什么逐等量星关系?提示:直线B1F的方卷向向岁量与跌平面A1BE的法搬向量铁的数腐量积修为零.【解析】设正尝方体困的棱塔长为1.如图叉所示序，建立裤空间牲直角讯坐标尝系.(1良)依题速意，宴得B(讨1,多0,霸0)样,A(材0,防0,罪0)暖,D柿(0烟,1护,0占)，所以在正美方体AB屡CD头-A1B1C1D1中，仓因为AD前⊥平面AB煤B1A1,所以霜是硬平面AB沸B1A1的一个个法振向量宝，设直录线BE和平木面AB施B1A1所成央的角喂为θ，则si弓n炒θ=即直洋线BE和平扯面AB处B1A1所成养的角靠的正然弦值槽为(2巴)依题乞意，括得A1(0羞,0可,1暑),你=(悟-1胡,0怒,1咽),设n=(书x,批y,闭z)是平璃面A1BE的一包个法留向量馅，则由毙得所以x=沈z,田y=诵z.取z=树2,得n=(绪2,脉1,撑2)柜.设F是棱C1D1上的主点，势则F(钉t,秀1,恭1)悠(0穷≤t哨≤1亩).又B1(1伞,0筐,1肌)，所以=(疫t-狐1,巩1,鹅0)浇.而B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n=0⇔(t党-1勇,1凉,0兔)·循(2怖,1读,2滚)=请0，得2(氏t－1)沙+1限=0，解魂得陶所以F为C1D1的中朗点，日这说攻明在淹棱C1D1上存塑在点F(活C1D1的中爷点)，使B1F∥平面A1BE抄.【方法炸总结】利用休空间玩向量诉巧解铁探索过性问赶题(1烤)空间模向量群最适污合于裁解决筛立体悼几何震中的泉探索挑性问蠢题，荒它无坏需进兔行复己杂的澡作图弄、论表证、植推理误，只始需通全过坐嫁标运蹈算进腐行判火断.(2车)解题肉时，汉把要览成立燥的结齿论当敞作条茄件，冻据此乔列方毁程或露方程裕组，香把“飘是否召存在雅”问络题转绕化为评“点驱的坐简标是挑否有雄解，眯是否镰有规圣定范夹围内舰的解享”等仁，所援以为扇使问璃题的连解决帜更简惯单、舞有效遗，应走善于攻运用根这一蹄方法珠解题.【变式浑训练】(2黎01侦3·北京蝴高考)如图责，在巡寿三棱眼柱AB弓C-蛾A1B1C1中，AA1C1C是边责长为4的正胳方形.平面AB确C⊥平面AA1C1C，AB阿=3，BC指=5钱.(1病)求证餐：AA1⊥平面AB项C.(2次)求二惯面角A1-B伯C1-B1的余袍弦值.(3秧)证明肝：在晓线段BC1上存祸在点D，使妨得AD洞⊥A1B，并竿求咳的终值.【解析】(1笨)因为A1AC趁C1是正妹方形,所以AA1⊥A众C.又因魔为平匆面AB磨C⊥平面A1AC皂C1,交线雄为AC苏,所以AA1⊥平面AB背C.(2摩)因为AC扁=4梦,B块C=荡5,牙AB族=3录,所以AC2+A案B2=B疼C2,所以AC练⊥A搬B.分别蜻以AC浴,A澡B,烘AA1所在放直线钓为x轴,y轴,z轴建衰立如工图所哈示的空间碍直角归坐标荡系.则A1(0秀,0痛,4残),必B(承0,毯3,惜0)范,C1(4刚,0皂,4组),件B1(0平,3锤,4可),=(干4,呀0,温0)踢,甜=搜(0典,3菊,-胶4)漂,=(急4,卸-3僻,0圣),遮=(旦0,鸟0,怎4)将,设平水面A1BC1的法矛向量词为n1=(氏x1,y1,z1)，平狗面B1BC1的法名向量核为n2=(石x2,y2,z2)，所以由图溪可知圈二面浪角A1-B幼C1-B1为锐毛角，违所以馋其余兄弦值俯为(3侍)设点D的竖袖坐标瓦为t(所0<初t<懂4)，在溜平面BC储C1B1中作DE矩⊥B获C于E,根据乳比例意关系角可知D(各t,倘(4－t)温,t滴)(终0<早t<广4)，所萄以(t卧,镇(甚4－t)倦,t坝),申=(认0,支3,－4)，又因泼为竿所以(4－t)－4t批=0狗,所以所以转化暖与化律归思阳想——利用树空间警向量孙解决笨空间区位置叔关系借及求丧角问绒题【思想种诠释】1.主要聋类型:(避1)空间休中平比行或缴垂直默关系揉的证东明.(敏2)求空僵间角,如求窄二面则角的艳大小.(志3)判断竭点的纽奉存在套性问叶题.2.解题应思路:利用司空间严向量总解决轨立体混几何金问题戚的方炎法,把所双求问型题转堤化为蒙空间陈向量碎的数递量积篇问题.3.注意位事项:(校1)利用准空间御向量青求异景面直脚线所痕成的缎角时,应注奸意角盘的取安值范般围.(2造)利用级空间肾向量灶求二谋面角择时,应注脚意观螺察二带面角奴是锐刺角还傻是钝滚角.【典例】(1种4分)(挨20尖13堡·黄冈鹊模拟)如图,正方塞形AD较EF与梯猛形AB逝CD所在舞平面互旨相垂坦直,A贺D⊥把CD敢,A秧B∥宽CD件,A龟B=苹AD屿=注C脸D=默2,点M在线熊段EC上且不与E,炎C重合.(1更)当点M是EC中点蒙时,求证:B舒M∥平面AD伤EF牢.(2吸)当平怀面BD天M与平体面AB扎F所成均锐二房诚面角点的余渠弦值始为约时,求三扮棱锥M-BD体E的体猪积.【审题】分析苏信息鉴，形获成思平路(1识)切入卷点：桑利用礼与轨平面AD电EF的法腐向量碑垂直跟求解.关注湖点：稠注意脊法向晶量的菌选择.(2挡)切入拜点：取从设坝出点M的坐鄙标入鲜手,分别篇求出浅两个胜平面健的法丘向量.关注蜘点：筐注意请点M的坐谣标的动设法.【解题】规范包步骤录，水蚕到渠辱成(1赔)以DA，DC，DE所在档直线众分别挖为x,握y,馆