2017全国初中数学联赛初二卷(同名10385)

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460

5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.B.C.D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.使得等式成立的实数a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.

则△ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得.所以梯形ABCD的面积为.

6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90°至△CGB，则ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，∴EG=ED.设DE=x，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt△EAD中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.使得等式成立的实数a的值为________.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得.令，则x≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0,x2=3,x3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.答案：20°对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：∵θ≤100°-C，θ≤C-B，θ≤B-A∴θ≤［3（100°-C）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到.则θ的最大值为20°.9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为________.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为质数，所以可得a=b=1，p=4，不是质数舍；可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为，考虑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.

第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N)，则B=10b+a，由A,B不同得a≠b，A2-B2=（10a+b）2-(10b+a)2=9×11×（a+b）(a-b). ………5分由A2-B2是完全平方数，则a＞b，，可得a+b=11， ………10分a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4. ………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解.因此a=6，b=5，A=65. ………20分二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF、PD都在△DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD，则自然可以得到结论.解析：由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可得∠EDF=90°. ………5分由BE⊥DE得BE∥DF，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC，∠BED=∠DFC=90°，则△BED≌△DFC，BE=DF. ………15分得四边形BDFE是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP，EP=PD. ………20分又△EDF是直角三角形，∴EF=2PD. ………25分三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值