第一章行列式

第一章行列式

Determinant行列式的概念来源于线性方程组的求解，它是线性代数的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算以及利用行列式求解线性方程组的克拉默(Cramer)法则.§1.1

数域与排列数域限定了本书中数的取值范围；排列为给出行列式的定义做准备.数域的定义现象：同一个问题在不同的数的取值范围内可能会得到不同的结果.在实数范围内无解；在复数范围内有解.定义设是至少含有两个不同复数的数集，如果中任意两个数的和、差、积、商(分母不为0)的结果仍在中，则称是一个数域.数域就是一个对四则运算封闭的数集.例考察整数集、有理数集、实数集、复数集哪些是数域？有理数域、实数域、复数域、整数环数域的性质性质1任意数域包含0和1.性质2任意数域包含有理数域.约定今后线性代数中的问题都是限定在某一数域中讨论.In

mathematics,a

rationalnumber

isany

number

thatcanbeexpressedasthe

quotient

or

fraction

p/q

oftwo

integers,a

numerator

p

andanon-zero

denominatorq.元排列的定义定义由自然数组成的一个有序数组称为一个元排列.一元排列：二元排列：三元排列：元排列有个

称为自然排列或者标准排列.逆序定义在一个n元排列中，按照排列中的顺序任取两个数.如果，则称构成一个逆序.

例在排列51423中，51423逆序逆序逆序问在排列51423中，除了51,54,42，还有没有其他的逆序？解

除了51,54,42，还有逆序：52,53,43逆序数与奇偶排列定义

n元排列中，所有逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作.例在排列51423中，所有逆序为51,54,52,53,42,43，逆序数为6.定义逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.思考题自然排列是奇排列还是偶排列？逆序数的计算方法则此排列的逆序数为设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，先看有多少个比小的数排在后面，记为；再看有多少个比小的数排在后面，记为;……最后看有多少个比小的数排在后面，记为;例求6元排列453162的逆序数.解例求n元排列的逆序数.解对排列的操作—对换定义

把一个排列中某两个元素的位置互换，而其余元素的位置不动，就得到一个新的排列，这种变换称为对换.5142352413(1,2)问题

对换对排列的奇偶性有什么影响？偶排列奇排列现象一次对换改变了排列的奇偶性.对换与排列奇偶性的关系定理

排列中任意两个元素作对换，排列改变奇偶性.证

先考虑相邻对换.当时，，，.当时，，，.对换与排列奇偶性的关系定理

排列中任意两个元素作对换，排列改变奇偶性.证

再考虑一般情形.m次相邻对换m+1次相邻对换推论

奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，

偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.推论在全部n元排列中，奇偶排列个数相等，各有个.因为2m+1是奇数，因此对换改变奇偶性.小结

数域（定义、性质）常见数域：有理数域、实数域、复数域

元排列

定义

逆序（数）：奇排列与偶排列

逆序数的计算

对换与排列奇偶性的关系

§1.2

行列式的定义行列式的概念来源于线性方程组的求解，它是线性代数的重要工具.本节介绍行列式的定义.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解二元线性方程组与二阶行列式其求解公式为二元线性方程组记号

数表

二阶行列式,其值是一个数.

称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j

列.定义二阶行列式的计算—对角线法则主对角线次对角线

二阶行列式等于其主对角线上两元素之积减去次对角线上两元素之积.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组系数行列式上述二元线性方程组的解为例1求解二元线性方程组三元线性方程组是否有类似的结果？三阶行列式的定义如何定义三阶行列式？定义

设有9个数排成3行3列的数表引进记号称为三阶行列式.主对角线次对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式—对角线法则实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.例2

计算行列式解三元线性方程组与三阶行列式三元线性方程组当系数行列式方程组有唯一解：如何定义更高阶的行列式？四阶、五阶、六阶、……对角线法则？行列式（Determinant）的历史以下内容摘录自维基百科：

Historically,determinantswereusedlongbeforematrices:originally,adeterminantwasdefinedasapropertyofa

systemoflinearequations.Thedeterminant"determines"whetherthesystemhasauniquesolution(whichoccurspreciselyifthedeterminantisnon-zero).Inthissense,determinantswerefirstusedintheChinesemathematicstextbook

TheNineChaptersontheMathematicalArt

(九章算術,Chinesescholars,aroundthe3rdcenturyBCE).InEurope,

2×2

determinantswereconsideredby

Cardano

attheendofthe16thcenturyandlargeronesby

Leibniz.InJapan,

SekiTakakazu

(関孝和)iscreditedwiththediscoveryoftheresultantandthedeterminant(atfirstin1683,thecompleteversionnolaterthan1710).InEurope,

Cramer

(1750)addedtothetheory,treatingthesubjectinrelationtosetsofequations.分析三阶行列式的本质特征规律：1.共3!=6项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．2.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.3.符号由什么决定？

当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.

123、231、312321、213、132偶排列(+)奇排列(-)n阶行列式的定义定义设有个数排成一个行列的正方形阵列，在正方形阵列的两边用竖线括起来其中表示对所有n元排列求和.

n阶行列式，其值是一个数.n阶行列式的定义n阶行列式等于其所有取自不同行、不同列的n个元素乘积的代数和

(共项，其中一半取正号，一半取负号).

简记作

或其中称为行列式的元素.注：1.当时，不再有相应的对角线法则;2.一阶行列式与绝对值的区别.

例3

计算n阶行列式例4

已知函数,求和的系数.例5

试判断和是否都是六阶行列式中的项.特殊行列式上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）特殊行列式对角行列式n阶行列式定义的另一种形式其中表示对所有n元排列求和.

其中表示对所有n元排列求和.

§1.3

行列式的性质为什么学习行列式的性质？原因一：简化行列式的计算；原因二：这些性质在行列式的理论研究中发挥着重要作用.行列式的转置(transpose)行列式称为行列式的转置行列式(或记为).若记，则.记性质1

行列式与它的转置行列式相等,即.性质1

行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记，则行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质，对列也成立，反之亦然.性质2

互换行列式的两行(列),行列式变号.例于是推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零.证明互换相同的两行，有，所以.

备注：交换第行（列）和第行（列），记作.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记备注：第行（列）乘以，记作.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行(列)提出公因子，记作.我们以4阶行列式为例.性质4

行列式中如果有两行(列)元素对应成比例，则此行列式为零．性质5

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则其等于两个行列式之和.则例如：例计算性质6

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．则验证我们以三阶行列式为例.记备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作例1

计算计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值．例2

计算阶行列式例3

计算阶行列式例4

计算阶行列式反对称行列式反对称行列式定义为：特征：主对角线元素全为0，其余元素关于主对角线互为相反数.性质

奇数阶反对称行列式的值为零.小结

行列式的六条性质（熟练掌握）

计算行列式的常用方法:(1)利用定义(适用于特殊行列式，比如有很多0)；(2)化为上三角形行列式.§1.4

行列式按行(列)展开本节主要考虑如何用低阶行列式表示高阶行列式.引入结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？余子式与代数余子式例如

把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划掉后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.的余子式与代数余子式：引理一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如

即有又从而下面再讨论一般情形.分析

当位于第1行第1列时,（为什么？）以4阶行列式为例.

被调换到第1行，第1列思考：能否以，再代替上述行、列变换？答：不能.行列式按行(列)展开定理定理1

阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或备注这个定理叫做行列式按行(列)展开法则.利用此法则，结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.证：行列式按行按列展开法则主要在于“降阶”.值得指出的是，只有当行列式某行(列)中含有较多的零时，按此行(列)展开才能达到有效化简的目的.例1计算范德蒙德行列式

(Vandermonde，French，1735-1796)表示满足条件的所有因子相乘.

证明用数学归纳法所以n=2时成立.假设对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有

n−1阶范德蒙德行列式例

证明思考题定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证定理1

阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理2

阶行列式的某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得例

已知行列式，求例

设,求§1.5

克拉默法则GabrielCramer(1704-1752,Swiss)克拉默法则(Cramer’s

rule,1750)定理如果线性方程组的系数行列式不等于0，即克拉默法则(Cramer’srule,1750)则线性方程组(1)有解且解是唯一的：其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即克拉默法则(Cramer’srule,