数学《学案导学与随堂笔记》人教A版四文档：第一章 三角函数1.4.1 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3。理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系。知识点一正弦函数、余弦函数的概念思考从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦）值.这样，任意给定一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应.由这个对应法则所确定的函数y＝sinx（或y＝cosx）叫做正弦函数(或余弦函数），其定义域是R。知识点二几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考1课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的?其基本步骤是什么？答案利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”,其基本步骤如下：①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份。过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，eq\f（π,6)，eq\f(π，3），eq\f（π，2），…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sinx，x∈[0,2π］的图象，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈［2kπ,2(k＋1)π),k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0，2π）的图象的形状完全一致。于是只要将函数y＝sinx，x∈[0，2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sinx,x∈R的图象，如图。思考2如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象?答案把y＝sinx，x∈R的图象向左平移eq\f（π，2)个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图象.梳理正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.知识点三“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考1描点法作函数图象有哪几个步骤？答案列表、描点、连线.思考2“五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈［0，2π]上的图象时是哪五个点？答案画正弦函数图象的五点(0，0)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，1)）(π，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，－1)）（2π，0）画余弦函数图象的五点（0，1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2),0))（π，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π,2），0))(2π,1)梳理“五点法”作正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π］图象的步骤：(1)列表x0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2)2πsinx010－10cosx10－101(2）描点画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象,五个关键点是（0，0),eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，1）），（π，0），eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π，2），－1）），（2π，0）；画余弦函数y＝cosx，x∈［0，2π]的图象，五个关键点是（0,1),eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2)，0））,（π，－1)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，0))，（2π,1)。（3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线、余弦曲线的简图。类型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sinx（0≤x≤2π）的简图。解(1)取值列表：x0eq\f(π,2）πeq\f(3π,2）2πsinx010－101－sinx10121描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图。“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0，2π］内的最高点、最低点和与x轴的交点。“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1用“五点法”作出函数y＝1－cosx（0≤x≤2π)的简图.解列表如下:x0eq\f(π，2）πeq\f(3π,2)2πcosx10－1011－cosx01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图。类型二利用正弦、余弦函数的图象求定义域例2求函数f（x）＝lgsinx＋eq\r(16－x2)的定义域。解由题意，得x满足不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx〉0,，16－x2≥0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx>0，,－4≤x≤4，))作出y＝sinx的图象,如图所示。结合图象可得x∈[－4，－π）∪(0，π）。反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍。跟踪训练2求函数y＝eq\r(log2\f(1，sinx）－1）的定义域.解为使函数有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log2\f(1，sinx）－1≥0，，sinx>0，)）即0〈sinx≤eq\f（1,2）.由正弦函数的图象或单位圆（如图所示），可得函数的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ＋eq\f（π，6）或2kπ＋eq\f（5π,6)≤x<2kπ＋π，k∈Z｝.类型三与正弦、余弦函数有关的函数零点问题命题角度1零点个数问题例3在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数。解建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx,x∈［0,2π]的图象,再向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象。描出点（1，0），（10,1),并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示。由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个.反思与感悟三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用。跟踪训练3方程x2－cosx＝0的实数解的个数是.答案2解析作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知,原方程有两个实数解。命题角度2参数范围问题例4方程sin（x＋eq\f（π,3）)＝eq\f（m，2)在[0，π]上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和。解作出y1＝sin(x＋eq\f（π,3）），y2＝eq\f(m，2)的图象如图，由图象可知，要使y1＝sin（x＋eq\f（π，3))，y2＝eq\f（m，2)在区间［0，π]上有两个不同的交点，应满足eq\f（\r（3),2)≤eq\f（m，2）〈1，即eq\r(3)≤m<2.设方程的两实根分别为x1，x2，则由图象可知x1与x2关于x＝eq\f(π,6）对称，于是x1＋x2＝2×eq\f（π,6)，所以x1＋x2＝eq\f（π，3).反思与感悟准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析.跟踪训练4若函数f（x）＝sinx－2m－1,x∈［0，2π]有两个零点，求m的取值范围.解由题意可知，sinx－2m－1＝0在［0,2π］上有2个根，即sinx＝2m＋1有两个根,可转化为y＝sinx与y＝2m＋1两函数的图象有2个交点.由y＝sinx图象可知，－1＜2m＋1＜1,且2m＋1≠0，解得－1＜m＜0，且m≠－eq\f(1，2）。∴m∈(－1，－eq\f（1，2)）∪(－eq\f（1，2），0）。1.用“五点法”作y＝2sin2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(）A.0，eq\f（π，2），π,eq\f(3π,2），2π B。0，eq\f(π，4)，eq\f(π，2），eq\f（3π,4),πC.0,π,2π，3π，4π D。0，eq\f(π,6),eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π，3)答案B解析“五点法”作图是当2x＝0，eq\f（π，2),π,eq\f（3π,2），2π时的x的值，此时x＝0，eq\f(π,4）,eq\f（π,2）,eq\f(3π,4),π，故选B。2.下列图象中，y＝－sinx在［0，2π］上的图象是()答案D解析由y＝sinx在［0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.3.函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象与直线y＝－eq\f（1,2)的交点有个。答案2解析作y＝cosx,x∈［0,2π］的图象及直线y＝－eq\f(1，2)(图略)，可知两函数图象有2个交点.4。函数y＝eq\r（2sinx－1）的定义域为.答案[eq\f（π，6）＋2kπ，eq\f(5π,6）＋2kπ]，k∈Z解析由题意知，自变量x应满足2sinx－1≥0，即sinx≥eq\f（1，2)。由y＝sinx在［0，2π]的图象,可知eq\f(π，6）≤x≤eq\f(5π，6），所以y＝eq\r（2sinx－1）的定义域为eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π,6）＋2kπ，\f(5π,6）＋2kπ)），k∈Z。5。请用“五点法"画出函数y＝eq\f（1,2）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，6))）的图象.解令X＝2x－eq\f（π，6）,则x变化时,y的值如下表：X0eq\f(π，2）πeq\f(3π，2)2πxeq\f（π，12)eq\f（π，3)eq\f(7π，12)eq\f（5π,6）eq\f（13π,12）y0eq\f（1,2)0－eq\f（1,2)0描点画图:将函数在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π,12），\f(13π,12））)上的图象向左、向右平移即得y＝eq\f（1，2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6)））的图象。1。对“五点法”画正弦函数图象的理解(1）与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.（2）正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点。2.作函数y＝asinx＋b的图象的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出。课时作业一、选择题1。对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是(）A.向左右无限伸展B。与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称答案D解析由正弦曲线知，A，B，C均正确，D不正确.2.用五点法画y＝sinx，x∈［0，2π］的图象时,下列哪个点不是关键点（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，6）,\f（1,2)）） B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，1））C。（π，0） D。(2π，0）答案A解析易知eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)，\f（1，2)))不是关键点.3.已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))），g(x)＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π,2）)），则将f（x）的图象(）A.与g(x)的图象相同B.与g(x）的图象关于y轴对称C.向左平移eq\f(π，2）个单位，得g(x)的图象D.向右平移eq\f（π,2)个单位，得g(x）的图象答案D解析f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,2)）)，g（x）＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，2))）＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－x））＝sinx，f(x)的图象向右平移eq\f(π，2)个单位得到g（x)的图象。4.函数y＝－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（π，2），\f（3π，2)））的简图是(）答案D5.方程sinx＝eq\f(x，10）的根的个数是()A。7B。8C。9D。10答案A解析在同一坐标系内画出y＝eq\f(x，10）和y＝sinx的图象如图所示。根据图象可知方程有7个根。6。函数y＝cosx＋｜cosx｜,x∈[0，2π]的大致图象为（）答案D解析由题意得y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2cosx,0≤x≤\f（π，2)或\f（3π,2）≤x≤2π，,0，\f（π,2）<x<\f(3π，2）.））显然只有D合适。7.若函数y＝2cosx（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（）A。4B.8C。2πD。4π答案D解析作出函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈［0,2π］的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA＝2，OC＝2π,∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.二、填空题8。函数f（x)＝lgcosx＋eq\r（25－x2)的定义域为。答案eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（－5，－\f（3π,2)）)∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2）,\f(π,2))）∪eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，5)）解析由题意，得x满足不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（cosx〉0，,25－x2≥0,）)即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（cosx>0，,－5≤x≤5，)）作出y＝cosx的图象，如图所示。结合图象可得x∈eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f（3π,2)））∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f(π，2))）∪eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(3π，2）,5))。9.函数y＝sinx，x∈［0，2π]的图象与直线y＝－eq\f（1,2）的交点为A(x1,y1)，B（x2，y2），则x1＋x2＝。答案3π解析如图所示,x1＋x2＝2×eq\f（3π，2)＝3π.10.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx，x≥0，,x＋2，x＜0，））则不等式f(x)＞eq\f（1，2)的解集是。答案｛x｜－eq\f（3，2）＜x＜0或eq\f（π，6)＋2kπ＜x＜eq\f（5π,6)＋2kπ,k∈N}解析在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝eq\f(1，2）的图象(图略），由图易得－eq\f(3,2）＜x＜0或eq\f（π，6）＋2kπ＜x＜eq\f(5π，6）＋2kπ，k∈N。11。设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为.答案eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π,4），\f(5π，4）)）解析由题意知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx,在同一坐标系画出y＝sinx，x∈［0，2π］与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示。观察图象知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，\f（5π，4）））。三、解答题12.用“五点法”画出函数y＝eq\f（1，2)＋sinx，x∈［0，2π]的简图.解(1)取值列表如下:x0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2）2πsinx010－10eq\f(1，2)＋sinxeq\f(1，2）eq\f（3，2）eq\f（1，2)－eq\f（1，2)eq\f(1，2)（2）描点、连线，如图所示.13.利用正弦曲线,求满足eq\f(1，2)〈sinx≤eq\f(\r（3），2)的x的集合.解首先作出y＝sinx在［0,2π]上的图象,如图所示，作直线y＝eq\f(1，2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈［0,2π］的交点横坐标为eq\f(π，6）和eq\f(5π，6）;作直线y＝eq\f（\r（3），2），该直线与y＝sinx，x∈[0，2π］的交点横坐标为e