丁玉美《数字信号处理》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

目录

内容简介

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绪论

第1章时域离散信号和时域离散系统

1.1复习笔记

1.2课后习题详解

L3名校考研真题详解

第2章时域离散信号和系统的频域分析

2.1复习笔记

2.2课后习题详解

2.3名校考研真题详解

第3章离散傅里叶变换（DFT）

3.1复习笔记

3,2课后习题详解

3.3名校考研真题详解

第4章快速傅里叶变换（FFT）

41复习笔记

4.2课后习题详解

4.3名校考研真题详解

第5章时域离散系统的网络结构

5.1复习笔记

5.2课后习题详解

5.3名校考研真题详解

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

6.1复习笔记

6,2课后习题详解

63名校考研真题详解

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

7.1复习笔记

7,2课后习题详解

7.3名校考研真题详解

第8章多样样率数字信号处理

8.1复习笔记

8.2课后习题详解

8.3名校考研真题详解

第9章数字信号处理的实现

91复习笔记

9,2课后习题详解

9.3名校考研真题详解

第10章上机实验

10.1复习笔记

10.2课后习题详解

10.3名校考研真题详解

绪论

1.数字信号处理的基本概念

（1）信号处理的内容

信号处理一般包括数据采集以及对信号进行分析、变换、综合、估值与识别等。

（2）信号的类别

①连续信号（即模拟信号），它的幅度和时间都取连续变量；

②时域离散信号，其幅度取连续变量，而时间取离散值；

③幅度离散信号，其时间变量取连续值，幅度取离散值，如振幅键控信号；

④数字信号，它的幅度和时间都取离散值。

（3）数字信号处理与模拟信号处理的联系与区别

①联系

若系统中增加数/模转换器和模/数转换器，数字信号处理系统也可以处理模拟信

号。②区别

a.处理的对象不同

数字信号处理的对象是数字信号，模拟信号处理的对象是模拟信号。

b.对信号处理的方式不同

数字信号处理是采用数值计算的方法完成对信号的处理，而模拟信号处理则是通过一些模

拟器件（例如晶体管、运算放大器、电阻、电容、电感等）组成的网络来对信号处理。

2.数字信号处理的实现方法

（1）软件实现方法

软件实现方法指的是按照原理和算法，自己编写程序或者采用现成的程序在通用计算机上

实现。

①优点：实现灵活，只要改变程序中的有关参数。

②缺点：运算速度慢，一般达不到实时处理。

软件实现方法适合于算法研究和仿真。

（2）硬件实现方法

硬件实现是按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、控制

器、存储器以及输入输出接口等基本部件实现的一种方法。

优点：既灵活，速度又比软件方法快。

（3）DSP芯片

内部配有乘法器和累加器，结构上采用了流水线工作方式以及并行、多总线结构，且配有

适合数字信号处理的指令，可实现高速运算。

3.数字信号处理的特点

（1）灵活性；

（2）高精度和高稳定性；

（3）便于大规模集成；

（4）可以实现模拟系统无法实现的诸多功能。

4.数字信号处理涉及的理论、实现技术与应用

（1）生活应用

广泛地应用在语音、雷达、声纳、地震、图像、通信、控制、生物医学、遥感遥测、地质

勘探、航空航天、故障检测、自动化仪表等领域。

（2）理论应用

①应用的数学工具涉及微积分、随机过程、高等代数、数值分析、复变函数、数值方法

和各种变换（傅里叶变换，Z变换，离散傅里叶变换，小波变换，......）等；

②理论基础包括网络理论、信号与系统、神经网络等。

（3）实现技术

涉及计算机、DSP技术、微电子技术、专用集成电路设计和程序设计等方面。

第1章时域离散信号和时域离散系统

1.1复习笔记

一、引言

信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号，如

果有两个以上的自变量，则称为多维信号。

如果信号的自变量和函数值都取连续值，则称这种信号为模拟信号(例如语言信号、温度

信号等)；如果自变量取离散值，而函数值取连续值，则称这种信号为时域离散信号。

如果信号的自变量和函数值均取离散值，则称为数字信号。

二、时域离散信号

1.常用的典型序列

(1)单位采样序列3(n)

11刀=0

3<n>=

|0w#0

单位采样序列也称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1,其它均为零。如图1-1

所示。

♦4•♦,

-10123

图单位采样序列和单位冲激信号

/I”>0

u(n)~[

(2)单位阶跃序列u(n)

①单位阶跃序列如图1-2所示。

o

图1-2单位阶跃序列

3(w)-u(nI)

u(n)-—A)

②3(n)与u(n)之间的关系如下列公式所示:

u(n)~S(M)

③另二种表示形式:

(I

R.(»)

s">比它"

(3)矩形序列RN(n)

■■■一■■■—.一.

式中，N称为矩形序列的长度。矩形序列可用单位阶跃序列表示,如公式:

(4)实指数序列

1(n>=a'u(n),a为头数

如果”的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列;如果“.

则称为发散序列。其波形如图1-3所示。

Id,aCal

图1-3实指数序列

sm(ujn)

(5)正弦序列

式中，3称为正弦序列的数字频率，单位是弧度(rad),它表示序列变化的速率，或者

说表示相邻两个序列值之间相位变化的弧度数。

如果正弦序列是由模拟信号x,(t)采样得到的，那么

x.(z)=sin(Df)

T(w)=1.(/)I—.—sinCHwT)=sin(o/i>

⑷CT

凝荀数字频率3与模拟角频率Q之间的关系为

②上式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率。与序列的

数字域频率3呈线性关系，且

n

M-p~

上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。本书中用3表示数字域频

率，。和f表示模拟角频率和模拟频率。

(6)复指数序列

复指数序列用下式表示：

二

式中，3。为数字频率。

(7)周期序列

如果对所有n存在一个最小的正整数N,使下面等式成立：

则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。

讨论一般正弦序列的周期性。

设

j(n)Asin(wn4-

-i-N);Asin+N>+4+w,N+夕)

那么

】(〃•；、)T(n)

如果

Nv(2</g)k.

则要求

式中，k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序

列才是以N为周期的周期序列。

①当如/3。为整数时，k=l,正弦序列是以如/3。为周期的周期序列。

②如/3。不是整数，是一个有理数时，设如/o)°=P/Q,式中P、Q是互为素数的整数，取

k=Q,那么N=P,则该正弦序列是以P为周期的周期序列。

③211/3。是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，此时的正弦序列不是周期序列。

对于复数指数序列，的周期性也有和上面同样的分析结果。

(8)单位采样序列的移位加权和表示

对于任意序列x(n),可以用单位采样序列的移位加权和表示，即

x(n)m)

这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。

2.序列的运算

序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及尺度变换。

(1)加法和乘法

序列之间的加法和乘法，是指它的同序号的序列值逐项对应相加和相乘。

(2)移位、翻转及尺度变换

序歹ijx(n),其移位序列x(n-no),当n0>0时，称为x(n)的延时序列；当n0<0时,

称为x(n)的超前序列，x(―n)则是x(n)的翻转序列；x(mn)(m>l且m为整

数)是x(n)序列每隔m点取一点形成的序列，相当于n轴的尺度变换。当m=2,n„=2

时，其波形如图1-4所示。

图1-4序列的移位、翻转和尺度变换

三、时域离散系统

设时域离散系统的输入为X(n),经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运

算关系用T[-]表示，输出与输入之间关系用下式表示：

y<w)=

吧__P7FI-

图1-5时域离散系统

其框图如图1-5所示。

在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时不变系统。

1.线性系统

y<〃)/ti.r.<〃)>hi.(n)iay.(n)

系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。用公式表示为：

2.时不变系统

如果系统对输入信号的运算关系T1]在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时

不变系统，用公式表示为：

y(w)=7Xx(w)lI

式中n。为任意整数。

3.线性时不变系统及其输入与输出之间的关系

(1)同时满足线性和时不变特性的系统称为时域离散线性时不变系统。

(2)单位脉冲响应即系统对于3(n)的零状态响应，用公式表示为

—7Ts(/»)]

h(n)代表系统的时域特征。

.r(n)-5：0(，，力6(”一，")

(3)姓系统的输入用x(n)表示，表示成单位脉冲序列移位加权和为

y(rt)丁I'j,<m)8(wHI)]

那么系统辎出为

v<w>/(，”)丁13("nil]

根据线+生系统的叠加性质

y(n')=，x(m)h(nm).r(n)«/>(„)

又根据时不变性质

式中的符号“*，，代表卷积运算，上式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的

单位脉冲响应的卷积。

(4)计算卷积有图解法，解析法。

①图解法

x(n)=R,(n).hint=R,(n>.求y(n):J-(M)

已知：

解:

y(n)m>/i(nm)R%(/M)/?(nfn)

■■-«C»-一4

a.首先将h(n)用h(m)表示，并将波形翻转，得至Uh(-m),如图1-6(c)所示。

b.然后将h(-m)移位n,得到h(n-m),n>0,序列右移；n<0,序列左移。如

n=l,

得到h(1-m),如图1-6(d)所示。

c.接着将x(m)和h(n—m)相乘后，再相加，得到y(n)的一个值。

2.3.4.3,2.1)

对所有的n重复这种计算，最后得到卷积结果，如图1-6(f)所示，v(n)表达式为

I

■一H1L-

•I2>«

1i(*i

_1山____

•T3>.

1A(

->-I•M

I

“.」力.....

2-l<>I21-»

...一由L__________________

fjK«>

图1-6线性卷积

这种图解法可以用列表法代替，列表法的原理和图解法一样，但可以省去作图过程。

上面的图解过程如表1-1所示。

表1-1图解法（列表法）

X(m)1111

h(m)1111

h(—rn)1111y(0)=1

h(1-m)1111y(1)=2

h(2-m)1111y(2)=3

h(3—m)1111y(3)=4

h(4—m)1111y(4)=3

h(5—m)1111y(5)=2

h(6-m)lllly(6)=1

②解析法

如果已知两个卷积信号的解析表达式，则可以直接按照卷积式进行计算。

A(«):(w).求

设

解

0与3

求和区间中m要同时满足下面两式：

进行分段然后计算

a.n<0时，y(n)=0;

b.0vns3时，乘积的非零值范围为Osmvn,因此

y<«>-=丁

y(")=2a…=/

c.n“时，乘积的非全区间为04m43,因此

«<o

0<“W3

写成统一表达式为

4.线性卷积

(1)公式表示

线性卷积服从交换律、结合律和分配律，它们分别用公式表示如下:

*/i(/»)—h(n)»x(n)

x(n)*[//|(w)*/?：(〃)]—[r(n)*(w)J*h,(n)

r(〃)*[右।(〃)+1・(〃)I-1《力)・'।(〃)+N(〃)*/，.(?，)

该式表明两系统级联，其等效系统的单位脉冲响应等于两系统分别的单位脉冲响应的卷积。

信号同时通过两个系统后相加，等效于信号通过一个系统，该系统的单位脉冲响应等于两

个系统分别的单位脉冲响应之和。

(2)框图表示，如图1-7所示。

图1-7卷积的结合律和分配律

(3)注意

系统级联、并联的等效系统的单位脉冲响应与原来两系统分别的单位脉冲响应的关系，是

基于线性卷积的性质，而线性卷积是基于线性时不变系统满足线性叠加原理和时不变特性。

因此，对于非线性或者非时不变系统，结论是不成立的。

5.系统的因果性和稳定性

(1)如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻

以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性，或称因果系统。系统的因果性是指系统的

可实现性。

线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应满足下式:

(2)所谓稳定系统，是指对有界输入，输出也是有界的系统。系统稳定的充分必要条件

是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为

实际中，如何用实验信号测定系统是否稳定是一个重要问题，不可能对所有有界输入都检

查是否得到有界输出。可以证明，只要用单位阶跃序列作为输入信号，如果稳态输出趋于

常数(包括零)，则系统一定稳定，否则系统不稳定。不必对所有有界输入都进行实验。

四、输入输出描述法

描述一个系统时;不管系统内部的结构如何，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系,

这种方法称为输入输出描述法。时域离散系统，用差分方程描述或研究输出输入之间的关

系。线性时不变系统用线性常系数差分方程来描述。

1.线性常系数差分方程

y(n)<">>_a,y(Hif

一个N阶线性常系数差分方程用下式表示:

或者

5•M

i)i)a.I

式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，&和b均为常数，阶数是用

方程y(n-i)项中i的最大取值与最小取值之差确定的。

2.线性常系数差分方程的求解

(1)求解差分方程的基本方法有以下三种:

①经典解法。包括齐次解与特解，由边界条件求待定系数，较麻烦。

②递推解法。方法简单，且适合用计算机求解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线

性常系数差分方程不容易得到封闭式(公式)解。

③变换域方法。将差分方程变换到Z域进行求解，方法简便有效。

以上介绍的三种基本解法都只能在已知N个初始条件的情况下，才能得到唯一解。如果

求n。时刻以后的输出，n。时刻以前的N个输出值y(n0—I)、y(n。-2)、......、Y(nu

-N)就构成了初始条件。

(2)注意

①差分力程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限

制。

②一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状态

有关。如果系统是因果的，一般在输入x(n)=0(n<n0)时，则输出y(n)=0(n<n0),

系统是线性非时变系统。

五、模拟信号数字处理方法

将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理，处理

完毕，再转换成模拟信号。这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图

1-8所示。

---------tVAK-----------ADC---------------D/AC--------T湘城诚

图1-8模拟信号数字处理框图

1.采样定理及A/D变换器

(1)采样定理：

①对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采

样频率a为周期进行周期性的延拓形成的，幅度为原来的亍。

②设连续信号x,(t)属带限信号，最高截止频率为忠，如果采样角频率那么让

采样信号j⑺通过一个增益为T、截止频率为a/2=ir/T的理想低通滤波器，可以唯一地

恢复出原连续信号x,(t)o否则，会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地

恢复原连续信号。

(2)模/数转换器原理

卫T耕产t皿.产_

图1-9模/数转换器原理框图

将模拟信号转换成数字信号由模/数转换器(A/DC)完成，模/数转换器的原理框图如图

1-9所示。通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据，这一串

样本数据可看做时域离散序列。设A/DC有M位，那么每个样本数据用M位二进制数表

示，即形成数字信号。

因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。

2.将数字信号转换成模拟信号

如果选择采样频率R满足采样定理的频谱没有频谱混叠现象，可用一个传输函数

为G(js)的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号心(t)恢复出来，这是一种理想恢

复。

(1)推导该理想低通滤波器的输入和输出之间的关系。

,、sin(n//T)

联C=

兀”0+2)

①由G(j。)=12"表示的低通滤波器的传输函数的单位冲激响应为

②理想低通滤波器的输入、输出分别为和乂(，)。

yt(l)-r)dr

则

乂a)=L'丁)合(z-〃T)依"r)dr

〉［j.ra(wT)3(rnT)g(rr)dr

〉：j.(nT)g(r-«T)

y,一、sin］.(f-〃T〉/丁］

=2.Di(z-nfY/T

smjK(/-nT)/T1

x.(z)=X(nT)

ML,ST

③由于满足采样定理，％(t)=Xa(t),因此得至U：

g(t)保证了在各个采样点上，恢复的Xa(T)等于原采样值，而在采样点之间，则是各

采样值乘以g(t-nT)的波形伸展叠加而成的。这种伸展波形叠加的情况如图1-10所示。

g(t)函数所起的作用是在各采样点之间内插，因此称为内插函数，上式又称为内插公式。

图1-10内插函数g(t)波形

i。闭

J±LL

T2TIT

“一znirtr+m

n

图HI理想恢复

(2)实际的数字信号到模拟信号的转换

①D/AC方框图

实际中采用D/AC完成数字信号到模拟信号的转换。D/AC包括三部分，即解码器、零阶

保持器和平滑滤波器。D/AC方框图如图1-12所示。

a.解码器的作用是将数字信号转换成时域离散信号x,(nT)o

b.零阶保持器和平滑滤波器则将x3(nT)变成模拟信号。

匚=丝d解码器产竺二)零阶保持器平涓滤波器―

图1-12D/AC方框图

②零阶保持器分析

原理：零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采

样值。

a.采样值并保持，因此相当于进行常数内插。

b.零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如图1-13所示。

c.对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：

=j/>(z)ed/-「c"d/=Tsin^^2-e皿

____________Ja/2_______

IMO

d.其幅度特性和相位特性如图1-14所示。

图1-13零阶保持器的输出波形

图1-14零阶保持器的频率特性

③总结

a.零阶保持器是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。零

阶保持器的幅度特性与其有明显的差别，主要是在|C|>n/T区域有较多的高频分量，因

此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用。

b.虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方

法。

1.2课后习题详解

1.用“fc脉冲序列3(n)及其加权和表示如图1-1所示的序列。

图1-1

解：

.r(M>=S(n-*-4)+23(n+2)5<«-f-l)4-28(n)+8(w-l)

+2b(勿一2)十48(〃-3)+0.53(n4)+23(/>—6)

(2n+5-44〃《一I

.r<n)==<60&力&4

10箕它

2.给定信号：

(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；

(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列;

(3)令，”.11[.试1S]出，,，力波形；

(4)令，“,"，(，，•、试画出，“波形；

(5)令”"r(2—"।.试回出,<")波形□

解：(1)X(n)序列的波形如图1-2(a)所示。

(2)

r(w)=36(〃44)合(〃+3)++2)+38(n-4-1)4-66(G

+63(〃-I)+6水〃—2)+6水〃--3)+63(w~4)

X(2m-f-5)$(M/〃)+X6$(?j-m)

(3)，(”的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2,画出图形如图1-2(b)所示。

(4)，")的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2,画出图形如图1-2(c)所示。

(5)画，(”，时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180。，然后

再右移2位，.一”波形如图1-2(d)所示。

(c)

3

(d)

图1-2

3.判断下面的序列是否是周期的；若是周期的，确定其周期。

(1)Aed”]jA是常数

(2)上(").)

解：(1)因为"',所以：：¥・这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。

I2K

(2)因为s区•所以“，7".这是无理数，因此是非周期序列。

4.对图1-1给出的x(n)要求：

(1)画出x(—n)的波形；

(2)计算，⑴[，(")「，・(，”•并画出波形；

(3)计算‘⑴''⑺"",并画出，，“波形；

(4)令，"，"，.将‘与x(n)进行比较，你能得到什么结论？

解：(1)x<-n)的波形如图1-3(a)所示。

(2)将x(n)与z(-n)的波形对应相加，再除以2,得到，,(而。毫无疑问，这是一个

偶对称序列。，的波形如图1-3(b)所示。

(3)画出一，”的波形如图1-3(c)所示。

（c）

图1-3

（4）很容易证明：r（«）r.（n）•J,（n）

上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中（2）

的公式计算，奇对称序列可以用题中（3）的公式计算。

5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断

系统是否是线性非时变的。

(1)y(n)=x(n)+2x(n—1)+3x(n—2)

(2)y(n)=2x(n)+3

八为整常数

(3)y(n)=x(n—n0)

(4)Y(n)=x(—n)

(5)v(n)，(〃)

(6)v<n'>i1w*)

⑺

(8)：〃,,।，

解：(1)令输入为乂-)输出为

)4-2x(n——I)4-3x(nn2)

n,)”5+2/(〃一〃1)4-3(wn-2)

=y,(n)

y(n)—Tfaj](〃)+(〃)]

=)+&r：(〃)+2[ar।(n—+3[or)(n-2)-f-&r:(n-2)]

《打一

T[ajrt(«)]=aj-^n)+2ar｝1)+3axt(n—2)

T「Az•,《〃〉〕—Zu.(〃)+2发•(〃一1)+361r2(竹一2》

故该系统是非时变系统。因为

T[0rl(Q+&r2(n)]二aTfxjtn)]+6T[x2(w)]

所以

故该系统是线性系统。

(2)令输入为r"输出为

y(n)=2x(w-%>+3

y(nn0)—2x(3

=y/(M)

T[axt(w)4-4r2(»)]=2aj-t(n)4-24r;(n)+3

T[OT|(刁

(n)J~2aL)+3・T[Ar.(n)]=2Znrt(w)4-3

丁[ax](n)+hr(w)J/al'Ex,(n)J+bT[工式n)]

检该系统是非2时变的。由于

故该系统是非线性系统。

(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为

输出为

f

y(n)=x(n-nt，，：，)

y(n-nt)-jr(n-n)-)

=yf(n)

T[ar।(n)-4-bx,(w)J—ar।(n-n0)4-Air.(rrn.)

-aT[.Xt(n)b〃T[JT,<〃>]

故延时器是非时变系统。由于

故延时器是线性系统。

(4)y(n)=z(—n)令输入为n输出为

jz(n)=JT(一n4-)

f

y(n8,)-x(-M+RT0)=y(n)

T[a.r](n)/u；(n)Jar4—n)+4r；(-〃)

=aTfxiCw)]+6TCxi(»)]

因此系统是线性系统。由于

因此系统是非时变系统。

(5)，「"令输入为八"-"输出为

v*(n)—.r:《〃儿)

y(n—ft)=*'(〃-〃)=y,(ft)

TLar,(»)+/n(w)]~Iat,(„)+友r：(〃》]'

千〃丁[上|(〃)]+6T[x,(/i)]

=ar{(H)4-4r;(//)

故系统是非时变系统。由于

因此系统是非线性系统。

(6)八"非时变系统必须满足：若输入x(n)引起的零状态输出为y(n),则输

入,引起的零状态输出为V"”x(n)引起的输出、，<”>「：”.则有

y《〃一〃>*].

y(〃)=Xi(n)~x(n:-FI).

设’1n〃厕/〃弓I起的输出为

可见，i所以、.,1"J)是时变系统。

由于

T[OJ।(〃)+Ai(〃)]=ar।(w)4-Air.(w)

=aTOd〃>]+//TX力1

故系统是线性系统。

(7)一’J令输人为“〃〃输出为

T'u.r(fi)，b,t(n)£a.1.(ffi)♦4r.(///)

=uTr：(n)J/>T.r(>1)]

故系统是时变系统。由于

故系统是线性系统。

(8)令输入为，输出为

，(片)一X(FJ-w,)sin(a；n)

y(Mn0)=x(nnn>sin13(〃一4)]学y'(，D

7f=a-r।(w)sin(s〃)+/u:(n)sin(w/i)

=*aT[j|(«)]+

故系统不是非时变系统，由干

故系统是线性系统。

6.给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

⑴y⑴个斗…

(2)y(n)=z(n)+x(n+1)

(4)v(〃)-/(〃

(5)、.

解：(1)只要N21,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入

有关。如果,(小M.则小=,V」因此系统是稳定系统。

(2)该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后((n+1)时间)的输入

有关。如果一〃)A/厕"J'〃，1＞二'，,因此系统是稳定系统。

w)1r(/r)£2〃，】M・

(3)如果M")M厕一因此系统是稳定的；

假设，，，.系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。

(4)假设”.系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果

，(八M.WIJ'工因此系统是稳定的。

(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，M.则

因此系统是稳定的。

7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如图1-4所示，要求画

出y(n)输出的波形。

I,

2，

图1-4

解：解法(一)采用列表法。

y(n)~j'(n)*/i<w)=w—

m-4-3-2T0I234

m)-I00102

h(m)210・5

h(-m)0.512y(0)——0・5

0.512y(l)-2

A(2m)Q.512>(2)-1

A(3—m)0.512y(3)-4・5

A(4-m)0.512y(4》・2

A(5-m)0.512jrWT

h(-I—m)0.512>(-1)=-I

h(2m)0.512y(—2)=一2

表LI

y(n)={-2,-1,-0.5,2,1,4.5,2,1；,n=-2,—1,0,1,2,3,4,5)

解法(二)采用解析法。按照图1—4写出x(n)和h(n)的表达式分别为

r(w)=-6(〃+2)+8(〃—】)+26(〃3)

hin)=2b(”)+水”-I)+48(»-2)

w)*5(«)—x(n)

?।/；1)*.\(J(fik)A/(〃k>

由于

故

y(n>=jr(n)*/>(«)

=.r(w)♦123(〃)-1)+38’勿—2)

_2x(,n)+-r(w—1)4---X(M—2)

y(n)=-2水”+2)—水/»+1)—0・53(〃)+2水〃-1)+水〃2)

，L53(ni)-2水〃-I)-n3>

将x(n)的表示式代入上式，得到

8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别

求出输出y(n)o

(1)/i(〃)R<//>♦/<〃)R(n)

(2)〃)2R,《〃)♦"(〃)ci<〃)n<n2)

(3)।R八'

解：Uj⑺⑴-?R：(MKG"”先确定求和域。由R.,,“)和确定y(n)

对于m的非零区间如下：I〃厂”

根据非零区间，将n分成四种情况求解:

①nvO时，y(n)=0

■

②04n43时，心'

y(n)=X1—8-n

③4snw7时,

@n>7时，v(n)=0最后结果为

(0"V0或27

y(n)=\n4-10<n<3

1.8-n447

y(n)的波形如图1-5(a)所示。

(2)

-

y(n)2Rt(n)*[3(H)•S(n2)]^2R,(n)2R((n2)

=2[a(n)4-S(w+

01234S67n

y(n)的波形如图1・5(b)所示。

(a)

2--

45

OH51L：;

(b)

图1-5

(3)W〃'/(w)•h(n)

m

u(w-M)0.5"XK(〃nO・5”储

y(n)对于m的非零区间为0wm《4,m<n

①n<0时，y(n)=0

②Own“时，

=0.5-^0.5-5"=<1-0.5*')0.5*=20.5,

y(n)-O.5'52O-5--'二9一之；0.5--31X0.5-

'WI-0.5'

③nz5时，

y(，”(2-0.5">R(n't+31X0.S,u(n-5)

最后写成统一表达式：

9.证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立:

(1)x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

(2)""，■",(〃)•力(“))(】(〃)•//,(«>>•h<n)

(3)r(ri,)»(A,(«)-*-/r.(n))^.H/;>•/»,(/;)•J(ft)•人(〃)

x(n)♦/i(n)=>：］(m)h(n—

证明：(1)的为

令inn-m.则

z(n)*A(n)—Z一，〃')〃(，/>=h(n)*x(n)

（2）利用上面已证明的结果，得到

JM

x(n)«[A,(w)*A2(n)J=x(w>*CA()*h}(»)]

■阳(〃一,〃)]

—Xx(/M)[/t2(n—〃i)

—人二(A)/i[-mk)

x(n><[A,(fi)*Aj(w>J=X〃？(A)X(〃-mkt

.―***-w

=X'a)[z(〃-A)«阳(〃-A)】

二-

h2(.n)*[jr(w)*/i|(n)J

=«ht(n)]*A,(n)

交换求和号的次序，得到

7(〃)*[6(〃)，力2(〃)]工/3〃)[儿(〃加)+〃：(/！一/〃)

■..5

=X/C""1(71m)+工工(小乂：(〃m)

・——

~x(n)*hi(n)4-xGi)♦ht(n)

(3)

10.设系统的单位脉冲响应M")=(38)0.「"(”>,系统的输入X(n)是一些观测数据，设

试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。

解：

y(n).r(n)*h(

=1

,、3

n=0时，y<,,)x1

n=l时，^>={S^5'-=|<O.5xa+xt)

J5，0s

n=2・W")=S-0-"~y<-5xo+0.5x,+xs)

y<»>s-x..

最后得到

y(n)—-^y(n-1)+x(n)=--J"(n—1)

11.设素统由下面差分方福描述：

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。

解：令z(n)=3(n)似”)1)+3(")-1®"1)

n=0时，A(0)=yA<-l)+3(O)+-18<-1)=1

n=l时，八⑴=和。)+3(1)+1«<0)=1+y-1

n=2时，“⑵一/⑴V

n=3时，G⑶9⑵(2)

归纳起来，结果为

h(n)1>+3<n)

12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n—1)+x(n)描述，初始条件y(―1)=0,

试分析该系统是否是线性非时变系统。

解:分析的方法是让系统输入分别为.水"1>.-水”】,时，求它的输出，再检查

是否满足线性叠加原理和非时变性。

Vi(w)ujy,(//I)4~3(

(1)令.这时系统的输出用Yi(n)表示。

y,(«)=a*u(w)

该情况在教材例141中已求出，系统的输出为

(2)令/(〃)r.(n-1这时系统的输出用、•(〃)表"。：SV(〃-I)•1)

n=0时，v.(o)«v<-i)-d<i>u

n=l时，V.(I)ay(O>+8(0)1

n=2时，v(2)uv，(1)♦3(I)a

任意n时，v(w)a,'

最后得到

y-(w)=a*'—1)

1

y3(n)—ay,(H1)6(7i)4-6(»I)

(3)令/(〃)力(〃)-8(〃iJ系统的输出用v、(n)表示。

n=0时,v,((n小,lI)-s(o>^3(i八i

n=l时，y,(1)-«v»(0)4-S(1)+3(0)=«4-l

n=2时，y<2)«V11>-3(2)-3(1>u-«

n=3时，y.iSi"”,(2)I8(3)-8(2)

任意n时，、,(")-“•-ta'

最后得到

y>(n)-a,'u(.n—1)+a'uin')

y|(»)=(»)J,.y.(»)=Ti6(n1)]

>>!(»)=5»3(n1)

由(1)和(2)得到

因此可断言这是一个时不变系统。情况(3)的输入信号是情况(1)和情况(2)输入信

号的相加信号，因此

ya(n>=7T3(〃)+6(〃-1)工

观察\(〃)、v(〃),得到v(n)-v(//)*\<n।,

因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程八(〃1，」(〃),Ovavl描写的

系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。

13.有一连续信号，"7黑〃•L式中/''Hz.

(1)求出，.⑺的周期；

(2)用采样间隔T=0.02s对，⑺进行采样，试写出采样信号工⑺的表达式；

(3)画出对应;⑺的时域离散信号(序列)x(n)的波形，并求出x(n)的周期。

解：(1)).⑺的周期为‘

i—JIT)=£CQs(40mT+

2K5

(3)x(n)的数字频率“，S8”.故“F因而周期N=5,所以

r(n)=cos(0.8KM4-w/2)

f--------产5

13156I产§

画出其波形如图1-6所亲：

图1-6

14.已知滑动平均滤波器的差分方程为

y(n)—J-(x(»)+x(n-1)+工(”-2)+H(“-3)+工(“4))

(1)求出该滤波器的单位脉冲响应；

(2)如果输入信号波形如图1-7所示，试求出y(n)并画出它的波形。

图1-7

解：(1)将题中差分方程中的x(n)用弋替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即

M〃)-y[6(w)+6(w—1)+8(n~~2)+8(»—3)+8(〃-4)]

(2)已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为k'

表1-2表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中z(k)不动，h(k)反转后变成h

(-k),h(n-k)则随着，2的加大向右滑动，每滑动一次，将h(n-k)和x(k)

对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均"清楚地表明了这种计算过程。

最后得到的输出波形如图1-8所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快

速变化，使波形变化缓慢。

图1-8

表1-2(用列表法解卷积)

x(n)1.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.02.0

h(k)0.20.20.20.20.2

h(-k)0.20.20.20.20.2y(0)-0.2

h(1-k)0.20.20.20.20.2y(1)-0.4

h(2-k)0.20.20.20.20.2y(2)-0.6

h(3-k)0.20.20.20.20.2y(3)-0.8

h(4-k)0.20.20.20.20.2y(4)-1.0

h(5-k)0.20.20.20.20.2y(5)-1.0

15.已知系统的差分方程和输入信号分别为

y(〃-1)=](〃)+2JT(M-2)

x(n)=(1,2、3,4.2,1)

用递推法计算系统的零状态响应。

解:求解程序exll5.rn如下:

%程序exll5.m

%调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n-1)=x(n)+2x(n—2)

xn=[l,2,3,4,2,1,zeros(1,10)]；%x(n)=单位脉冲序列，长度N=31

B=[l,0,2]；A=[l,0.5]；%差分方程系数

yn=filter(B,A,xn)%调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)

n=0：length(yn)—1；

subplot(3«2.I>tsicm(n»yn.taxis([l.15.-2.

liilT'系统的零状态响应*)txiabel(n')tylabcK*y(n)1>

程序运行结果：

yn=[1.00001.50004.25005.87505.06256.46880.76561.6172-0.80860.4043-0.2021

0.1011-0.05050.0253-0.01260.0063-0.00320.0016-0.00080.0004-0.0002

0.0001-0.00000.0000-0.00000.00003-0.00000.0000]

程序运行结果的y(n)波形图如图1-9所示。系统的零状态响应

6,1

a4f

“2.

o|I।口」L尹i・…・

510IS

n

图1-9

16.已知两个系统的差分方程分别为

(1)v<n*).6v(〃1)•'.08v<n2)+上(川)

(2)v(n)~O,7v<n1)""<).1v(w-2)~^2.r(w)—x(w—2)

分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

Bl=l.Al-TH-0.6.0.081

解：(1)系统差分方程的系数向量为

(2)系统差分方程的系数向量为

B2=[2,0,—1],A2=[l,-0.7,0,1]

调用MATLAB函数filter计算两个系统的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应的程序

exll6.m如下：

%程序ex116.m

Bl=l；Al=[l,-0.6,0.08]；%设差分方程(1)系数向量

B2=E2,0,-1]；A2=[a,-0.7,0.1]；%设差分方程(2)系数向量

%=================================================================

%系统1

xn=[l,zeros(1,30)]；%xn=单位脉冲序列，长度N=31

xi=filtic(Bl,Al,ys)；%由初始条件计算等效初始条件输入序列xi

hnl=filter(Bl,Al,xn,xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号hnl

n=0：length(hnl)—1;

^ubplot(3«2•1):strtriCn«hnl•.》

lidZ'G)系统l的系统唯位脉冲响位'h

xn=ones(1,30)；%*。=单位阶跃序列，长度N=31

snl=filter(Bl,Al,xn,xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号snl

n=0：length(snl)—1;

Mibplot(3.2.2):stem<n.snl.r)

titlc<'(b>系统l的单位阶跃响应')，xlabek'n'by】akl<'s<n>'>

%=================================================================

%系统2

xn=[l,zeros(1,30)]；%m=单位脉冲序列，长度N=31

xi=filtic(B2,A2,ys)；%由初始条件计算等效初始条件输入序列xi

hn2=filter(B2,A2,Xn,xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号hn2

uiifinlnt(.2.S1Itn2..)

n=0：length(hn2)—1；

系皱2的系统冷位脓冲峋应x图浦八ybbH('h(n>’>

xn=ones(1,30)；%xn=单位阶跃序列，长度N=31

sn2=filter(B2,A2,xn,xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号sn2

n=0：length(sn2)—1；

subntot<3«2«6)2s1cm(n.sn2«)

liiht'Cb)系统2的单传阶跃响应'hxlabdln'hWabeW川W)

iosIJ

oh”“"...............

0102030

程序运行结果如囱1-10所示。

(a)系统1的系统单位脉冲响应

a

二

2030

(b)系统1的单位阶跃响应

(c)系统2的系统单位脉冲响应

(d)系统2的单位阶跃响应

图1-10

17.已知系统的差分方程为

y(n)~y(.n*1)~—2)+〃晨〃)

其中，uJ.61•%，).866“

(1)编写求解系统单位脉冲响应h(n)(0<n<49)的程序，并画出h(n)(0<n<4