三角恒等变换专题

/三角恒等变换专题复习（一)2012-8－7一、基本内容串讲1。两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：;；对其变形:tanα+tａnβ=tan(α+β）（1—tanαtanβ）,有时应用该公式比较方便.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：..。要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形，这两个形式常用.3.辅助角公式：４。简单的三角恒等变换（1)变换对象：角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。（2）变换目标:利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。(3）变换依据:两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径.5。常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结)二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（）2、若,,则等于（）考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cosｃos的值等于（）4、已知,且,那么等于(）考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知则的值等于（)６、已知则值等于（）7、函数是（Ｃ)(Ａ）周期为的奇函数ﻩ（B)周期为的偶函数（C)周期为的奇函数 （D)周期为的偶函数 三、解题方法分析１.熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式,要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设则有（)【点评】:本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如:sｉnｃos=，coｓ=，，，，,，,tanα＋tａnβ=ｔａn（α+β）(1－tａnαtaｎβ）等.另外，三角函数式asinx+bcｏsx是基本三角函数式之一，引进辅助角,将它化为即asinx+bcｏsx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的siｎ±cosx，±sinｘ±ｃｏｓx，要熟练掌握其变形结论。2。明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（１）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例２。已知〈β〈α＜,cos(α－β)=，sｉn（α＋β)＝－,求sin2α的值．（－（本题属于“理解"层次，解答的关键在于分析角的特点,2α=(α－β）＋(α＋β）)例2解答：例3。化简:[２sｉn５0°+ｓｉｎ10°（1+ｔan10°）］·.【解析】:原式==。【点评】:本题属于“理解"层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦"的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简:项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的尽量求出值来.（2)运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.例4：已知sｉn（α+β）=，sｉｎ（α－β）＝,求的值。。【解析】 ｀==＝-1７【点评】:本题属于“理解"层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的.（3）运用换元思想,实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化,可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围.例５：若求的取值范围。【解析】：令,则即∴，即【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合,特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6:已知:向量，，函数（1)若且，求的值；或（2）求函数取得最大值时,向量与的夹角.【解析】：∵=（2）∴，当时，由得，∴【点评】:本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.四、课堂练习1．sin165º=()A．B．Ｃ。D．２．siｎ１4ºcoｓ16º+sin76ºcoｓ74º的值是（）A．Ｂ．C．D。3.已知，，则（）A．B．C。D．4.化简2siｎ(－x）·sin（+x），其结果是（)Ａ．ｓin2xＢ.ｃoｓ2xＣ.－cos２xD．-sin2ｘ５.sｉn-ｃos的值是（)A。0Ｂ．—Ｃ．Ｄ。2sin6．A．Ｂ.C. D.７。若，,则角的终边一定落在直线（)上.A．B．C．Ｄ。8．9。＝１0．的值是．１１.求证：。12．已知,求的值．13．已知求的值。14.若，且，求的值。15.在△ＡBC中,若ｓiｎAｓｉnB=ｃos2，则△ABC是(）A。等边三角形ﻩ