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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。二、亮点试题分析1【试卷原题】11.已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点且满足AB=AC，则AB-AC的最小值为（C.—C.—141234【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。【易错点】1.不能正确用OA,OB,OC表示其它向量。2.找不出OB与OAA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。【解题思路】1.把向量用OA，OB，OC表示出来。2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。〜〜rrrr【解析】设单位圆的圆心为O,由AB=AC得，(OB—OA)2=(OC—OA)2，因为r r rOA=O)B\=|oc|=1，所以有，OB0A=OC-OA则rr r rrrAB•AC=(OB—OA).(OC—OA)rrrrrrr=OB•OC—OB-OA—OA-OC+OA2rrrr=OB•OC—2OB•OA+1设OBr与OA的夹角为a，则OBr与OC的夹角为2a所以，AB-ACC=cos2a_2cosa+1=2（cosa—1）2-122即，AB-AC的最小值为-1,故选b。2【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB=2,BC=1,ZABC=60。，动点E和厂分别在线段BC和DC上，且,uuuruuuruuur1uuuruuuruuurBE=九BC,DF=班DC,则AE•AF的最小值为【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何uuuruuur uuuruuur运算求AE,AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE•AF，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.【答案】竺18uuur1uuuruuur1uuur【解析】因为DF=一DC,DC=—AB，9k 2

uuuuuuuur1uuuuuuCF=DF-DC=--DC-DC=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur1uuuuuuCF=DF-DC=--DC-DC=uuuuuuuuuuuuuuu1-9九uuu1-9九

DC=9九18九uuuAB,AE=AB+BE=AB+九BC,uuuuuuuuuuuuuuuuuu1-91uuu1+9%uuuuuuAF=AB+BC+CF=AB+BC+ AB= AB+BC,18111+9入uuuuuu、

—AB+BC

I181 JuuuuuuuuuuuuuuuuAE•AF=AB+入BC'18九1+9入uurAB2+入BC2+1+Q1+9入

18九、uuuuuuAB•BC贵x4+1+联x2x1xcos120°=>21+18^221.1729 .-1+=

912 18182 1 2uuuuuu 29当且仅当e=2九即X=3时AE•AF的最小值为29.2.【试卷原题】20.(本小题满分12分)已知抛物线C的焦点F(1,0)，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线/与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D.(工)证明：点F在直线BD上；8(口)设FA.FB=§，求ABDK内切圆M的方程.【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。【易错点】1.设直线/的方程为y=m(x+1)，致使解法不严密。.不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。【解题思路】1.设出点的坐标，列出方程。.利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。.根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。【解析】([)由题可知K(-1,0)，抛物线的方程为y2=4x则可设直线/的方程为x=my-1,A(x,y),B(x,y),D(x,-y),112211Ix=my-1 Iy+y=4m故《 整理得y2-4my+4=0，故I1 2[y2=4x Iyy=412则直线BD的方程为y-y令y令y=0，得X==1,所以F(1,0)在直线BD上.一, 一, Iy+y=4m(口)由(工)可知「1%[y1y2=4，所以X]+X2=(my-1)+(my-1)=4m2-2,XX12=(myXX12=(my-1)(my-1)=1故FA.FB=(x-1)(x-1)又FA=(X]-1,y),FB=(x2-1,y2)1=xx-(x+x)+5=8-4m2,84贝U8—4m2=§,.•.m=±3，故直线l的方程为3%+4y+3=0或3%—4y+3=0y-y=±«(y+y>-4yy=±%'16m2-16=±4^7,2 1*21 12 3故直线BD的方程3%+,7y-3=0或3%7y-3=0，又KF为/BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),M。,0)到直线l及BD的距离分别为止-,3H 10分 10分31+1|_3|t-11八 3It+12得t=-或t=9(舍去).故圆M的半径为r=5=3一、M、，( 1\2所以圆M的方程为%-对学生的考查要求上完全一致。即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则.对学生的考查要求上完全一致。即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则.I9)【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,直线5y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|二4|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线I′与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一圆上，求l的方程.【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.【答案】(1)y2=4x.(2)x-y-1=0或x+y-1=0.8【解析】(1)设、线,4)，代入y2=2px，得x0=p,8 pp8所以|PQI=P，IQF|=2+xo=2+p.p858由题设得不+-二炉-，解得p=-2(舍去)或p=2,2p4p所以C的方程为V2=4x.(2)依题意知I与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1(mw0).代入y2=4x,得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Uy1+y2=4m，y1y2=-4.故线段的AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|二、；；m2+11yl-y2|=4(m2+1).又直线l'的斜率为-m,

1所以1‘的方程为x=-—y+2m2+3.m将上式代入y2=4x,4并整理得y2+my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),4贝Uy3+y4=-m，y3y4=-4(2m2+3)•故线段MN的中点为E(2 2故线段MN的中点为E(2 2)——+2m2+3,-—(m2阳州1\11+5惧74|二4(m2+1)“J2m2+1m2由于线段MN垂直平分线段AB,1故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|二2|MN|,从而41AB|2+|DE|2二41MN|2,即4(m本试卷新课标全国卷工相比较，基本相似，具体表现在以下方面：1试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题本试卷新课标全国卷工相比较，基本相似，具体表现在以下方面：试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型.解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。4(m2+1)24(m2+1)2(2m2+1),m4化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1,故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.三、考卷比较

3.在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。、本考试卷考点分析表(考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题)题号*考点n/\w*试题难度*分值*解题方式*易错率区分度1复数的基本概念、复数代数形式的混合运算易5直接计算25%0.852函数y=Asin(3x+①)的图象变换、函数的图象与图象变化中5数形结合65%0.603定积分、定积分的计算易5正面解30%0.754条件语句、选择结构中5正面解55%0.505裂项相消法求和、等差数列与等比数列的综合难5归纳推理85%0.406其它不等式的解法、不等式的综合应用难5数形结合综合法80%0.457棱柱、棱锥、棱台的体积、简单空间图形的三视图、由二视图还原实物图中5数形结合85%0.408求二项展开式的指定项或指定项的系数、等差数列的基本运算、数列与其它知识的综合问题中5运用公式计算70%0.459不等式恒成立问题、不等式与函数的综合问题中5化归与转化综合法70%0.5010双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、圆锥曲线中的范围、最值问题难5数形结合代数运算演绎推理85%0.4011向量在几何中的应用、平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及几何意义难5数形结合分析法88%0.35

12指数函数综合题、指数函数单调性的应用、指数型复合函数的性质及应用难5数形结合综合法分析法90%0.3013导数的几何意义易5正面解30%0.7014两角和与差的正弦函数、同角二角