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文档简介
OBA切线的性质定理1.圆的切线垂直于经过切点的半径几何符号语言:∵AB是⊙O的切线,B为切点∴AB⊥OBAlo
根据切线的性质,遇到切点,连接半径,这是在圆中添加辅助线的常用方法之一(知切线,连半径)方法技巧
重点回顾根据切线性质,我们经常要做的辅助线是什么?常见问题:证明线段(边)、角相等;求线段(边)的长、角的度数;证明线段比例;求周长、面积等。常用解题的方式及技巧:(1)利用互余知识直接得角相等,进一步推出边相等、平行;或求角度数;或依靠角相等得三角形全等、相似(得出线段比例,进一步得到线段相等或求出线段长)。(2)有角平分线、两边相等(常见于两半径),必得线段平行。(3)反之知道线段平行、两边相等(常见于两半径),可证出角平分线。(4)较难点,在求线段长时,通常假设一边为x,通过相似成比例,用x表示另一边,并把已知、未知数据集中到一个三角形,用勾股定理解之。口诀:有切线,连半径;用互余,得角等;角平分,边相等,证平行;知平行、边相等,得平分(角);较难时,用相似,得比例;设未知,巧转移,用勾股,求线长;圆弧长,扇面积,三公式,要牢记,解答题,需靠它。例题欣赏我思,我进步!例.如图,直角梯形ABCD中,∠A=900,AD//BC,E为AB的中点,以AB为直径的圆与边CD相切于点F.试猜想CE,DE的位置关系以及CD与AD,BC的数量关系,说明理由.ABCDEF解:CE⊥DE
,CD=AD+BC.
连结EF∵∠A=
900,∴AD与⊙E相切.∵CD与⊙E相切.∴∠FDE=∠ADC,AD=DF12
同理得:∠ECF=∠BCD,CF=BC12∵AD//BC∴∠ADC+∠BCD=1800.∴∠EDF+∠ECF=900.∴∠DEC=900.∴CE⊥DE
∴
CD=DF+CF=AD+BC.∴CE⊥DE,CD=AD+BC123OBACD例2.
如图,AB为⊙O的直径,,AD是和⊙O相切于点A的切线,⊙O的弦BC平行于OD.求证:DC是⊙O的切线4Ao二.圆的切线的判定定理是什么?切线的判定方法有哪几种?
(1)
当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径,也就是“
”。切线的判定方法
(2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连结过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,也就是“
”。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.CD无交点,作垂直,证半径有交点,连半径,证垂直口诀:无交点,作垂直,证半径;有交点,连半径,证垂直。重点:要引入一个直角或证得一个90度。一)、有交点,连半径,证垂直(一)利用角度转换证垂直1.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥OB,交AB于点E,且AD=ED.求证:AD是⊙O的切线.解:连接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB.又∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,而∠DEA=∠BEO,∠B+∠BEO=90°,∴∠DAE+∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线二、无交点,作垂直,证半径1.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证:AC与⊙D相切.
解:连接DE,过D作DF⊥AC于点F
易证△BDE≌△CDF,
∴DF=DE,∴AC与⊙O相切F2.如图,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径R.
解:(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A,∴OA⊥AD,又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA,∴CD是⊙O的切线(2)连接OC,易证Rt△OAD≌Rt△OED(HL),∴AD=ED,∠AOD=∠EOD,同理可证Rt△OBC≌Rt△OEC得BC=EC,∠BOC=∠EOC,∴∠DOC=90°,DC=AD+BC=13,由勾股定理可得OD2=R2+42
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