2017年江西中考数学压轴题大集合

PAGE2每个学生都应该用的“超级学习笔记”□小郎录题每个学生都应该用的“超级学习笔记”□小郎录题PAGE2深圳2017年中考数学压轴题大集合第2页（共30页）一、函数与几何综合的压轴题1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)求证：E点在y轴上；如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.图②图②C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxE′yC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy图①图①[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②联立①②得∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。同（1）可得：得：E′F=2方法一：又∵E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k为所求函数解析式.证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k为所求函数解析式.2.（2015广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直ABCOxyP（1，－1）ABCOxyP（1，－1）·M（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则C(1，－3).点A、B、C在抛物线上，则解之得抛物线解析式为（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分..（2015湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.AyxBEFO1QOO2C（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在AyxBEFO1QOO2C[解](1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),BAEBAEFO1QOO2yx2134NMPC∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为则解之，得∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA,∴△CMN∽△CAO.∴∴解之，得此时，四边形OPMN是正方形.∴∴考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或5.（2015湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．XOXOPDCABY[解]（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1.将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上.（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.XGFOPDECABY（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，XGFOPDECABY∴GO=x2，FO=—x1，∴x2—（—x1）=6，即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，∴b=—6a,∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，由方程组y=ax2—6ax+1y=x+1得：由方程组y=ax2—6ax+1y=x+1得：ax2—（6a+）x=0∴x=0或x==6+.当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—综合得：—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜0xy6.（2017湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.

（1）求⊙A的半径；

（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；

（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；

（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m0xy[解](1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝eq\r(2)(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx

任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得：

b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，

∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x

又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)

再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1

∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0)

过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分

∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分

同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，

当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m，

∴S＝

同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；

∴S＝又若C(－2，0)，

此时l为y＝x，同理可得；S＝AAAB(－2,0)CC(2,0)lOPEP′xy（2,0）PClOyxCFFFPP7.（2015江苏连云港）如图，直线与函数的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．（1）若的面积是的面积的倍，求与之间的函数关系式；yx（2）在（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．yx[解]（1）设，(其中)，由，得∴··(····)，，又，∴，即，由可得，代入可得①yx∴，，yx∴，即．又方程①的判别式，∴所求的函数关系式为．（2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点．则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．∵与都与互余，∴．∴Rt∽Rt，∴．∴，∴，∴，即②由（1）知，，代入②得，∴或，又，∴或，∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或．8.（2015江苏镇江）已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.（3）若过A、B、C三点，求的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）由题意得：xyO解得xyO经检验m=1，∴抛物线的解析式为：或：由得，或抛物线的解析式为由得∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.设直线BC的解析式为则∴直线BC的解析式为(2)图象略.（3）法一：在中，.又∴的半径法二：由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，设P（－2，－h）（h＞0），连结PB、PC，则，由，即，解得h=2.的半径.法三：延长CP交于点F.为的直径，又又的半径为（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为则点E的坐标为若则解得（不合题意舍去），若则解得（不合题意舍去），存在点M，点M的坐标为或（15，280）.9.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.求直线DF的解析式.是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.（第9题图）AyxONMGF（第9题图）AyxONMGFEDCB∴，m=3.∴抛物线为.又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.∴D点坐标为.(2)由题意知：AB=4.∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2.∴ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C点坐标为.设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.∵GC、GF是切线，FBAyxONMGEFBAyxONMGEDCP1234∴∠1=∠2.∴GF=GP.∴GC=GP.可得CP=8.∴P点坐标为设直线DF的解析式为则解得∴直线DF的解析式为：(3)假设存在过点G的直线为，则，∴.由方程组得由题意得，∴.当时，，∴方程无实数根，方程组无实数解.∴满足条件的直线不存在.10.（2014山西）已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）解：∵二次函数的图象过点A（－3，6），B（－1，0）xOy得解得xOy∴这个二次函数的解析式为：由解析式可求P（1，－2），C（3，0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BAC∴易求∴∴∴解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x轴于F.亦可证△AEB∽△PFD、∴.易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2∴∴∴（3）存在.（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM又∵且OM＋MC＝OC∴∴（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′同理OM′＋OC＝M′C，得∴M′即在x轴上存在满足条件的两个点.MM′T11-1-24-323056E-1-223ACxyBDMFSGHP11.（2013浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；ABCMOxy（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.ABCMOxy[解]（1），顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），∴S△ACB＝×4×＝6，而a＞0，∴S△ACB＝6A、作MD⊥x轴于D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，∴S△ACM：S△ACB＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，∴k＝，∴y＝ax2－2ax＋，∴.记l与x轴交点为D，若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，∴k＝－，a＝，∴抛物线的解析式为.若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，∴k＝－，a＝，∴抛物线的解析式为.②当抛物线开口向下时，同理可得，.12.（2016北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。[解]（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由（1）知抛物线的解析式为∴点D的坐标为（）①当时，∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切∴点O为切点∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为∴抛物线的解析式为②当时，同理可得：抛物线的解析式为综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得设点P的坐标为（x，y），且y＞0①当点P在抛物线上时（如图2）∵点B是⊙D的优弧上的一点过点P作PE⊥x轴于点E由解得：（舍去）∴点P的坐标为②当点P在抛物线上时（如图3）同理可得，由解得：（舍去）∴点P的坐标为综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为或13.（2015北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。（1）如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；（2）若⊙经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。[解]（1）如图1，过O作于G，则 设（3，0）AB是⊙的直径切⊙于A，在中设直线AC的解析式为，则 直线AC的解析式为 （2）结论：的值不会发生变化 设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示图2则在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN平分的值不会发生变化，其值为4。14.（2016福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y＝eq\f(k,x)(k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m).设△OPA的面积为s，且s＝1＋eq\f(n4,4).（1）当n＝1时，求点A的坐标；（2）若OP＝AP，求k的值；(3)设n是小于20的整数，且k≠eq\f(n4,2)，求OP2的最小值.[解]过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m当n＝1时，s＝eq\f(5,4)∴a＝eq\f(2s,n)＝eq\f(5,2)(2)解1：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n＝eq\f(a,2)∴1＋eq\f(n4,4)＝eq\f(1,2)·an即n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2解2：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n设△OPQ的面积为s1则：s1＝eq\f(s,2)∴eq\f(1,2)·mn＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(n4,4))即：n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2(3)解1：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP设：△OPQ的面积为s1，则eq\f(s1,s)＝eq\f(PO2,AO2)即：eq\f(eq\f(1,2)k,1＋eq\f(n4,4))＝eq\f(n2＋eq\f(k2,n2),eq\f(4(1＋eq\f(n4,4))EQ\S(2),n2))化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)∴当n是小于20的整数时，k＝2.∵OP2＝n2＋m2＝n2＋eq\f(k2,n2)又m＞0，k＝2，∴n是大于0且小于20的整数当n＝1时，OP2＝5当n＝2时，OP2＝5当n＝3时，OP2＝32＋eq\f(4,32)＝9＋eq\f(4,9)＝eq\f(85,9)当n是大于3且小于20的整数时，即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是：42＋eq\f(4,42)、52＋eq\f(4,52)、62＋eq\f(4,62)、…、192＋eq\f(4,192)∵192＋eq\f(4,192)＞182＋eq\f(4,182)＞…＞32＋eq\f(4,32)＞5∴OP2的最小值是5.解2：∵OP2＝n2＋m2＝n2＋eq\f(k2,n2)＝n2＋eq\f(22,n2)＝(n－eq\f(2,n))EQ\S(2)＋4当n＝eq\f(2,n)时，即当n＝eq\r(2)时，OP2最小；又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5∴OP2的最小值是5.解3：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQeq\f(PQ,QA)＝eq\f(OQ,PQ)eq\f(n,a－m)＝eq\f(m,n)化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)解4：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQeq\f(s1,s－s1)＝eq\f(OQ2,PQ2)化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)解5：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP∴eq\f(OP,OA)＝eq\f(OQ,OP)∴OP2＝OQ·OA化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)15.（2015湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。QAPOQAPOC（8，6）B（18，6）A（18，0）xy（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。[解]（1）∵O、C两点的坐标分别为O，C设OC的解析式为，将两点坐标代入得：，，∴∵A，O是轴上两点，故可设抛物线的解析式为再将C代入得：∴（2）D（3）当Q在OC上运动时，可设Q，依题意有：∴，∴Q，当Q在CB上时，Q点所走过的路程为，∵OC＝10，∴CQ＝∴Q点的横坐标为，∴Q，（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为，则Q运动的路程为△OPQ中，OP边上的高为：梯形OABC的面积＝，依题意有：整理得：∵△＝，∴这样的不存在当Q在BC上时，Q走过的路程为，∴CQ的长为：∴梯形OCQP的面积＝＝36≠84×∴这样的值不存在综上所述，不存在这样的值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积16.（2015湖北荆门）已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）