数学用行程问题

1.4用一元一次方程解决实际问题

用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程如下:实际问题数学问题已知量,未知量,等量关系一元一次方程方程的解解的合理性实际问题答案抽象分析列出求出验证合理运用方程解决实际问题的一般过程是什么？1、审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3、列方程：根据相等关系列出方程；4、解方程：求出未知数的值；5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。审设列解验6、答：把所求的答案答出来。答例2某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，则可超额10个．求规定加工的零件数和计划加工的天数．抓“不变量”建立等量关系分析：每天加工的零件数是变量，实际做的工作总量也随着变化，但有两个不变量，即计划加工的时间不变，规定任务不变，这就是题目中的等量关系，可得到两种解法．一元一次方程解应用题的基本类型行程问题工程问题销售问题调配问题数字问题方案问题储蓄问题其他行程问题行程问题中三个量的关系三个基本量关系是：速度×时间=路程行程问题主要包括相遇、追及、环行、水流问题基本题型：（1）同时出发（两段）等量关系：（2）不同时出发（三段）1.相遇问题——相向（对）而行等量关系：例3：当代数学家苏步青教授曾在法国遇到一个很有名气的数学家，这位数学家在电车里给苏教授出了几个题目：（1）甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是50km，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几小时可以碰到？基本题型：1、不同地点同时出发2、同地点不同时出发追及时：快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的路程

追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程

慢者所用时间=快者所用时间+多用时间2.追及问题（2）如果甲、乙、小狗都从同一地点出发，同向而行，甲、乙速度与（1）中相同，小狗速度为每小时5千米，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少千米？思考：（3）如果甲，乙，小狗速度与（2）相同，甲、乙相向而行，小狗同甲一起出发，它碰到乙时，就反向往甲这边走，然后碰到甲，它又往乙这边走，问小狗在甲乙相遇时一共走了多少千米？3.环行问题

反向环行类似相遇问题：

快者走的路程+慢者走的路程=环形周长．同向环行类似追及问题：

快者走的路程-慢者走的路程=环形周长．例4一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．

甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速－水速4.水流问题顺水的路程=逆水的路程例5汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？

解法1：设甲、乙两地的距离为x千米

等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5

依题意得：

x=120

答：甲、乙两地的距离为120千米。直接设元解法2设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，

则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米。等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。依题意得：(18+2)(x－1.5)=(18－2)xx=7.5(18－2)×7.5=120答:甲、乙两地距离为120千米。间接设元

例6某人从甲村去乙村，在乙村停留1小时后又绕道去丙村，再停留半小时返回甲村，去时的速度是5千米/时，回时的速度是4千米/时，来回包括停留时间共用去6小时30分钟，回来因绕道多走了2千米，求去时所走的路程。提高题

甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A、B两地间的距离．分析：用常规方法解决本题具有一定难度，若把两个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解．解：如图，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6千米；第二次相遇，甲、乙两人合走了三个全程，故乙共走了18千米，设A、B两地间的距离为x千米，第二次相遇时乙走了(x+8)千米，所以x+8=18，x=10．答：A、B两地间距离为10千米．小结：行程问题包括相遇、追及、环形、航行等运动问题其基本关系是：路程=时间×速度1相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程2追击问题的等量关系：

1）同时不同地：慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离

2）同地不同时：甲行距离=乙行距离