§几何证明选讲

课标版理数§12.1几何证明选讲1.平行线截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论(i)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段①相等

,那么在其知识梳理他直线上截得的线段也②相等

.(ii)推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.(iii)推论2:经过梯形一腰的③中点

,且与底边④平行

的直线平分

另一腰.(2)平行线分线段成比例定理及其推论(i)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段⑤成比例

.(ii)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的

对应线段⑥成比例

.2.相似三角形(1)相似三角形的判定(i)判定定理a.⑦两角

对应相等的两个三角形相似.b.两边对应成比例且夹角⑧相等

的两个三角形相似.c.三边⑨对应成比例

的两个三角形相似.(ii)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相

交,所构成的三角形与⑩原三角形

相似.(iii)直角三角形相似的特殊判定斜边与一条

直角边

对应成比例的两个直角三角形相似.(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于

相似比

,面积比等于

相似比的平方

.(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上

射影

的

比例中项

;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的

比例中项

.3.圆周角定理(1)圆周角:顶点在

圆周上

且两边都与圆相交的角.(2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

一半

.(3)圆周角定理的推论(i)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也

相等

.(ii)半圆(或直径)所对的圆周角是

直角

;90°的圆周角所对的弦是

直径

.4.圆的切线(1)直线与圆的位置关系

直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d

<

r相切一个d

=

r相离无d

>

r(2)切线的性质及判定定理(i)切线的性质定理:圆的切线

垂直于

经过

切点

的半径.(ii)切线的判定定理:经过半径的

外端

并且

垂直

于这条半径的

直线

是圆的切线.(3)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长

相等

,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5.弦切角(1)弦切角:顶点在

圆

上,一边与圆

相切

、另一边与圆相交的角.(2)弦切角定理及推论(i)定理:弦切角等于它所夹的弧所对的

圆周角

.(ii)推论:同弧或等弧所对的弦切角

相等

,同弧或等弧所对的弦切角与圆周角

相等

.6.与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理

弦AB、CD相

交于圆内点P(1)PA·PB=

PC·PD

;(2)△ACP∽

△DBP

(1)在PA、

PB、PC、PD

四条线段中,知

三可求一;(2)

求弦长及角切割线定理

PA切☉O于A,

PBC是☉O的

割线(1)PA2=

PB·PC

;(2)△PAB∽△

PCA(1)在PA、

PB、PC中,知

二可求一;(2)

求AB、AC割线定理

PAB、PCD是

☉O的割线(1)PA·PB=

PC·PD

;(2)△PAC∽△

PDB(1)在PA、

PB、PC、PD

中,知三可求

一;(2)应用相

似求AC、BD7.圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理:(i)圆的内接四边形的对角

互补

.(ii)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.(2)圆内接四边形判定定理及推论(i)定理:如果一个四边形的对角

互补

,那么这个四边形的四个顶点共圆.(ii)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的

四个顶点共圆.

1.如图,PAB,PC分别是圆O的割线和切线(C为切点),若PA=AB=3,则PC的长

为

(

)

A.6

B.6

C.3

D.3

答案

C由切割线定理得PC2=PA·PB=3×6=18,故PC=3

,故选C.2.如图,从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC,已知PA=2

,PC=4,圆心O到BC的距离为

,则圆O的半径为

.

答案

2

解析取BC的中点M,连结OM,OB,则OM⊥BC.由切割线定理知PA2=PB·PC,故PB=2,所以BC=2.因为在Rt△OMB中,BM=1,OM=

,所以OB=2.3.如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,PBC为圆O的割线,且过圆心O,PA=

,PB=1,则圆O的半径r=

,∠C=

.

解析

PA为切线,PBC为割线,则有PA2=PB·PC,即3=1×(1+2r),则r=1.连结OA,则OA⊥PA,又OA=1,OP=2,则∠AOB=60°.因为OA=OC,所以∠C=

∠OAC=30°.

答案

1;30°4.席如图逢,PA与圆O相切绵于A,PC追B为圆O的割糖线,劫并且这不过舅圆心O,已螺知∠BP房诚A=30°,PA=2,PC=1脊,则登圆O的半会径等籍于.答案扔7解析瘦由PA2=PC·PB,得PB=1党2,撤连结OA,交PB于D,并足反向择延长OA,交贴圆O于点E.在虎直角圾三角哈形AP常D中可京以求夹得PD=4纺,DA=2飞,故CD=3受,DB=8花.记治圆O的半径结为R,由径于ED·DA=CD·DB,所闯以(垫2R-2洋)×2=传3×8,轮解得R=7饿.5.荷如图饥,在衫△AB惕C中,D是AC的中饲点,E是BD的中骂点,占延长AE交BC于F,则=.答案解析炭过阳点E作BC的平哥行线程交AC于点M,可万知M为DC的中丑点,梳故=,=,∴=,∴=.典例扶1倘(璃20鸦14缴广东芽,1款5,顶5分化)如茎图,国在平昏行四虹边形AB你CD中,氧点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于木点F,则=.答案锦9解析逝依送题意缎得△CD住F∽△AE投F,由EB=2AE可知AE∶CD=1朗∶3断.故=9鞠.典例题组相似伙三角帮形的监判定呀及性吹质判定呼两个掩三角衔形相壤似的牢几种补方法忧:①句两角傻对应悲相等列,两君三角朱形相关似;艺②两全边对应谜成比卸例且贷夹角长相等湖,两掉三角量形相纠似;诞③三并边对蛙应成卷比例腊,两盛三角慰形相庄似.1-舌1缝如图滨所示淋,在农△AB掠C中,AD为BC边上舱的中逼线,F为AB上任拜意一楚点,CF交AD于点E.求驾证:AE·BF=2DE·AF.在△BC位F中,D是BC的中感点,DN∥BF,∴DN=BF.∵DN∥AF,∴徐△AF享E∽△DN过E,∴=.又DN=BF,∴=,即AE·BF=2DE·AF.证明脆过庄点D作AB的平烈行线DM交AC于点M,交FC于点N.典例允2泪(折20夸14撇课标孕Ⅰ,丛22刃,1弄0分筛)如塘图,掀四边脚形AB榨CD是☉O的内俯接四秩边形附,AB的延特长线忧与DC的延宪长线狡交于喇点E,且CB=CE.(1符)证狐明:孤∠D=∠E;(2森)设AD不是劫☉O的直丧径,AD的中舰点为M,且MB=MC,证壳明:蝴△AD饱E为等活边三角形窝.有关厕圆的过定理邀的应疗用解析产(1膏)证鼓明:俘由题狮设知A,B,C,D四点您共圆铺,所柱以∠D=∠CB障E.由已泥知得清∠CB膨E=∠E,故吐∠D=∠E.(2死)设BC的中干点为N,连同结MN,则克由MB=MC知MN⊥BC,故O在直正线MN上.又AD不是耀☉O的直绒径,M为AD的中常点,彼故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故闸∠A=∠CB尤E.又∠CB豆E=∠E,故糊∠A=∠E.由谁(1鹅)知碗,∠D=∠E,所防以△AD扶E为等卸边三桌角形贿.相交顶弦定舞理、逆切割遭线定酷理主盐要是北用于沉与圆蜜有关胶的比赴例线奏段的甚计算抖与证籍明.解决乞问题性时要纱注意案相似梳三角续形知块识及绝圆周柔角、图弦切匀角、胡圆的克切线兴等相妄关知识老的综营合应缎用.2-稀1摇如图朱,已塘知AP是☉O的切啄线,P为切毅点,AC是☉O的割济线,插与☉O交于B、C两点明,圆仓心O在∠PA识C的内旷部,乌点M是BC的中岔点.(1难)证冠明:A,P,O,M四点珠共圆治;(2促)求叮∠OA慢M+∠AP凳M的大擦小.解析狼(1镰)证段明:巧连结OP、OM.因为AP与☉O相切础于点P,所刮以OP⊥AP.因为M是☉O的弦BC的中霞