新教材人教A版必修第二册第10章102事件的相互独立性学案

10.2大事的相互性学习任务核心素养1．结合有限样本空间，了解两个随机大事性的含义．(重点、易混点)2．结合古典概型，利用性计算概率．(重点、难点)1．通过学习两个随机大事性的含义，培育数学抽象素养．2．通过利用随机大事的性计算概率，培育数学运算素养．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．大事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券〞，大事B为“第三名同学抽到中奖奖券〞．问题：上述问题中大事A的发生是否会影响B发生的概率？大事A和大事B相互吗？学问点大事的相互性1．相互大事的定义对任意两个大事A与B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，那么称大事A与大事B相互，简称为．2．相互大事的性质当大事A，B相互时，那么大事A与大事eq\o(B,\s\up7(－))相互，大事eq\o(A,\s\up7(－))与大事B相互，大事eq\o(A,\s\up7(－))与大事eq\o(B,\s\up7(－))相互．(1)大事A与B相互可以推广到n个大事的一般情形吗？(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？[提示](1)对于n个大事A1，A2，…，An，假如其中任何一个大事发生的概率不受其他大事是否发生的影响，那么称大事A1，A2，…，An相互．(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：假如大事A1，A2，…，An相互，那么这n个大事同时发生的概率等于每个大事发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An1．思索辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)不行能大事与任何一个大事相互． ()(2)必定大事与任何一个大事相互． ()(3)假设两个大事互斥，那么这两个大事相互． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球〞，假如“其次次摸到白球〞记为B，否那么记为C，那么大事A与B，A与C的关系是()A．A与B，A与C均相互B．A与B相互，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互A[由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对其次次摸球的结果没有影响，故大事A与B，A与C均相互，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，应选A．]3．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，那么他连续做对第1题和第2题的概率是()A．0.64B．0.56C[设Ai表示“第i题做对〞，i＝1,2，那么P(A1A2)＝P(A1)P(A2×4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，那么取到相同颜色的球的概率是________．eq\f(1,2)[由题意知P＝eq\f(8,8＋4)×eq\f(6,6＋6)＋eq\f(4,8＋4)×eq\f(6,6＋6)＝eq\f(1,2)．]类型1性的推断【例1】一个家庭中有假设干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，争论A与B的性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[解](1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的全部可能情形为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为eq\f(1,4)．这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2)．由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以大事A，B不相互．(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的全部可能情形为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共有8个样本点，由等可能性知概率均为eq\f(1,8)．这时A＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，B＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，AB＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)．明显有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．所以大事A与B是相互的．推断两个大事是否相互的方法有哪些？[提示](1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以精确?????地推断两个大事是否相互．(2)定性法：直观地推断一个大事发生与否对另一个大事的发生的概率是否有影响，假设没有影响就是相互大事．eq\o([跟进训练])1．推断以下各对大事是不是相互大事．(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲竞赛，“从甲组中选出1名男生〞与“从乙组中选出1名女生〞；(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果〞与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨〞；(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球〞与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球〞．[解](1)“从甲组中选出1名男生〞这一大事是否发生对“从乙组中选出1名女生〞这一大事发生的概率没有影响，所以二者是相互大事．(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果〞这一大事是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨〞这一大事发生的概率没有影响，所以二者是相互大事．(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互大事．类型2相互大事概率的计算【例2】(对接教材P248例2)甲、乙、丙3位高校生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被选中互不影响．求：(1)3人同时被选中的概率；(2)3人中恰有1人被选中的概率．[解]记甲、乙、丙能被选中的大事分别为A，B，C，那么P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3)．(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10)．(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)∪eq\x\to(A)Beq\x\to(C)∪eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＝eq\f(5,12)．1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．[解]法一：3人中有2人被选中的概率P3＝P(ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C∪eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60)．由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,10)＋eq\f(5,12)＋eq\f(23,60)＝eq\f(9,10)．法二：3人均未被选中的概率P＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,10)．由于“3人中至少有1人被选中〞与“3人均未被选中〞是相互对立大事，所以“3人中至少有1人被选中〞的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)．2．假设本例条件“3人能被选中的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)〞变为“甲、乙两人恰有一人被选中的概率为eq\f(11,20)，两人都被选中的概率为eq\f(3,10)，丙被选中的概率为eq\f(1,3)〞，求恰好有2人被选中的概率．[解]设甲、乙两人恰有一人被选中为大事A，甲、乙都被选中为大事B，丙被选中为大事C，那么恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P(eq\x\to(C))＝eq\f(11,20)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(23,60)．用相互大事的乘法公式解题的步骤(1)用恰当的字母表示题中有关大事．(2)依据题设条件，分析大事间的关系．(3)将需要计算概率的大事表示为所设大事的乘积或假设干个大事的乘积之和(相互乘积的大事之间必需满意相互)．(4)利用乘法公式计算概率．eq\o([跟进训练])2．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队竞赛一场)，共赛三场，每场竞赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场竞赛中，甲胜乙的概率为eq\f(1,3)，甲胜丙的概率为eq\f(1,4)，乙胜丙的概率为eq\f(1,3)．(1)求甲队获第一名且丙队获其次名的概率；(2)求在该次竞赛中甲队至少得3分的概率．[解](1)设甲队获第一名且丙队获其次名为大事A，那么P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,18)．(2)甲队至少得3分有两种状况：两场只胜一场；两场都胜．设大事B为“甲两场只胜一场〞，设大事C为“甲两场都胜〞，那么大事“甲队至少得3分〞为B∪C，那么P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)．类型3相互大事的概率的综合应用【例3】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．(1)在如下图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？(2)三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？假如大事A，B相互，大事AB的对立大事是eq\x\to(A)eq\x\to(B)吗？[提示]假如大事A，B相互，大事AB的对立大事是eq\x\to(A)eq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B).[解](1)电路不发生故障包括三种状况，一是三个元件都正常工作，二是T1正常工作，T2正常工作，T3不能正常工作，三是T1正常工作，T2不能正常工作，T3正常工作，这三种状况是互斥的，每一种状况里三个元件是否正常工作是相互的，∴电路不发生故障的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(15,32)．(2)把T2或T3与T1的位置互换，所得电路不发生故障的概率P′＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(21,32)．∵eq\f(21,32)＞eq\f(15,32)，∴把T2或T3与T1的位置互换，即T1与T2(T3)并联后再与T3(T2)串联，这样的电路能使电路不发生故障的概率最大．大事间的性关系两个大事A，B相互，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么有大事表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生eq\x\to(A)eq\x\to(B)P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))A，B恰有一个发生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)A，B中至少有一个发生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(AB)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一个发生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(eq\x\to(A)eq\x\to(B))P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))eq\o([跟进训练])3．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4，电流能否通过各元件相互．T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．(1)求P；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．[解]记大事Ai表示“电流能通过Ti〞，i＝1,2,3,4，大事A表示“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流〞，大事B表示“电流能在M与N之间通过〞．(1)eq\x\to(A)＝eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3，A1，A2，A3相互，所以P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝(1－P)3．又P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，所以(1－P)3＝0.001，解得P＝0.9．(2)由于B＝A4＋eq\x\to(A)4A1A3＋eq\x\to(A)4eq\x\to(A)1A2A3，所以P(B)＝P(A4)＋P(eq\x\to(A)4A1A3)＋P(eq\x\to(A)4eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A4)＋P(eq\x\to(A)4)P(A1)P(A3)＋P(eq\x\to(A)4)P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)×××××＝0.9891．1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设大事A：“甲击中目标〞，大事B：“乙击中目标〞，那么大事A与大事B()A．相互但不互斥 B．互斥但不相互C．相互且互斥 D．既不相互也不互斥A[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以大事A与B相互；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说大事A与B可能同时发生，所以大事A与B不是互斥大事．]2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好同学，乙班有6名三好同学，两班各派1名