数值分析第7章答案

word文档精品文档分享数值分析第七章1第七章非线性方程求根一、重点内容提要〔一〕问题简介求单变量函数方程f(x)0(7.1)的根是指求x*〔实数或复数〕，使得f(x*)0.称x*为方程(7.1)的根,也称x*为函数f(x)的零点.假设f(x)可以分解为f(x)(xx*)mg(x)其中m为正整数,g(x)满足g(x)0,那么x*是方程(7.1)的根.当m=1时,称x*为单根;当m>1时,称x*为m重根.假设g(x)充分光滑,x*是方程(7.1)的m重根,那么有f(x*)f'(x*)...f(m1)(x*)0,f(m)(x*)0假设f(x)在[a,b]上连续且f(a)f(b)0,那么方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1.二分法设f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)0,那么f(x)0在(a,b)内有根x*.再设x01f(x)0在(a,b)内仅有一个根.令a0a,b0(a0b0)b,计算2和f(x0).假设f(x0)0那么x*x,完毕计算;假设f(a0)f(x0)0,那么令a1x0,b1b,得新的有根区间[a1,b1];假设f(a0)f(x0)0,那么令aab1x得新的有根区间10,,b1a11a0)x11b1)[a1,b1].[a0,b0](b0(a1计算f(x1),同上法[a1,b1],2.再令2得出新的有根区间[a2,b2],如此反复进展,可得一有根区间套...[an,bn][an1,bn1]...[a0,b0]且anx*bn,n0,1,2,...,bnan1(bn1a1)...1n(b0a0)22.lim(bnan)0,limxnlim1bn)x*(an故nnn2word文档精品文档分享数值分析第七章2因此,xn1(anbn)可作为f(x)0的近似根,且有误差估计2|xnx*|2n11(ba)(7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为x(x)(7.3)假设要求x*满足f(x*)0那么x*(x*);反之亦然.称x*为函数(x)的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求(x)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为xk1(xk),k0,1,2...(7.4)函数(x)称为迭代函数.如果对任意xk1(xk),k0,1,2...,由式(7.4)产生的序列xk有极限limxkx*k那么称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设(x)C[a,b]满足以下两个条件:1.对任意x[a,b]有a(x)b;2.存在正常数L1,使对任意x,y[a,b],都有|(x)(y)||xy|(7.5)那么(x)在[a,b]上存在惟一的不动点x*.定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设(x)C[a,b]满足定理7.1中的两x[a,b],由(7.4)式得到的迭代序列xk收敛.到(x)的不动个条件,那么对任意0点,并有误差估计式|xkx*|Lxk1||xk(7.6)1L|xkx*|Lkxk1|和|xk(7.7)1L定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设x*为(x)的不动点,'(x)在x*的某个邻域连续,且|'(x)|1,那么迭代法(7.4)局部收敛.word文档精品文档分享数值分析第七章3收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程x(x)的根x*,如果迭代误差ekxkx*当k时成产以下渐近关系式ek1C(常数C0)ek(7.8)那么称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果(K)(x)在所求根x*的邻近连续,并且'(x*)''(x*)...(p1)(x*)0(p)(x*)0(7.9)那么该迭代过程在点x*的邻近是收敛的,并有limekp11(p)(x*)kekp!(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进展加速.具体公式为yk(xk),zk(yk)xk1(ykxk)2xk2ykxkzkk0,1,2,...(7.11)此法也可写成如下不动点迭代式xk1(xk),k0,1,2,...(x)x((x)x)2(x))2(x)x((7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理)设x*为式(7.12)中(x)的不动点,那么x*是(x)的不动点;设''(x)存在,'(x*)1,那么x*是(x)的不动点,那么斯蒂芬森迭代(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为xk1xkf(xk),k0,1,2,...其迭代函数为f'(xk)(7.13)word文档精品文档分享数值分析第七章4(x)f(x)xf'(x)牛顿迭代法的收敛速度当f(x*)0,f'(x*)0,f''(x*)0时,容易证''(x*)f''(x*)0f'(x*)明,f'(x*)0,,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且limek21f''(x*)kek2f'(x*)(7.14)重根情形的牛顿迭代法当x*是f(x)0的m重根(m2)时,迭代函数f(x)'(x*)10(x)x1'(x*)|1.所以牛顿迭代法f'(x)在x*处的导数m,且|求重根只是线性收敛.假设x*的重数m知道,那么迭代式xk1xkmf(xk),k0,1,2,...f'(xk)(7.15)(x)f(x)求重根二阶收敛.当m未知时,x*一定是函数f'(x)的单重零点,此时迭代式xk1(xk)f(xk)f'(xk)xkxk[f'(xk)]f(xk)f''(xk)'(xk)k0,1,2,...(7.16)也是二阶收敛的.xk1xkf(xk),k0,1,2,...简化牛顿法如下迭代法f'(x0)称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的f'(xk)用f(x)在xk1,xk处的一阶差商来代替,即可得弦截法xk1xkf(xk)(xkxk1)f(xk)f(xk1)(7.17)定理7.6假设f(x)在其零点x*的邻域:|xx*|内具有二阶连续导数,且对word文档精品文档分享数值分析第七章5任意x有fx0,x1充分小时,弦截法(7.17)'(x)0,又初值,,那么当邻域将151.618p2210的正根.按阶收敛到x*.这里p是方程抛物线法弦截法可以理解为用过(xk1,f(xk1)),(xkf(xk))两点的直线方程的根近似替f(x)0的根.假设f(x)0xk,xk1,xk2用过的三个近似根word文档精品文档分享(x ,f (x ))x,( f,x(kk1k1k所得的迭代法称为抛物线法2k)x),(f2kx,())f(x)0的根,的抛物线方程的根近似代替,也称密勒(Muller)法.word文档精品文档分享当f(x)在x*的邻近有三阶连续导数,f'(x*)0,那么抛物线法局部收敛,且收敛阶为p1.8391.84.二、知识构造图三、常考题型及典型题精解例7-1证明方程x3x10在[1,2]上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|xk-x*|10-3.假设要求|xk-x*|10-6,需二分区间[1,2]多少次?解设f(x)=x3故方程f(x)=0在[1,2]x1,那么f(1)=-1<0,f(2)=5>0,上有根x*.又因f'(x)=3x2-1,所以当x[1,2]时,f'(x)>0,即f(x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.7-1kbkxkf(xk)的符号ak0121.5+111.51.25-21.251.51.375+word文档精品文档分享数值分析第七章631.251.3751.3125-41.31251.3751.3438+51.31251.13431.3282+61.312581.3204-71.32041.32821.3243-81.32431.32821.3263+91.32431.32821.3253+1.3263此时x=1.3253满足|x9-x*|10.97710-310-3,可以作为x*的近9210似值.假设要求|xk-x*|106,只需|xk-x*|110-6即可,解得k+119.932,k+12即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2函数方程(x-2)ex=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动word文档精品文档分享点迭代公式使之对任意初始近似x造的公式计算根的近似值,要求|x0[a,b],迭代方法均收敛;(3)用所构kxk1|103.word文档精品文档分享解(1)令f(x)=(x-2)ex-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=ex-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1)ex,limf(x)=+,limf(x)=-1,xxf'(1)=-e1-1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].(2)将(x-2)ex=1等价变形为x=2+ex,x[2,3].那么(x)=2+ex.由于当x[2,3]时2(x)3,|'(x)|=|-ex|e2<1故不动点迭代法x=2+xk,k=0,1,2,...,对x0[2,3]均收敛.k+1e(3)取x=2.5,利用xk+1=2+xk进展迭代计算,结果如表7-2所示.0e表7-2kxk|xkxk1|02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.000519761742.1202149760.000622589word文档精品文档分享数值分析第七章7此时x4已满足误差要求,即x*x4 2.120214976.例73考虑求解方程2cosx3x120的迭代公式xk+1=4+2cosxk,k=0,1,2,...3试证:对任意初始近似x0R,该方法收敛;(2)取x=4,求根的近似值xk+1,要求|xk+1-x|10-3;0k所给方法的收敛阶是多少?解(1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+2cosx,3x(,由于(x)的值域介于(4-2)与(4+2)之间,且).33|'(x)|=|-22sinx|133故根据定理7.1,7.2知,(x)在(,)内存在惟一的不动点x*,且对x0R,迭代公式得到的序列xk收敛于x*.(2)取x=4,迭代计算结果如表7-3所示.0表7-3kxk|xkxk1|0413.5642375870.43576241323.39199516803541248270.03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此时x5已满足误差要求，即x*x53.347529903〔3〕由于'(x*)0.1363231290，故根据定理7.4知方法是线性收敛的，并limek1'(x*)kek且有。例7-4对于迭代函数(x)xC(x22)，试讨论：〔1〕当C为何值时，xk1(xk)(k0,1,2,...)产生的序列xk收敛于2；〔2〕C为何值时收敛最快？11〔3〕分别取C22(x)的不动点2，要求2，，计算word文档精品文档分享数值分析第七章8|xk1xk|105解：〔1〕(x)xC(x22)，'(x)12Cx，根据定理7.3，当1C0|'(2)||122C|1，亦即2时迭代收敛。C122时迭代至少是二阶〔2〕由定理7.4知，当'(2)122C0，即收敛的，收敛最快。C1,11.2，迭代计算结果如表〔3〕分别取222，并取x07-4所示。表7-4kxk(C1k1)xk(C)22201.201.211.4811.39798989961.41336958621.414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此时都到达|xk1xk|105.事实上21.414213562...,x0,2例7-50a以及迭代公式给定初值xk1x(k2akx),k0,1,2,...,常数a0证明:(1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列xk收敛的充要条件是|1ax0|1．解:(1)显然,迭代函数为(x)x(2ax),且(1)11aa,即a是(x)的不动点.又'(x)2(1ax),''(x)2a,所以'(1)0''(1)2a0a,a，由定理7.4知，limek211''(1)a迭代是二阶收敛的，且kek2a．word文档精品文档分享数值分析第七章9ekxk11(axk1)，令rkaxk1，那么〔２〕因aaxk1xk(1rk),ek1rka然而rkaxk1axk1(1rk1)1(rk11)(1rk1)1rk21故rk2rk4rk2rk12...0ek1rk1r02kaalimek0limrk0limrk0|r0|1，即|1ax0|1．由此可知k等价于k，而k又等价于注〔１〕的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明．另外，此题迭f(x)1a代式实际上是对x使用牛顿迭代法而得．例7-6对(x)xx3,x0为(x)的一个不动点,验证迭代xk1(xk)对任意x00不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并说明斯蒂芬森迭代计算(x)的不动点x0时的收敛阶.解由于'(x)13x2,当x0时|'(x)|1,且有|xk10||(xk)0||'()(xk0)|,介于xk与0之间,假设x00,L1,迭代不收.假设改用斯蒂芬森迭代(7.12),可得xk1(xk),(x)xx3x23x4'(0)23,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.20'(0)0时,收敛阶p1.(请读者由于3,故用斯蒂芬森迭代计算不动点x注意,这一结论与定理7.5的结论是否矛盾?)例7-7当R取适当值时,曲线yx2与y2(x8)2R2相切,试用迭法求切点横word文档精品文档分享数值分析第七章10坐标的近似值,要求不少于四位有效数字 ,且不必求R.解yx2的导数y'2x,由y2(x8)2R2确定的函数y的导数满足2yy'2(x8)0,由两曲线相切的条件,可得2x22x2(x8)0即2x3x80令f(x)2x3x8,那么f(1)0,f(2)0,f(x)0在(1,2)内有实根.又f'(x)6x210,故f(x)0仅有一个根,构造迭代公式xk1(xk),(x)(8x)31,x(1,2)2,那么当x[1,2]时,1(x)2.22|'(x)||1(8x)3|L1(1)316263故迭代收敛.取x01.5,计算结果如表7-5所示.7-5kxk|xkx1|kxk|xxk1|kk01.50.01875221.4826710.00142311.48124831.4825630.00010811032|xx*|L|xx|110331L32,故可取x*x31.483,即可保证两曲线切由于2点的横坐标的近似值具有四位有效数字.例7-8曲线yx30.51x1与y2.4x21.89在点(1.6,1)附近相切,试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值xk1,使|xk1xk|105.解两曲线的导数分别为y'3x20.51和y'4.8x,两曲线相切,导数相等,故有3x24.8x0.510令f(x)3x24.8x0.51,那么f(1)0,f(2)0,故区间[1,2]是f(x)0的有根区word文档精品文档分享数值分析第七章11间.又当x[1,2]时,f'(x)6x4.80,因此f(x)0在[1,2]上有惟一实根x*.对f(x)应用牛顿迭代法,得计算公式xk1xk3xk24.8xk0.51,k0,1,2,...6xk4.8由于f''(x)60,故取x02迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示.表7-6kxkkxk02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7继续计算仍得x61.7,故x*1.7.注此题也可令x30.51x12.4x21.89,解得切点横坐标满足方程f(x)x32.4x251x2.890,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时2.仍取x02,经四步可得x*1.7.例7-9(牛顿迭代法收敛定理)设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,且满足条件f(a)f(b)0;(2)在[a,b]上f'(x)0,f''(x)0;(3)x0[a,b]满足f(x0)f''(x0)0.那么由牛顿迭代法产生的序列xk单调收敛于f(x)0在[a,b]内的惟一实根x*,并且是平方收敛的.证明因f(x)在[a,b]上连续,由条件(1)知,方程f(x)0在(a,b)内有根x*.又由于条件(2)知f'(x)在[a,b]上恒正或恒负,所以f(x)在[a,b]上严格单调,因而x*是f(x)0在(a,b)内的惟一实根.条件(1),(2)共有四种情形:(1)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b];word文档精品文档分享数值分析第七章12(2)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b];(3)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b];(4)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b].仅就(1)进展定理证明,其余三种情况的证明方法是类似的.由x0[a,b],f(x0)f''(x0)0可知f(x0)0,再由f'(x)0知f(x)单增且x0x*.又由牛顿迭代法知x1x0f(x0)x0f'(x0)又台劳展开得f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)1f''(0)(xx0)22!其中0介于x与x0之间.利用f(x*)0,得f(x0)f'(x0)(x*x0)1f''(0*)(x*x0)202word文档精品文档分享x*x1f(x0)x0f'(x0)*1f''(0)(x*2f'(x0)1f''(0*)(x*x0)22f'(x0)x0)2word文档精品文档分享由f'(x) 0,f''(x)0以及前面证明的x1x0,有x* x1x0一般地,设x*xkxk1,那么必有f(xk)0且xk1xkf(xk)xkf'(xk)同样由台劳公式f(x)f(xk)f'(xk)(xxk)1f''(k)(xxk)22!及f(x*)0,得word文档精品文档分享数值分析第七章13f(xk)f'(xk)(x*xk)1f''(k*)(x*xk)202x*xkf(xk)1f''(k*)(x*xk)2f'(xk)2f'(xk)xk11f''(k*)(x*xk)2xk1xk2f'(xk)根据归纳法原理知,数列xklimxkl单调下降有下界x*,因此有极限.设k.对迭xk1xkf(xk)f'(xk)两端取k的极限,并利用f(x).f'(x)的连续性知代式f(l)0,即lx*.limxk1x*1f''(x*)由上述证明知,有关系式k(xkx*)22f'(x*),即对于单根,牛顿迭代法是平方收敛的.例7-10设函数f(x)具有二阶连续导数,f(x*)0,f'(x*)0,f''(x*)0,xk是由牛顿迭代法产生的序列,证明xk1xkf''(x*)lim2k(xkxk1)2f'(x*)解牛顿迭代法为word文档精品文档分享故其中xk1xkf(xk),k0,1,2,...f'(xk)xk1xkf(xk)f'(xk)xk1xkf(xk)2f'(xk1)(xkxk1)2f'(xk)f(xk1)f(xk)f(x*)[f'(xk1)]2[f(xk1)f(x*)]2f'(xk)f'(k)[f'(xk1)]2(xkx*)f'(xk)[f'(k1)]2(xk1x*)2k介于xk与x*之间,k1介于xk1与x*之间,根据式(7.14)得word文档精品文档分享limxk1xk(xkxk1)2k1f''(x*)2f'(x*)数值分析第七章14limf'(k)[f'(xk1)]2xkx*22kf'(xk)[f'(k1)](xk1x*)word文档精品文档分享例7-11设f(x)具有连续的m阶导数,x*是f(x)0的m重根(m2),xk是由牛顿迭代法产生的序列,证明limxk1x*11;kxkx*m(1)limxk1xk11;kxkxk1m(2)limxk1xkm.kxk2xkxk1(3)1证明(1)因x*是f(x)0的m重根,那么f(x)可以表示成f(x)(xx*)mh(x),h(x)0所以f'(x)m(xx*)m1h(x)(xx*)mh'(x)(xx*)m1[mh(x)(xx*)h'(x)]xk1xkf(xk)f'(xk)得由牛顿迭代法xk1x*xkx*(xkx*)mh(xk)(xkx*)m1[mh(xk)(xkx*)h'(xk)](xkx*)1h(xk)mh(xk)(xkx*)h'(xk)故limxk1x*11kxkx*m(2)word文档精品文档分享数值分析第七章15xk1xkf(xk)f'(xk1)xkxk1f(xk1)f'(xk)(xkx*)mh(xk)(xk1x*)m1[mh(xk1)(xk1x*)h'(xk1)](xk1x*)mh(xk1)(xkx*)m1[mh(xk)(xkx*)h'(xk)]xkx*h(xk)mh(xk1)(xk1x*)h'(xk1)xk1x*h(xk1)mh(xk)(xkx*)h'(xk)利用h(x*)0及(1)的结论得limxk1xk11;kxkxk1m(x)xf(x)(3)先证明牛顿迭代函数f'(x)的导函数'(x)11x*)(xm因x*是f(x)的m重零点,那么由假设,f(x)具有m阶连续导数,得f(x*)f'(x*)...f(m1)(x*)0,f(m)(x*)0且f(x)1f(m)(1)(xx*)mm!f'(x)(m1f(m)(2)(xx*)m11)!f''(x)12)!f(m)(3)(xx*)m2(m其中1,2,3介于x与x*之间,故有'(x*)f(x)f''(x)m1f(m)(1)f(m)(3)11lim[f'(x)]2limm[f(m)(2)]2mnx*nx*而xk1xkxk1xkxk12xkxk1(xk1xk)(xkxk1)xk1xk1xk1xk'(k)(xk1xk)1'(k)word文档精品文档分享所以word文档精品文档分享数值分析第七章16limxk1xklim11mxk12xkxk11'(k)kk11(1)m'(x*)11注结论(1)和m都说明牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论(3)可以用来计算重根数m.例7-12考虑以下修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法)f2(x)xk1xkkf(xkf(xk))f(xk)设f(x)有二阶连续导数,f(x*)0,f'(x*)0,试证明该方法是二阶收敛的.证明将f(xkf(xk))在xk处作台劳展开,得f(xkf(xk))f(xk)f'(xk)f(xk)1f''()f2(xk)2其中介于xk与xkf(xk)之间,于是f(xkf(xk))f(xk)f'(xk)f(xk)1f''()f2(xk)f(xk)2xk1x*xkx*1f'(xk)f''()f(xk)2由于x*是f(x)0的单根,故f(x)(xx*)h(x),h(x*)0所以f'(xk)h(xk)(xkx*)h'(xk)xk1x*xkx*(xkx*)h(xk)1f''()f(xk)h(xk)(xkx*)h'(xk)2(xkx*)1h(xk)1h(xk)(xkx*)h'(xk))f(xk)f''(2(xkx*)2h'(xk)1f''()h(xk)2h(xk)(xkx*)h'(xk)1f''()h(xk)2word文档精品文档分享故word文档精品文档分享数值分析第七章17xk1x*h'(x*)1h(x*)f''(x*)lim2(xkx*)2h(x*)k即迭代法是二阶收敛的.四、学习效果测试题及答案1、证明方程ex10x20在(0,1)内有一个实根x*,并用二分法求这个根.假设要求|xnx*|106,需二分区间[0,1]多少次?(答案:当|xnx*|103时x*x90.090820313对分次数k120.)2、对方程3x2ex0,确定[a,b]及(x),使xk1(xk)对任意x0[a,b]均收敛,并求出方程的各个根,误差不超过104.(答1x[a,b][1,0],(x)e2,x*0.4589622673案:(1);(2)1x[a,b][1,0],(x)e2,x*0.9100075723;(3)[a,b][3,4],(x)ln(3x2),x*3.733079028)3、建立一个迭代公式计算222...,分析迭代的收敛性,取x00,计算x6.(答案:xk12xk,k0,1,2,...,x61.999397637.)4、试分别采用1(x)2lnx和2(x)ex2的斯蒂芬森迭代法求方程xlnx2|xkxk1|108在区间(2,)内的根x*,要求xk.(答案:取x03,其解分别为x43.146193220和x53.146193262.)5、由方程f(x)x44x240求二重根x*2,试用牛顿法(7.13),有重根时的牛顿法(7.15),(7.16)计算x*,要求|xk1xk|108.word文档精品文档分享数值分析第七章18(答案:三种方法均取x01.5,分别得x241.414213568,x31.414213562,x31.414213562.)6、用弦切法求Leonardo方程f(x)x32x210x200的根,要求|xk1xk|106.(答案:取x01,x22,用式(7.17)得x51.368808108.)7、用抛物线法求解方程x33x10在x02附近的根,要求|xk1xk|106.(答案:取x01,x22,x32.5,x*x61.879385242.)8、试构造一个求方程exx2根的收敛的迭代格式,要求说明收敛理由,并求根|xkxk1|1103的近似值xk,使2.(答案:有根区间[0,1],不动点迭代式xk1(xk)ln(2xk),取x00.5,x*x140.442671724.另外,也可用牛顿迭代法求解得x*x30.442854401.)9、试确定常数p,q,r,使迭代公式xkpxkqa215xk产生的序列收敛到3a,并使其收敛阶尽可能高.可得pq51(答案:利用定理7.49,r9,且'''(3a)0,此时迭代法三阶收敛.)10、(x)xp(x)f(x)q(x)f2(x),试确定函数p(x)和q(x),使求解f(x)0且以(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.p(x)1,q(x)1f''(x)3.(答案:利用定理(7.4)可得f'(x)2[f'(x)])五、课后习题全解word文档精品文档分享数值分析第七章191、用二分法求方程x2x10的正根,要求误差小于0.05.解设f(x)x2x1,f(1)10,f(2)10,故[1,2]为f(x)的有根区间.又011f'(x)2xxf(x)单增,x2时f(x)单增.而1,故当2时,当f(1)5,f(0)1,由单调性知f(x)0的惟一正根x*(1,2).根据二分法的2410.05误差估计式(7.2)0.05,只需2k115.322,故至知要求误差小于,解得k少应二分6次.具体计算结果见表7-7.表7-7kakbkxkf(xk)的符号0121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375--x*x51.609375.2、为求x3x210在x01.5附近的一个根,设将方程改写成以下等价形式,并建立相应的迭代公式:x11xk111(1)x22,迭代公式xk;1(2)x31x2,迭代公式xk1(1xk2)3;x21xk11xk1.(3)x1,迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似.解取x01.5的邻域[1.3,1.6]来考察.(1)当x[1.3,1.6](x)11[1.3,1.6],|'(x)||2|2L1时,x2x31.33,故迭代公word文档精品文档分享数值分析第七章20xk111在[1.3,1.6]上整体收敛.式xk2(2)当x[1.3,1.6]时(x)(1x2)1/3[1.3,1.6]|'(x)|2|x2|21.62L0.52213(1x2)33(11.32)31故xk1(1xk2)3在[1.3,1.6]上整体收敛.1111(x),|'(x)||2(x1)3/2|1xk1(3)x12(1.61)故xk1发散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需|xkx*|1L|xkxk1|1103L2即|xkxk1|1L11030.5103L2取x01.5计算结果见表7-8.表7-8kk11.48124803441.46704797321.47270573051.46624301031.46881731461.465876820由于|x6x5|1103x61.466.2,故可取x*3、比拟求ex10x20的根到三位小数所需的计算量:在区间[0,1]内用二分法;2exkxk110,取初值x00.(2)用迭代法解(1)因x*[0,1],f(0)0,f(1)0,故0x*1,用二分法计算结果见表7-9.7-9kxkbkxk1akf(xk)的符号xk2k1word文档精品文档分享数值分析第七章210010.5+0.5100.50.25+0.25200.250.125+0.125300.1250.0625-0.062540.06250.1250.09375+0.0312550.06250.093750.078125-0.01562560.07781250.093750.0859375-0.007812570.08593750.093750.08984375-0.0039062580.089843750.093750.09179687+0.0019531290.089843750.091796875+5100.0898437550.09082031-0.00097656110.090332030.090820312+212120.09033203-0.00048828130.090332030.090820311-114120.09057617+0.000244140.090454100.0905761710.00012207110.090454100.000061030.090515130.0905761715610.090515130.000030510.090576176710.090545653此时|x14x*|10.0000305171104,x*x142152具有三位有效数字.(2)当x[0,0.5]时,(x)[0,0.5],|'(x)|1|ex|L0.82510,故迭代试xk11(2exk)上整体收敛.取x00,迭代计算结果如表7-10所示.10在[0,0.5]表7-10kxkxkk10.140.09051261620.08948290850.09052646830.09063913560.090524951word文档精品文档分享数值分析第七章22|x6x*|L|x6x5|0.000007201104x6准确到三位小数.此时1L2,故x*4、给定函数f(x),设对一切x,f'(x)存在且0mf'(x)M,证明对于X围02,迭代过程xkxkf(xk)均收敛于f(x)0的根M内的任意定数1x*.证明由于f'(x)0,f(x)为单增函数,故方程f(x)0的根x*是惟一的(假定方程有根x*).迭代函数(x)xf(x),|'(x)||1f'(x)|,.由020mf'(x)M2,11M0mf'(x)MM得,1f'(x)1m1,故及|'(x)|Lmax{|1m|,|1M|}1,由此可得|xkx*|L|xk1x*|...Lk|x0x*|0(k)limkx*即k.5、用斯蒂芬森迭代法计算第2题中(2)的近似根,准确到105.13(x)1解记第2题中(2)的迭代函数2(x)(1x2)2,(3)的迭代函数为x1,利用迭代式(7.11),计算结果见表7-11.表7-11k加速〔x〕的结果xk加速〔x〕的结果x2k3k01.501.511.46555848511.46734228621.46557123321.46557608531.46557123231.46557123241.4655712326、设(x)xp(x)f(x)q(x)f(2x),试确定函数p(x)和q(x),使求解f(x)0且以(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.解要求xk1(xk)三阶收敛到f(x)0的根x*,根据定理7.4,应有word文档精品文档分享数值分析第七章23(x*) x*, '(x*) 0, ''(x*)0.于是由word文档精品文档分享x* x*'(x*)''(x*)2p(x*)f(x*)q(x*)f〔x*〕=x*1p(x*)f'(x*)02p'(x*)f'(x*)p(x*)f''(x*)2q(x*)[f'(x*)]20word文档精品文档分享得11f''(x*)p(x*),q(x*)[f'(x*)]3f'(x*)2故取11f''(x)p(x),q(x)3f'(x)2[f'(x)]即迭代至少三阶收敛.7、用以下方法求f(x)x33x10在x02附近的根.根的准确值x*1.87938524...,要求计算结果准确到四位有效数字.用牛顿法;(2)用弦截法,取x02,x11.9;(3)用抛物线法,取x01,x13,x22.解f(1)0,f(2)0,f(x)3x233(x21)0,f''(x)6x0,对x[1,2].取x02,用牛顿迭代法x33x12x31xk1xkkkk3xk233(xk21)x11.888888889,x21.879451567,|x2x*|1103,故计算得2x*x21.879451567.(2)取x22,x11.9,利用弦截法xk1xk(xkxk1)f(xk)f(xk)f(xk1)x21.981093936,x31.880840630,x41.879489903,|x4x*|1103得,2,故取word文档精品文档分享数值分析第七章24x*x41.879489903.(3)x01,x13,x22.抛物线法的迭代式为xk1xk2f(xk)wsign(w)w24f(xk)f[xk,xk1,xk2]wf[xk,xk1]f[xk,xk1,xk2](xkxk1)迭代结果为:x31.953967549,x41.87801539,x51.879386866已达四位有效数字.8、分别用二分法和牛顿迭代法求xtanx0的最小正根.解显然x*0满足xtanx0.另外当|x|较小时,tanxx1x3...x2k1...x(0,)x,因此,方程32k1,故当2时,tanx( ,3 )x tanx0的最小正根应在2 2内.f(x)xtanx,x(,3)记22,容易算得f(4)2.842...0,f(4.6)4.26...0,因此[4,4.6]是f(x)0的有限区间.对于二分法,计算结果见表7-12.7-12kakbkxkf(xk)的符号04.04.64.3+14.34.64.45+24.454.64.525-34.454.5254.4875+44.48754.5254.50625-54.48754.506254.496875-64.48754.4968754.4921875+74.49218754.4968754.49453125-84.49218754.494531254.493359375+94.4933593754.494531254.493445313-|x9x*|11103此时2101024.word文档精品文档分享数值分析第七章25f'(x)(tanx)2 0,f''(x)2tanx10假设用牛顿迭代法求解,由于cos2x,故取x04.6,迭代计算结果如表7-13所示.7-13word文档精品文档分享kxkkxkword文档精品文档分享14.54573212244.49341219724.50614558854.49340945834.4941716364.493409458所以xtanx0的最小正根为x*4.493409458.9、研究求a的牛顿公式xk11(xka),x002xk证明对一切且序列是递减的.x00xk1(xk1a)xk0证法一用数列的方法,因由2x1知,且kxk1(xk1a)2a,k1,2,3,...2xk1.又由xk11a1,k1xk22a故xk1xk,即xkk1单减有下界a.根据单调原理知,xk有极限.易证起极限为a.证法二设f(x)x2a(a0).易知f(x)0在[0,)内有惟一实根x*a.对f(x)应用牛顿迭代法,得xk1f(xk)1axk(xk),k0,1,2,...f'(xk)2xk利用例7-9的结论知,当x0a时,xkk0单减有下界limxkaa,且k.当x0(0,a)时,word文档精品文档分享数值分析第七章26x11(x0a)1[x0a]2aa2x02x0此时,从x起,xkk1单减有下界a,且极限为a.1xk1xkf(xk)10、对于f(x)0f'(xk),证明的牛顿公式Rkxkxk1(xkxk2)21f''(x*)收敛到2f'(x*),这里x*为f(x)0的根.证明见例7-10.11、用牛顿迭代法和求重根的牛顿迭代法(7.15)和(7.16)(书中式(4.13),(4.14))计算方程f(x)(sinxx)205x02.2的一个近似根,准确到10,初始值f(x)(sinxx)2解2的根x*为2重根,即f'(x)2(sinxx)(cosx1)22用牛顿法迭代公式为(sinxkxk)2xk1xk2x)(cosx1)2(sinx22sinxkxkxk2,k0,1,3,...2cosxk1x0,那么x11.785398,x21.844562,...,迭代到令2x201.895494,|x*1.89549|105.用求重根的迭代公式(7.15),迭代迭代公式为sinxkxkxk1xk2,k0,1,2,...cosxk12x02,那么word文档精品文档分享数值分析第七章27x1 2.000000,x2 1.900996,x3 1.895512,x4 1.895494,x51.895494.四次迭代到达上面x20的结果.假设用公式(7.16),那么有xk1f(xk)f'(xk)xk2f(xk)f''(xk)[f'(xk)]f''(x)2(cosx1)22sinx(sinx1x)将f(x),f'(x)及22